Dany jest trapez jak na rysunku poniżej. Waidomo, że cosinus kąta ostrego w tym trapzie wynosi .
R1awqSYmIGS7w
Rysunek przedstawia trapez, którego lewe ramię ma długość . Z górnego lewego wierzchołka upuszczono wysokość i oznaczono kat prosty między wysokością a podstawą. Między dolną podstawą a lewym ramieniem oznaczono kąt .
RQTMslWmlI9LT
Ile wynosi długość wysokości h trapezu przedstawionego na rysunku? Możliwe odpowiedzi: 1. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. trzy, 3. dziewięć
1
Ćwiczenie 2
Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o kącie ostrym . Wiadomo, że .
RbkITtKp4r3Wq
Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości oraz o przeciwprostokątnej o długości . Z górnego wierzchołka poprowadzono pod kątem do podstawy odcinek, który podzielił podstawę na dwa odcinki: lewy i prawy . Zaznaczono także kąt prosty między odcinkiem a pionową przyprostokątną o długości .
R1ePm0XtSMLjy
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Długość odcinka x wynosi dwa przecinek pięć., 2. Długość odcinka y wynosi dwa pierwiastek kwadratowy z trzydzieści dziewięć koniec pierwiastka., 3. Długość odcinka x wynosi dwa pierwiastek kwadratowy z trzydzieści dziewięć koniec pierwiastka, minus, dwa przecinek pięć., 4. Długość odcinka y wynosi dwa pierwiastek kwadratowy z trzydzieści dziewięć koniec pierwiastka, minus, dwa przecinek pięć.
2
Ćwiczenie 3
Na rysunku przedstawiono romb. Wiadomo, że .
RRksF8SLk9QWh
Rysunek przedstawia deltoid, w którym poprowadzono dwie prostopadłe do siebie przekątne. Między poziomą przekątną a górnym prawym bokiem deltoidu oznaczono kąt ostry . Górna część pionowej przekątnej ma długość .
R1ZXRldP5G9ve
Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Dłuższa przekątna rombu ma długość 1. osiem, 2. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 3. sześć, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 5. dwanaście
Krótsza przekątna rombu ma długość 1. osiem, 2. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 3. sześć, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 5. dwanaście.
Bok rombu ma długość 1. osiem, 2. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 3. sześć, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 5. dwanaście.
Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Dłuższa przekątna rombu ma długość 1. osiem, 2. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 3. sześć, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 5. dwanaście
Krótsza przekątna rombu ma długość 1. osiem, 2. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 3. sześć, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 5. dwanaście.
Bok rombu ma długość 1. osiem, 2. cztery pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 3. sześć, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 5. dwanaście.
2
Ćwiczenie 4
RbbCF47QqiJNZ
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
R10G1tooW6fuv
Dany jest trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej a, poziomej przyprostokątnej b i przeciwprostokątnej c. Mając odpowiednie dane, połącz w pary opisy z odpowiadającymi im długościami boku a. Wiemy, że kąt alfa znajduje się między bokami b a c, bok c, równa się, dziesięć oraz tangens alfa, równa się, trzy. Możliwe odpowiedzi: 1. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, 2. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 3. a, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka Wiemy, że kąt alfa znajduje się między bokami b a c, bok c, równa się, dziesięć oraz kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka. Możliwe odpowiedzi: 1. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, 2. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 3. a, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka Wiemy, że kąt alfa znajduje się między bokami a a c, bok c, równa się, trzynaście oraz tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Możliwe odpowiedzi: 1. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, 2. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 3. a, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka
Dany jest trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej a, poziomej przyprostokątnej b i przeciwprostokątnej c. Mając odpowiednie dane, połącz w pary opisy z odpowiadającymi im długościami boku a. Wiemy, że kąt alfa znajduje się między bokami b a c, bok c, równa się, dziesięć oraz tangens alfa, równa się, trzy. Możliwe odpowiedzi: 1. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, 2. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 3. a, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka Wiemy, że kąt alfa znajduje się między bokami b a c, bok c, równa się, dziesięć oraz kosinus alfa, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka. Możliwe odpowiedzi: 1. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, 2. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 3. a, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka Wiemy, że kąt alfa znajduje się między bokami a a c, bok c, równa się, trzynaście oraz tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka. Możliwe odpowiedzi: 1. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście koniec pierwiastka, 2. a, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, 3. a, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka
2
Ćwiczenie 5
W trapezie równoramiennym przedstawionym na poniższym rysunku podstawy mają długości i , a kąt ostry ma miarę .
RRo1V9HL0ojnY
Rysunek przedstawia trapez równoramienny, którego górna podstawa ma długość , a dolna podstawa ma długość . Z górnego lewego wierzchołka upuszczono wysokość i oznaczono kat prosty między wysokością a podstawą. Między dolną podstawą a lewym ramieniem oznaczono kąt .
R1UnObvBBnFkI
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. h, równa się, dwa tangens alfa, 2. h, równa się, początek ułamka, tangens alfa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. tangens alfa, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, h, koniec ułamka
2
Ćwiczenie 6
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość , a tangens kąta wynosi . Wyznacz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.
RXl0rPmZ2DMle
Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie , pionowej przyprostokątnej oraz o przeciwprostokątnej o długości . Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami i oraz kąt między bokami i .
Ponieważ , zatem zachodzi zależność:
Wobec tego .
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
Zatem , czyli
, stąd
, zatem .
Wobec tego .
3
Ćwiczenie 7
Na rysunku przedstawiono romb, w którym . Wyznacz długość przekątnej w tym rombie.
R1JsuXsCy93ih
Rysunek przedstawia romb. Z górnego lewego wierzchołka upuszczono wysokość i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Wysokość podzieliła dolną podstawę na dwie części, z czego lewą część ma długość . Wewnątrz rombu poprowadzono przekątną biegnącą od lewego dolnego wierzchołka do prawego górnego wierzchołka rombu. Między bokiem podstawą a lewym bokiem rombu oznaczono kąt .
Ponieważ , to wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.
R1aVixno6GfxB
Rysunek przedstawia romb o boku . Z górnego lewego wierzchołka upuszchono wysokość o długości i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Wysokość podzieliła dolną podstawę na dwie części, z czego lewa część ma długość . Tak powstał trókąt prostokątny o przyprostokątnych i oraz o przeciwprostokątnej . Wewnątrz rombu poprowadzono przekątną biegnącą od lewego dolnego wierzchołka do prawego górnego wierzchołka rombu. Między bokiem a kawałkiem podstawy o długości zaznaczono kąt . Z prawego górnego wierzchołka poprowadzono linią przerywaną pionową wysokość i przedłużono podstawę figury o odcinke również linią przerywaną i zaznaczono między nimi kat prosty.
Z twierdzenia Pitagorasa wynika:
, co po przekształceniu sprowadza się do równania:
, zatem .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość przekątnej tego rombu:
Zatem , wobec tego .
3
Ćwiczenie 8
Wyznacz długość przekątnej w trapezie równoramiennym z rysunku, jeżeli wiadomo, że krótsza podstawa ma długość , ramię długość oraz .
RqogzbQM4tWsq
Rysunek przedstawia trapez równoramienny o ramionach długości oraz o podstawie górnej o długości . Z górnego lewego wierzchołka upuszchono wysokość i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Z tego samego wierzchołka poprowadzono przekątną trapezu. Po lewej stronie zaznaczono także kąt , który jest kątem nachylenia ramienia do podstawy.
Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.
R3oDCwp0WadBy
Rysunek przedstawia trapez równoramienny o ramionach długości oraz o podstawie górnej o długości . Z górnego lewego wierzchołka upuszchono wysokość i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Z tego samego wierzchołka poprowadzono przekątną trapezu, którą nazwano . Po lewej stronie zaznaczono także kąt , który jest kątem nachylenia ramienia do podstawy. Wysokość podzieliła podstawę dolną na dwa odcinki: lewy i prawy .
Ponieważ , to , czyli .
Korzystajac z twierdzenia Pitagorasa:
, zatem .
Wobec tego .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa rozwiązujemy równanie:
