Sprawdź się

Niektórzy - błędnie - sugerują, że ruch struny jest ruchem harmonicznym. To nieprawda, natomiast prawdą jest, że da się go - w specjalny sposób - złożyć z wielu ruchów harmonicznych. To, jaki „udział” mają w tym składaniu owe ruchy harmoniczne, odpowiada za barwę dźwięku. Wszelkie układy korekcji barwy ingerują - albo cyfrowo, albo analogowo, przez odpowiednie filtry - w to składanie.

Pokaż ćwiczenia:

Treść wspólna dla ćwiczeń 1 – 4

Rozważmy modelowanie procesu stygnięcia gorącej wody o temperaturze początkowej $T_{0}$ w pomieszczeniu o temperaturze pokojowej $T_{z}$ . Na podstawie doświadczenia zakładamy, że temperatura wody spada tym szybciej, im większa jest aktualna różnica temperatur pomiędzy wodą a otoczeniem. Wykonujemy wykres zależności różnicy temperatur $T_{w} = T - T_{z}$ od czasu $t$ , gdzie $T$ oznacza aktualną temperaturę wody.

R1bUdLd2KejXv1

Ćwiczenie 1

Które z poniższych stwierdzeń są prawidłowe?

Nie jest możliwe modelowanie takiego procesu, bo nie znamy wszystkich zmiennych, od których on zależy.
Wykres zależności temperatury wody od czasu będzie w przybliżeniu linią prostą.
Temperatura wody jest proporcjonalna do różnicy temperatur $T_{w}$ i czasu.
Zmiana temperatury wody jest proporcjonalna do różnicy temperatur $T_{w}$ i czasu.
Założenie modelu można wyrazić wzorem:
$Δ T = a \cdot T_{w} \cdot Δ t$ ,
gdzie $a$ jest współczynnikiem proporcjonalności, $Δ T$ – zmianą temperatury a $Δ t$ – zmianą czasu.
Każdą kolejną temperaturę $T_{2}$ można wyrazić za pomocą poprzedniej temperatury $T_{1}$ wzorem:
$T_{2} = T_{1} - a (T_{1} - T_{z}) Δ t$ .

Dla zainteresowanych

Wzór matematyczny odpowiadający modelowanemu przez nas stygnięciu ciała ma postać:

T (t) = T_{z} + (T_{0} - T_{z}) e^{- a t}

gdzie $e$ jest podstawą logarytmów naturalnych, a - stałą, zależną od warunków doświadczenia - kształtu naczynia itp., ale również od ciepła właściwego wody i powietrza. Wzór ten znany jest pod nazwą newtonowskiego prawa stygnięcia.

Ćwiczenie 2

R1GkcH4KN8cIL1

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RzqBV0bA0CS5e1

RKY1xD4I2Ur9y1

Ćwiczenie 3

W czasie wykonywania naszych pomiarów otwarto okno od pomieszczenia, w którym były one wykonywane i zrobił się przeciąg. Wskutek tego:

Temperatura zmniejszała się wolniej,
Temperatura zmniejszała się szybciej,
Nie miało to wpływu na szybkość zmniejszania się temperatury.

Ćwiczenie 4

R1R3HfnFbUVZ91

Wartość współczynnika $a$ w naszym modelowaniu będzie większa dla wody w naczyniu:

metalowym
ceramicznym
nie będzie zależeć

Ćwiczenie 5

Masz za zadanie wykonać modelowanie matematyczne skoku narciarza. Odpowiedz, jakie efekty i elementy są istotne przy takim modelowaniu. Wymień przynajmniej trzy z nich.

Ćwiczenie 6

Wiadomo, że opór powietrza odgrywa istotną rolę w skokach narciarskich. Sprawia, że zasięg lotu jest mniejszy, ale powoduje również to, że skoczek opada wolniej. Jak to można uwzględnić przy modelowaniu skoku?

Ćwiczenie 7

Napisz wzory określające model matematyczny zjawiska swobodnego spadku pod wpływem siły ciężkości.

Propozycje odpowiedzi:

$F=mg$
$a=g,\hspace{3mm}v=g\cdot t,\hspace{3mm}s=g\cdot\frac{t^{2}}{2}$

Komentarz: Model matematyczny zjawiska to przedstawienie tego zjawiska w języku matematyki. Zjawisko ruchu charakteryzuje równanie ruchu (1.) lub jego rozwiązanie (2.), gdzie występują trzy wielkości: przyspieszenie $a$ , prędkość $v$ i droga $s$ . Przedstawienie zjawiska ruchu w języku matematyki to zapis zależności tych wielkości od czasu $t$ , a $g$ jest przyspieszeniem ziemskim.

Ćwiczenie 8

Napisz wzór na model matematyczny soczewki.

Model matematyczny soczewki to zapis zależności pomiędzy odległością przedmiotu od soczewki $x$ , odległością obrazu od soczewki $y$ , oraz ogniskową soczewki $f$ .

Sugerowana odpowiedź:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{f}$

Ćwiczenie 9

Drgania harmoniczne modelują wiele zjawisk fizycznych. Opis matematyczny drgań harmonicznych podaje się w postaci $x(t)=A\cdot\cos\left(\omega t+\phi\right)$ , gdzie: $x$ – odchylenie od położenia równowagi, $A$ – amplituda, $\omega$ – częstość, $\phi$ – faza drgań.

Wymień przynajmniej trzy rodzaje ruchów opisywanych tym modelem.

Zauważ, że wszystkie ruchy opisane podanym równaniem musi łączyć jedna wspólna cecha – okresowość, tzn. istnieje taki odcinek czasu $T$ - zwany okresem drgań - że dla dowolnej chwili $t$ odchylenie od równowagi jest takie samo w obu tych chwilach,

$x(t) = x(t + T)\ .$

Podkreślamy - to jest tożsamość, nie warunek na $t$ .

Uwaga: nie wszystkie zjawiska okresowe są harmoniczne, ale prawdą jest, że w ich modelowaniu funkcje typu sinus czy cosinus odgrywają bardzo istotną rolę.

Film (standardowy)

Dla nauczyciela