Zaczniemy od wyznaczenia dziedziny. Musimy rozwiązać nierówności $-x^2+4x\ge 1$, $-x+9\ge 1$ oraz $x\ge 1$. Stąd otrzymujemy dziedzinę $⟨1,2+\sqrt{3}⟩$.

Wyznaczmy pole trapezu w zależności od $x$:

$P\left(x\right)=\frac{\left(-x^2+4x-x+9\right)x}{2}=\frac{-x^3+3x^2+9x}{2}$.

Sprawdźmy, dla jakich argumentów zeruje się pochodna funkcji $P$.

$P\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(-3x^2+6x+9\right)$

Rozwiążemy równoważne równanie $-x^2+2x+3=0$. Jego pierwiastki to $x_1=3$ oraz $x_2=1\notin ⟨1,2+\sqrt{3}⟩$. Pozostaje policzyć wartości $P\left(2+\sqrt{3}\right)$, $P\left(3\right)$ i $P\left(1\right)$. Musimy porównać wartości $P\left(2+\sqrt{3}\right)=\frac{13}{2}+3\sqrt{3}$, $P\left(3\right)=\frac{27}{2}$ oraz $P\left(1\right)=\frac{11}{2}$.

Widzimy więc, że największe możliwe pole trapezu to $\frac{27}{2}$ a najmniejsze to $\frac{11}{2}$.

Sprawdźmy wartości funkcji na krańcach przedziału: $f\left(1\right)=1-\sqrt{2}-3+4,2=2,2-\sqrt{2}>0$ i $f\left(2\right)=8-4\sqrt{2}-6+4,2=6,2-4\sqrt{2}>0$.

Jeśli pokażemy, że wartość najmniejsza tej funkcji jest mniejsza od zera, to korzystając z własności Darboux będziemy mogli stwierdzić, że funkcja przyjmuje również wartość $0$.

Policzmy pochodną funkcji $f$: $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2\sqrt{2}x-3$. Szukając ekstremów lokalnych rozwiążmy równanie: $3x^2-2\sqrt{2}x-3=0$. Mamy $x_1=\frac{\sqrt{11}+\sqrt{2}}{3}$ oraz $x_2=\frac{-\sqrt{11}+\sqrt{2}}{3}\notin ⟨1,2⟩$. Mamy, że $f\left(x_1\right)\approx -0,1261$. Stąd istotnie wyjściowe równanie ma rozwiązanie w przedziale $⟨1,2⟩$.