Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

REFGyqadX5IDh1

Ćwiczenie 1

Rozwiązaniami równania $"|"\cos x - 2 \sin x"|" + \cos x = 0$ są liczby:

$x = - \frac{3 π}{4} + 2 k π$ lub $x = π + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$
$x = - \frac{3 π}{4} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$
$x = π + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$
$x = - \frac{3 π}{4} + k π$ lub $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$

RFwB9kMSxO3oN1

Ćwiczenie 2

Rozwiązaniami równania $\sin x = \cos "|"x"|"$ są:

$x = \frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$
$x = - \frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$
$x = - \frac{π}{4} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$
$x = \frac{π}{4} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$

R1IB0mhawHFob2

Ćwiczenie 3

Wstaw takie wyrażenie, aby otrzymać zdanie prawdziwe.

$x = \frac{π}{4} + k π$ , $x = - \frac{π}{4} + k π$ , $x = \frac{π}{4} + 2 k π$ , $x = \frac{π}{2} + k π$ , $x = - \frac{π}{4} + 2 k π$ , $x = - \frac{π}{2} + k π$

$\cos x = \sin "|"x"|"$ wtedy i tylko wtedy, gdy (......................, gdzie $k \in ℤ$ i $k \geq 0$ ) lub (......................, gdzie $k \in ℤ$ i $k \leq 0$ ).

RjTpoVGaUmbR32

Ćwiczenie 4

Wstaw takie wyrażenie, aby otrzymać zdanie prawdziwe.

| \cos 2 x | = | 6 \sin^{2} x - 1 |

wtedy i tylko wtedy, gdy 1.

x = \frac{π}{6} + 2 k π

, 2.

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

, 3.

x = π + 2 k π

, 4.

x = \frac{5 π}{6} + k π

, 5.

x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π

, 6.

x = k π

, 7.

x = - \frac{π}{6} + 2 k π

, 8.

x = \frac{π}{6} + k π

lub 1.

x = \frac{π}{6} + 2 k π

, 2.

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

, 3.

x = π + 2 k π

, 4.

x = \frac{5 π}{6} + k π

, 5.

x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π

, 6.

x = k π

, 7.

x = - \frac{π}{6} + 2 k π

, 8.

x = \frac{π}{6} + k π

lub 1.

x = \frac{π}{6} + 2 k π

, 2.

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

, 3.

x = π + 2 k π

, 4.

x = \frac{5 π}{6} + k π

, 5.

x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π

, 6.

x = k π

, 7.

x = - \frac{π}{6} + 2 k π

, 8.

x = \frac{π}{6} + k π

, gdzie

k \in ℤ

Wstaw takie wyrażenie, aby otrzymać zdanie prawdziwe.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , $x = \frac{π}{6} + k π$ , $x = \frac{5 π}{6} + k π$ , $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ , $x = π + 2 k π$ , $x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , $x = k π$ , $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$

$"|"\cos 2 x"|" = "|"6 \sin^{2} x - 1"|"$ wtedy i tylko wtedy, gdy ........................ lub ........................ lub ........................, gdzie $k \in ℤ$ .

RRPbiU9SJk2MV21

Ćwiczenie 5

Połącz w pary równanie z równoważną mu nierównością.

| \sin x + \cos x | = | \sin x | + | \cos x |

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sin 4 x \geq 0

, 2.

\sin 2 x \geq 0

, 3.

\sin 4 x \leq 0

, 4.

\sin 2 x \leq 0

| \sin x - \cos x | = | \sin x | + | \cos x |

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sin 4 x \geq 0

, 2.

\sin 2 x \geq 0

, 3.

\sin 4 x \leq 0

, 4.

\sin 2 x \leq 0

| \sin x \cos x + \cos 2 x | = | \sin x \cos x | + | \cos 2 x |

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sin 4 x \geq 0

, 2.

\sin 2 x \geq 0

, 3.

\sin 4 x \leq 0

, 4.

\sin 2 x \leq 0

| \sin x \cos x - \cos 2 x | = | \sin x \cos x | + | \cos 2 x |

Możliwe odpowiedzi: 1.

\sin 4 x \geq 0

, 2.

\sin 2 x \geq 0

, 3.

\sin 4 x \leq 0

, 4.

\sin 2 x \leq 0

Połącz w pary równanie z równoważną mu nierównością.

$"\|"\sin x + \cos x"\|" = "\|"\sin x"\|" + "\|"\cos x"\|"$
$"\|"\sin x - \cos x"\|" = "\|"\sin x"\|" + "\|"\cos x"\|"$
$"\|"\sin x \cos x + \cos 2 x"\|" = "\|"\sin x \cos x"\|" + "\|"\cos 2 x"\|"$
$"\|"\sin x \cos x - \cos 2 x"\|" = "\|"\sin x \cos x"\|" + "\|"\cos 2 x"\|"$

R1dapYJB9WWtA2

Ćwiczenie 6

Wszystkimi rozwiązaniami równania $"|"\sin 2 x"|" = \cos x$ są:

$x = \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = \frac{11 π}{6} + 2 k π$ , lub $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$
$x = \frac{π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$
$x = \frac{11 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$
$x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = - \frac{11 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Ćwiczenie 7

Rozwiąż równanie: $\sin x \cdot \sin |x| = \frac{1}{2}$ .

Jeżeli $x \geq 0$ , to $\sin^{2} x = \frac{1}{2}$ , czyli $x = \frac{π}{4} + k \cdot \frac{π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ_{+} \cup \{0\}$ .

Jeżeli $x < 0$ , to $- \sin^{2} x = \frac{1}{2}$ , czyli równanie jest sprzeczne.

Odpowiedź: $x = \frac{π}{4} + k \cdot \frac{π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ_{+} \cup \{0\}$ .

Ćwiczenie 8

Rozwiąż równanie: $|1 - 2 \sin x + \cos x| + 2 \sin x + 1 = \cos 2 x$ .

Rozważ dwa przypadki:

( $1 - 2 \sin x + \cos x \geq 0$ i $2 + \cos x = \cos 2 x$ ) lub ( $1 - 2 \sin x + \cos x < 0$ i $4 \sin x - \cos x = \cos 2 x$ )

$1 - 2 \sin x + \cos x \geq 0$ i $2 + \cos x = \cos 2 x$

$2 \cos^{2} x - \cos x - 3 = 0$

$\cos x = \frac{3}{2}$ lub $\cos x = - 1$

$x = π + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$

$1 - 2 \sin x + \cos x < 0$ i $4 \sin x - \cos x = \cos 2 x$

Ponieważ $2 \sin x > 1 + \cos x$ , więc $\cos 2 x = 4 \sin x - \cos x > 2 (1 + \cos x) - \cos x$ .

$2 \cos^{2} x - \cos x - 3 > 0$

$\cos x < - 1$ lub $\cos x > \frac{3}{2}$ , co nigdy nie zachodzi.

Odpowiedź: $x = π + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$

$"\|"\sin x + \cos x"\|" = "\|"\sin x"\|" + "\|"\cos x"\|"$
$"\|"\sin x - \cos x"\|" = "\|"\sin x"\|" + "\|"\cos x"\|"$
$"\|"\sin x \cos x + \cos 2 x"\|" = "\|"\sin x \cos x"\|" + "\|"\cos 2 x"\|"$
$"\|"\sin x \cos x - \cos 2 x"\|" = "\|"\sin x \cos x"\|" + "\|"\cos 2 x"\|"$

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela