Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest prostopadłościan $A B C D E F G H$ o wymiarach $3$ , $4$ , $5$ jak na rysunku.

R1VsWYNQsPwQV

Ilustracja przedstawia prostopadłościan A B C D E F G H , gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D oraz płaszczyznę zawierającą się w dolnej podstawie A B C D. Podpisano także długości odpowiednich odcinków. Odcinek A B o długości trzy, odcinek B C o długości cztery oraz odcinek B F o długości pięć.

RnOWcTmevCl3t

Rozwiąż test. W każdym pytaniu może być więcej, niż jedna poprawna odpowiedź.

Odległość punktu $F$ od płaszczyzny $A B C D$ jest równa:
- $3$
- $4$
- $5$
Odległość punktu $A$ od płaszczyzny $B C G F$ jest równa:
- $3$
- $4$
- $5$
Wskaż wszystkie punkty, których odległość od płaszczyzny $C D H G$ jest równa $4$ .
- $A$
- $E$
- $H$
Wskaż wszystkie punkty, których odległość od płaszczyzny $C D H G$ jest równa $0$ .
- $B$
- $C$
- $D$
Odległość punktu $E$ od płaszczyzny $B D H F$ jest równa:
- $2, 5$
- $\frac{\sqrt{39}}{2}$
- $\frac{\sqrt{34}}{2}$

Ćwiczenie 2

Dany jest ostrosłup prawidłowy $A B C D F$ jak na rysunku.

R9BVxlf9iqMYh

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C D F oraz płaszczyznę pi, zawierającą się w podstawie A B C D.

R1bKCcamJU99Y

Łączenie par. Oceń prawdziwość zdań.. Odległość punktu

F

od płaszczyzny

A B C D

jest mniejsza niż długość odcinka

B F

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Odległość środka odcinka

A B

od płaszczyzny

C D F

jest większa długości niż długość odcinka

A D

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Odległość punktu

A

od płaszczyzny

B C F

jest równa długości odcinka

A B

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Oceń prawdziwość zdań.

	Prawda	Fałsz
Odległość punktu $F$ od płaszczyzny $A B C D$ jest mniejsza niż długość odcinka $B F$ .	□	□
Odległość środka odcinka $A B$ od płaszczyzny $C D F$ jest większa niż długość odcinka $A D$ .	□	□
Odległość punktu $A$ od płaszczyzny $B C F$ jest równa długości odcinka $A B$ .	□	□

Ćwiczenie 3

Dany jest ostrosłup prawidłowy $A B C D S$ o podstawie $A B C D$ . Wszystkie jego krawędzie mają długość $6$ . Oblicz odległość punktu $S$ od płaszczyzny $A B C D$ .

Odległość punktu $S$ od płaszczyzny $A B C D$ jest równa wysokości trójkąta równoramiennego $A C S$ .

Przekątna $A C$ kwadratu $A B C D$ ma długość $6 \sqrt{2}$ .

Spodek wysokości trójkąta równoramiennego dzieli podstawę $A C$ na płowy.

Wysokość $H$ trójkąta można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

$H^{2} + {(3 \sqrt{2})}^{2} = 6^{2}$ , czyli $H^{2} = 36 - 18 = 18$ .

Zatem odległość punktu $S$ od płaszczyzny $A B C D$ jest równa $H = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 4

Punkt $A$ leży poza płaszczyzną $π$ , zaś punkty $B$ i $C$ leżą na tej płaszczyźnie. Niech $A'$ oznacza rzut prostokątny $A$ na $π$ . Wiadomo, że $|A B| = 50$ , $|A C| = 34$ , zaś długość rzutu prostokątnego $A B$ na $π$ to $40$ . Oblicz długość rzutu prostokątnego $A C$ na $π$ .

Łatwo zauważyć, że trójkąt $A B A'$ jest prostokątny, zatem z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć odległość $A$ od $π$ :

${|A A'|}^{2} = {|A B|}^{2} - {|A' B|}^{2} = 50^{2} - 40^{2} = 30^{2}$ , czyli $|A A'| = 30$ .

Trójkąta $A A' C$ również jest prostokątny, więc długość odcinka $A' C$ na $π$ można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

${|A' C|}^{2} = 34^{2} - 30^{2} = 256 = 16^{2}$ .

Zatem długość rzutu $A C$ na $π$ to $16$ .

RhryeR5GcrG6E2

Ćwiczenie 5

Odcinek $A B$ przebija płaszczyznę $π$ w punkcie $S$ . Niech $A'$ i $B'$ będą rzutami prostokątnymi punktów $A$ i $B$ na $π$ .
Oceń prawdziwość poniższych zdań.

	Prawda	Fałsz
Trójkąt $A A' S$ jest prostokątny.	□	□
Trójkąt $B B' S$ jest prostokątny.	□	□
Trójkąt $A B' S$ jest prostokątny.	□	□
Trójkąty $A A' S$ i $B B' S$ są podobne.	□	□
Trójkąty $B A' S$ i $A B' S$ są podobne.	□	□
Trójkąty $A A' B'$ i $B B' A'$ są podobne.	□	□

Ćwiczenie 6

R1F4E7nUmVCkd

Odcinek $A B$ ma długość $15$ i przebija płaszczyznę $π$ w punkcie $S$ . Odległości punktów $A$ i $B$ od $π$ są równe odpowiednio $1, 4$ i $2, 8$ . Niech $A'$ i $B'$ oznaczają rzuty prostokątne punktów $A$ i $B$ na $π$ .
Przeciągnij poprawne liczby w odpowiednie miejsca.

Długość odcinka $A S$ wynosi:, Długość odcinka $B S$ wynosi:, Długość odcinka $A' S$ wynosi:, Długość odcinka $B' S$ wynosi:, Długość rzutu $A B$ na $π$ wynosi:

Długość odcinka	Liczba
Długość odcinka $A S$ wynosi:
Długość odcinka $B S$ wynosi:
Długość odcinka $A' S$ wynosi:
Długość odcinka $B' S$ wynosi:
Długość rzutu $A B$ na $π$ wynosi:

Zauważ, że trójkąty $A A' S$ oraz $B B' S$ są podobne i ułóż odpowiednią proporcję.

RmNP1zNix3vyI

Ćwiczenie 7

Rozwiąż test. W każdym pytaniu może być więcej, niż jedna poprawna odpowiedź.

Odległość punktu o współrzędnych $(2, 3, 4)$ od płaszczyzny o równaniu $y = 0$ jest równa:
- $2$
- $3$
- $4$
Odległość punktu o współrzędnych $(- 2, 3, - 4)$ od płaszczyzny o równaniu $z = 0$ jest równa:
- $- 4$
- $4$
- $3$
Wskaż punkty, których odległość od płaszczyzny o równaniu $x = 0$ jest równa $5$ .
- $A = (5, 6, 7)$
- $B = (- 5, 4, 3)$
- $C = (4, 5, - 3)$
Wskaż punkty, których odległość od płaszczyzny o równaniu $x = - 3$ jest równa $4$ .
- $A = (4, 1, 2)$
- $B = (- 7, 3, 1)$
- $C = (1, 4, 6)$

Ćwiczenie 8

Odcinek $A B$ leży na płaszczyźnie $π$ . Odcinek $A C$ jest prostopadły do $π$ . Odcinek $B D$ jest nachylony do $π$ pod kątem $45 °$ i jest prostopadły do $A B$ . Ponadto $|A B| = 6$ , $|A C| = 8$ , $|B D| = 2 \sqrt{2}$ . Oblicz $|C D|$ . Rozważ przypadek, w którym punkty $C$ i $D$ leżą po tej samej stronie płaszczyzny $π$ .

Wykonajmy rysunek do zadania.

R1192mx4V9fMS

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C oraz płaszczyznę pi zawierającą się w podstawie A B. Nad punktem B utworzono punkt E. Powstał odcinek B E prostopadły do płaszczyzny i równoległy do odcinka A C. Oba te odcinki mają taką samą długość, powstał odcinek E C będący równoległym do płaszczyzny pi. Na odcinku B E zaznaczono punt F. Na tej samej wysokości obok punktu F zaznaczono punkt D. Powstał trójkąt prostokątny D F E o kącie prostym przy wierzchołku F. Punkt D został zrzutowany na płaszczyznę, powstał punkt D prim oraz trójkąt prostokątny D prim B D. Odcinek B D jest nachylony do płaszczyzny pod kątem czterdziestu pięciu stopni. Na odcinku A C na wysokości punktu F, zaznaczono punkt G. Przerywaną linią zaznaczono odcinek G F.

Dorysujmy odcinek $E B$ o długości równej $8$ równoległy do $A C$ .

Możemy zrzutować punkt $D$ na płaszczyznę $π$ i na odcinek $E B$ .

Oznaczmy te rzuty odpowiednio przez $D'$ i $F$ .

Wówczas $B F D D'$ jest kwadratem o przekątnej długości $2 \sqrt{2}$ .

Stąd $|B F| = 2$ i $|D F| = 2$ . Zatem $|E F| = 8 - 2 = 6$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $D F E$ mamy ${|D E|}^{2} = 2^{2} + 6^{2} = 4 + 36 = 40$ , czyli $|D E| = \sqrt{40}$ .

Zauważmy, że trójkąt $D E C$ również jest prostokątny, więc ${|C D|}^{2} = {|C E|}^{2} + {|D E|}^{2} = 36 + 40 = 76$ , więc $|C D| = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela