Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest trapez jak na rysunku poniżej. Waidomo, że cosinus kąta ostrego $α$ w tym trapzie wynosi $\frac{1}{3}$ .

R1awqSYmIGS7w

Rysunek przedstawia trapez, którego lewe ramię ma długość 9. Z górnego lewego wierzchołka upuszczono wysokość h i oznaczono kat prosty między wysokością a podstawą. Między dolną podstawą a lewym ramieniem oznaczono kąt α.

RQTMslWmlI9LT

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o kącie ostrym $α$ . Wiadomo, że $tg α = 4$ .

RbkITtKp4r3Wq

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości 10 oraz o przeciwprostokątnej o długości 16. Z górnego wierzchołka poprowadzono pod kątem α do podstawy odcinek, który podzielił podstawę na dwa odcinki: lewy x i prawy y. Zaznaczono także kąt prosty między odcinkiem x a pionową przyprostokątną o długości 10.

R1ePm0XtSMLjy

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono romb. Wiadomo, że $\sin α = \frac{3}{4}$ .

RRksF8SLk9QWh

Rysunek przedstawia deltoid, w którym poprowadzono dwie prostopadłe do siebie przekątne. Między poziomą przekątną a górnym prawym bokiem deltoidu oznaczono kąt ostry α. Górna część pionowej przekątnej ma długość 6.

R1ZXRldP5G9ve

Ćwiczenie 4

RbbCF47QqiJNZ

R10G1tooW6fuv

Dany jest trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej

a

, poziomej przyprostokątnej

b

i przeciwprostokątnej

c

. Mając odpowiednie dane, połącz w pary opisy z odpowiadającymi im długościami boku

a

. Wiemy, że kąt

α

znajduje się między bokami

b

c

, bok

c = 10

oraz

tg α = 3

. Możliwe odpowiedzi: 1.

a = 3 \sqrt{13}

, 2.

a = 3 \sqrt{10}

, 3.

a = 2 \sqrt{21}

Wiemy, że kąt

α

znajduje się między bokami

b

c

, bok

c = 10

oraz

\cos α = \frac{2}{5}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

a = 3 \sqrt{13}

, 2.

a = 3 \sqrt{10}

, 3.

a = 2 \sqrt{21}

Wiemy, że kąt

α

znajduje się między bokami

a

c

, bok

c = 13

oraz

tg α = \frac{2}{3}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

a = 3 \sqrt{13}

, 2.

a = 3 \sqrt{10}

, 3.

a = 2 \sqrt{21}

Ćwiczenie 5

W trapezie równoramiennym przedstawionym na poniższym rysunku podstawy mają długości $10$ i $6$ , a kąt ostry ma miarę $α$ .

RRo1V9HL0ojnY

Rysunek przedstawia trapez równoramienny, którego górna podstawa ma długość 6, a dolna podstawa ma długość 10. Z górnego lewego wierzchołka upuszczono wysokość h i oznaczono kat prosty między wysokością a podstawą. Między dolną podstawą a lewym ramieniem oznaczono kąt α.

R1UnObvBBnFkI

Ćwiczenie 6

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $41$ , a tangens kąta $α$ wynosi $\frac{40}{9}$ . Wyznacz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

RXl0rPmZ2DMle

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, pionowej przyprostokątnej b oraz o przeciwprostokątnej o długości 41. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b oraz kąt α między bokami a i c.

Ponieważ $tg α = \frac{40}{9}$ , zatem zachodzi zależność:

$\frac{b}{a} = \frac{40}{9}$

Wobec tego $b = \frac{40}{9} a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$a^{2} + b^{2} = 41^{2}$

Zatem $a^{2} + {(\frac{40}{9} a)}^{2} = 41^{2}$ , czyli

$a^{2} + \frac{1600}{81} a^{2} = 1681$ , stąd

$\frac{1681}{81} a^{2} = 1681$ , zatem $a = 9$ .

Wobec tego $b = \frac{40}{9} \cdot 9 = 40$ .

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiono romb, w którym $\sin α = \frac{2}{3}$ . Wyznacz długość przekątnej $d$ w tym rombie.

R1JsuXsCy93ih

Rysunek przedstawia romb. Z górnego lewego wierzchołka upuszczono wysokość i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Wysokość podzieliła dolną podstawę na dwie części, z czego lewą część ma długość 5. Wewnątrz rombu poprowadzono przekątną d biegnącą od lewego dolnego wierzchołka do prawego górnego wierzchołka rombu. Między bokiem podstawą a lewym bokiem rombu oznaczono kąt α.

Ponieważ $\sin α = \frac{2}{3}$ , to wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1aVixno6GfxB

Rysunek przedstawia romb o boku 3x. Z górnego lewego wierzchołka upuszchono wysokość o długości 2x i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Wysokość podzieliła dolną podstawę na dwie części, z czego lewa część ma długość 5. Tak powstał trókąt prostokątny o przyprostokątnych 2x i 5 oraz o przeciwprostokątnej 3x. Wewnątrz rombu poprowadzono przekątną d biegnącą od lewego dolnego wierzchołka do prawego górnego wierzchołka rombu. Między bokiem 3x a kawałkiem podstawy o długości 5 zaznaczono kąt α. Z prawego górnego wierzchołka poprowadzono linią przerywaną pionową wysokość i przedłużono podstawę figury o odcinke 5 również linią przerywaną i zaznaczono między nimi kat prosty.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika:

${(2 x)}^{2} + 5^{2} = {(3 x)}^{2}$ , co po przekształceniu sprowadza się do równania:

$5 x^{2} = 25$ , zatem $x = \sqrt{5}$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość przekątnej $d$ tego rombu:

${(2 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5} + 5)}^{2} = d^{2}$

Zatem $d^{2} = 20 + 45 + 25 + 30 \sqrt{5} = 90 + 30 \sqrt{5}$ , wobec tego $d = \sqrt{90 + 30 \sqrt{5}}$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz długość przekątnej w trapezie równoramiennym z rysunku, jeżeli wiadomo, że krótsza podstawa ma długość $2$ , ramię długość $8$ oraz $\sin α = \frac{1}{4}$ .

RqogzbQM4tWsq

Rysunek przedstawia trapez równoramienny o ramionach długości 8x oraz o podstawie górnej o długości 2x. Z górnego lewego wierzchołka upuszchono wysokość i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Z tego samego wierzchołka poprowadzono przekątną trapezu. Po lewej stronie zaznaczono także kąt α, który jest kątem nachylenia ramienia do podstawy.

Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

R3oDCwp0WadBy

Ponieważ $\sin α = \frac{1}{4}$ , to $\frac{h}{8} = \frac{1}{4}$ , czyli $h = 2$ .

Korzystajac z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + 2^{2} = 8^{2}$ , zatem $x = 2 \sqrt{15}$ .

Wobec tego $y = 2 \sqrt{15} + 2$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa rozwiązujemy równanie:

$h^{2} + y^{2} = d^{2}$

Zatem $d^{2} = 2^{2} + {(2 + 2 \sqrt{15})}^{2} = 4 + 4 + 8 \sqrt{15} + 60 = 68 + 8 \sqrt{15}$ .

Wobec tego $d = \sqrt{68 + 8 \sqrt{15}}$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela