Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RDKTVTShrjFAv1

Ćwiczenie 1

Najmniejsza wartość funkcji $f (x) = x^{3} + x^{2} - x$ na przedziale $"⟨"- 2, 2"⟩"$ , to:

$- 2$
$- \frac{5}{27}$
$10$

Ćwiczenie 2

W poniższych tabelach przedstawiono kolejne kroki rozwiązania zadania. Dopasuj odpowiednie rozwiązanie do opisu.

R1J1Eseks6kja

Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia $2 x^{3} + y^{3}$ , jeśli spełnione są warunki: $x + y = 1$ oraz $x \in "⟨"- 1, 1"⟩"$ .

Wyznaczmy wartość $y$ w zależności od $x$ ., Budujemy funkcję $f (x)$ podstawiając wyznaczony $y$ do wyjściowego wyrażenia., Obliczamy pochodną funkcji $f$ ., $y = 1 + x$ , $y = x$ , $f (x) = x^{3} + 1$ , $f (x) = 3 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ , $f' (x) = 3 x^{2} + 3 x - 3$ , $f' (x) = 3 x^{2} + 3 x - 1$

Opis działania	Rozwiązanie
Wyznaczmy wartość $y$ w zależności od $x$ .
Budujemy funkcję $f (x)$ podstawiając wyznaczony $y$ do wyjściowego wyrażenia.
Obliczamy pochodną funkcji $f$ .

R1UFRBQwYZQ8q

Miejsce zerowe pochodnej funkcji $f$ , które należy do dziedziny, to:

$- \sqrt{2} - 1$
$- \sqrt{2} + 1$
$\sqrt{2} - 1$
$\sqrt{2} + 1$

R8skrmI7dwB11

Zachodzą równości

$f (- 1)$ , $f (1)$ , $f (\sqrt{2} - 1)$ , Najmniejsza wartość funkcji $f$ to, $2 \sqrt{2}$ , $1 - \sqrt{2}$ , $1 - 3 \sqrt{2}$ , $1 - \sqrt{2}$ , $1 - 3 \sqrt{2}$

$f (x)$	$y$
$f (- 1)$
$f (1)$
$f (\sqrt{2} - 1)$
Najmniejsza wartość funkcji $f$ to

R1cFRz8jvqffB2

Ćwiczenie 3

Rozważmy funkcję $f (x) = x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 1$ . Wskaż jej wartość największą i najmniejszą na zadanych przedziałach.

$"⟨"- 3, - 2"⟩"$ , $"⟨"- 2, \frac{1}{3}"⟩"$ , $"⟨"- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}"⟩"$ , $"⟨"- 3, 3"⟩"$ , $"⟨"0, 1"⟩"$

Przedział	Wartość największa	Wartość najmniejsza
$"⟨"- 3, - 2"⟩"$
$"⟨"- 2, \frac{1}{3}"⟩"$
$"⟨"- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}"⟩"$
$"⟨"- 3, 3"⟩"$
$"⟨"0, 1"⟩"$

R1NXCKwwaOiCr2

Ćwiczenie 4

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o sumie długości krawędzi równej $200$ , w które można włożyć kulę o promieniu $5$ . Wyznacz takie długości krawędzi, dla których objętość graniastosłupa jest największa.

$a^{2} b$ , $a (50 - 2 a)$ , $a b^{2}$ , $30$ , prostopadłościanem, $190$ , $3000$ , $\frac{50}{3}$ , $10$ , $50$ , $100$ , $5$ , $a^{2} (50 - 2 a)$ , $a^{2} (50 - a)$ , $100 a - 6 a^{2}$ , $\frac{50}{3}$ , $\frac{125000}{27}$ , sześcianem, $100 a - 3 a^{2}$ , $200$ , $20$ , $4000$ , $\frac{50}{3}$

Oznaczmy jako $a$ krawędź podstawy graniastosłupa i jako $b$ jego wysokość. Z treści zadania mamy, że $2 a + b =$ ......................................... Dodatkowo każda z wartości $a$ i $b$ musi być nie mniejsza niż ......................................... Tym samym $a$ musi być nie większe niż ........................................ a $b$ musi być nie większe niż ......................................... Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wyraża się wzorem $V =$ ........................................, więc możemy zapisać funkcję zmiennej $a$ : $V (a) =$ .........................................
Pochodna tej funkcji, $V' (a)$ , wyraża się wzorem: ......................................... Jedyne miejsce zerowe, które należy do dziedziny, to $a_{0} =$ .........................................

Obliczmy następujące wartości: $V (10) =$ ........................................, $V (20) =$ ........................................, $V (\frac{50}{3}) =$ ......................................... Widzimy stąd, że największa możliwa objętość graniastosłupa osiągana jest, gdy $a =$ ........................................ oraz $b =$ ........................................, czyli gdy rozważany graniastosłup jest .........................................

Ćwiczenie 5

Rozważmy wszystkie trapezy, których podstawy i wysokość są nie krótsze niż $1$ . Podstawy mają długości: $- x^{2} + 4 x$ oraz $- x + 9$ a wysokość ma długość $x$ . Znajdź taką długość $x$ , dla której pole trapezu jest największe i taką długość $x$ , dla której pole jest najmniejsze.

Zaczniemy od wyznaczenia dziedziny. Musimy rozwiązać nierówności $- x^{2} + 4 x \geq 1$ , $- x + 9 \geq 1$ oraz $x \geq 1$ . Stąd otrzymujemy dziedzinę $⟨1, 2 + \sqrt{3}⟩$ .

Wyznaczmy pole trapezu w zależności od $x$ :

$P (x) = \frac{(- x^{2} + 4 x - x + 9) x}{2} = \frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 9 x}{2}$ .

Sprawdźmy, dla jakich argumentów zeruje się pochodna funkcji $P$ .

$P' (x) = \frac{1}{2} (- 3 x^{2} + 6 x + 9)$

Rozwiążemy równoważne równanie $- x^{2} + 2 x + 3 = 0$ . Jego pierwiastki to $x_{1} = 3$ oraz $x_{2} = 1 \notin ⟨1, 2 + \sqrt{3}⟩$ . Pozostaje policzyć wartości $P (2 + \sqrt{3})$ , $P (3)$ i $P (1)$ . Musimy porównać wartości $P (2 + \sqrt{3}) = \frac{13}{2} + 3 \sqrt{3}$ , $P (3) = \frac{27}{2}$ oraz $P (1) = \frac{11}{2}$ .

Widzimy więc, że największe możliwe pole trapezu to $\frac{27}{2}$ a najmniejsze to $\frac{11}{2}$ .

RItAuSx2Ea5g82

Ćwiczenie 6

Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $a$ i wysokości $b$ . Niech $k$ oznacza sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa, $P$ oznacza jego pole powierzchni całkowitej a $V$ jego objętość. Przyporządkuj odpowiednie funkcje do założeń. Znajdź argument, dla którego każda z funkcji przyjmuje wartość najmniejszą. Wyciągnij wnioski.

$k = 72$
$V = 216$
$P = 216$

Ćwiczenie 7

Wykaż, że równanie $x^{3} - \sqrt{2} x^{2} - 3 x + 4, 2 = 0$ ma rozwiązanie należące do przedziału $⟨1, 2⟩$ .

Sprawdźmy wartości funkcji na krańcach przedziału: $f (1) = 1 - \sqrt{2} - 3 + 4, 2 = 2, 2 - \sqrt{2} > 0$ i $f (2) = 8 - 4 \sqrt{2} - 6 + 4, 2 = 6, 2 - 4 \sqrt{2} > 0$ .

Jeśli pokażemy, że wartość najmniejsza tej funkcji jest mniejsza od zera, to korzystając z własności Darboux będziemy mogli stwierdzić, że funkcja przyjmuje również wartość $0$ .

Policzmy pochodną funkcji $f$ : $f' (x) = 3 x^{2} - 2 \sqrt{2} x - 3$ . Szukając ekstremów lokalnych rozwiążmy równanie: $3 x^{2} - 2 \sqrt{2} x - 3 = 0$ . Mamy $x_{1} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{2}}{3}$ oraz $x_{2} = \frac{- \sqrt{11} + \sqrt{2}}{3} \notin ⟨1, 2⟩$ . Mamy, że $f (x_{1}) \approx - 0, 1261$ . Stąd istotnie wyjściowe równanie ma rozwiązanie w przedziale $⟨1, 2⟩$ .

R1RI2w5xXJqPk3

Ćwiczenie 8

Rozważmy funkcję $f (x) = "{"\begin{array}{c} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 18 x, & gdy x \neq 0 \\ 40, & gdy x = 0 \end{array}""$ . Wiedząc, że dziedziną tej funkcji jest przedział $"⟨"- 2, 4"⟩"$ wskaż wszystkie prawdziwe równości.

$f_{m a x} = 40$
$f_{m a x} = 40, 5$
$f_{m a x} = 34$
$f_{m i n} = - 22$
$f_{m i n} = - 6$

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela