Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1K7NBJK3ODZt

R194Wh71hQmUF

Wykonaj dwa poniższe podpunkty ćwiczenia.

RWBKOeVFKEM9C

I

. Dopasuj do podanych sytuacji adekwatne wykresy funkcji, które je opisują. W każdym przypadku mamy wykres drogi s (oś pionowa) od czasu t (oś pozioma).

Sytuacja: Piotr wyruszył na wycieczkę po górach ze stałą prędkością, oddalając się od domu.
Wykres opisujący sytuację: 1. Poziomy odcinek na wysokości $y = 60$ , 2. Dwa ukośne odcinki o wspólnym końcu. Pierwszy ma końce o współrzędnych $(0; 0)$ oraz $(2; 100)$ , drugi $(2; 100)$ oraz $(4; 0)$ ., 3. Ukośny odcinek o początku o współrzędnych $(0; 0)$ i o końcu o współrzędnych $(4; 240)$ .

Sytuacja: Piotr pokonał pewną drogę w górach, po czym uciął sobie kilkugodzinną drzemkę na hamaku w lesie.
Wykres opisujący sytuację: 1. Poziomy odcinek na wysokości $y = 60$ , 2. Dwa ukośne odcinki o wspólnym końcu. Pierwszy ma końce o współrzędnych $(0; 0)$ oraz $(2; 100)$ , drugi $(2; 100)$ oraz $(4; 0)$ ., 3. Ukośny odcinek o początku o współrzędnych $(0; 0)$ i o końcu o współrzędnych $(4; 240)$ ..

Sytuacja: Piotr porusza się ze stałą prędkością, przez dwie godziny oddalając się od miejsca odpoczynku w lesie. Niestety, po pewnym czasie zgubił orientację w terenie i nieświadomie zaczął wracać do miejsca, w którym odpoczywał.
Wykres opisujący sytuację: 1. Poziomy odcinek na wysokości $y = 60$ , 2. Dwa ukośne odcinki o wspólnym końcu. Pierwszy ma końce o współrzędnych $(0; 0)$ oraz $(2; 100)$ , drugi $(2; 100)$ oraz $(4; 0)$ ., 3. Ukośny odcinek o początku o współrzędnych $(0; 0)$ i o końcu o współrzędnych $(4; 240)$ .

RCVlXY4SwvAHD

II

. Dopasuj do podanych sytuacji adekwatne wykresy funkcji, które je opisują. W każdym przypadku mamy wykres prędkości v w kilometrach na godzinę (oś pionowa) od czasu t w godzinach (oś pozioma).

Sytuacja: Piotr przed wycieczką śpi w domu przez $4$ godziny.
Wykres opisujący sytuację: 1. Dwa rozłączne poziome odcinki. Pierwszy o końcach o współrzędnych $(0; 10)$ oraz $(1; 10)$ . Drugi o końcach o współrzędnych $(0; - 10)$ i $(2; - 10)$ ., 2. Poziomy odcinek na wysokości $y = 0$ ., 3. Poziomy odcinek na wysokości $y = 10$ .

Sytuacja: Piotr wyrusza na wycieczkę w góry, poruszając się ze stałą prędkością.
Wykres opisujący sytuację: 1. Dwa rozłączne poziome odcinki. Pierwszy o końcach o współrzędnych $(0; 10)$ oraz $(1; 10)$ . Drugi o końcach o współrzędnych $(0; - 10)$ i $(2; - 10)$ ., 2. Poziomy odcinek na wysokości $y = 0$ ., 3. Poziomy odcinek na wysokości $y = 10$ .

Sytuacja: Piotr porusza się ze stałą prędkością, przez dwie godziny oddalając się od domu, a następnie wracając.
Wykres opisujący sytuację: 1. Dwa rozłączne poziome odcinki. Pierwszy o końcach o współrzędnych $(0; 10)$ oraz $(1; 10)$ . Drugi o końcach o współrzędnych $(0; - 10)$ i $(2; - 10)$ ., 2. Poziomy odcinek na wysokości $y = 0$ ., 3. Poziomy odcinek na wysokości $y = 10$ .

Ćwiczenie 2

Korzystając z informacji na wykresach, wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

RZ7DVmrqwhNI7

Na ilustracji przedstawiono dwa wykresy funkcji v(t), z poziomą osią X od zera do trzech, opisującą wartości czasu w godzinach, oraz z pionową osią Y od zera do trzydziestu, opisującą wartości prędkości w kilometrach na godzinę. Na płaszczyźnie pierwszej, narysowano wykres funkcji opisujący zależność prędkości od czasu dla ruchu Anny. Wykres funkcji składa się z dwóch ukośnych odcinków. Pierwszy odcinek ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych 0;0, oraz z prawej strony zamalowanym punktem o współrzędnych 12;30. Drugi odcinek ograniczony z lewej strony punktem o współrzędnych 12;30, oraz z prawej zamalowanym punktem o współrzędnych 3;0. Na płaszczyźnie drugiej, narysowano wykres funkcji opisujący zależność prędkości od czasu dla ruchu Zofii. Wykres funkcji składa się z dwóch ukośnych odcinków. Pierwszy odcinek ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych 0;0, oraz z prawej, niezamalowanym punktem o współrzędnych 12;30. Odcinek drugi ograniczony jest z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych -30;12, oraz z prawej strony, zamalowanym punktem o współrzędnych 3;0.

R8Y415TnwlJ27

Ania wróciła do punktu wyjścia
Zosia zmieniła kierunek ruchu.
Ania przez cały czas poruszała się ze stałym przyspieszeniem.
Zosia przez cały czas poruszała się ze stałym przyspieszeniem.
Obie dziewczyny zatrzymały się po trzech godzinach.
Zosia wróciła do punktu wyjścia.
Ania zmieniła kierunek ruchu.

Ćwiczenie 3

Trzech pięcioletnich rowerzystów (wraz z rodzicami) wyruszyło na godzinną przejażdżkę rowerową. Ich odległość od domu opisują funkcje: $s_{1} (t) = t^{2} km$ , $s_{2} (t) = t^{3} km$ oraz $s_{3} (t) = t km$ .

R6EBOQyF2dsl6

R12nnp8owa1WG

RViJi9YAaSzVy

RhQCXdZoS98gD

Który z rowerzystów osiągnął największą średnią prędkość przez godzinę jazdy?

wszyscy mieli taką samą średnią prędkość
pierwszy
drugi
trzeci

R1AnfwDptdyiV2

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tekst, wstawiając odpowiednie liczby. Plastikową kulkę wystrzelono z balkonu pionowo w górę. Odległość piłki od powierzchni ziemi w zależności od czasu opisuje wzór

d (t) = - t^{2} + 6 t + 16

. Dziedziną funkcji jest przedział

⟨0, T⟩

, gdze

T

oznacza moment, w którym kulka dotknie ziemi. Zatem

T =

Tu uzupełnij. Balkon znajduje się na wysokości Tu uzupełnij metrów. Kulka zaczęła spadać po Tu uzupełnij sekundach.

Uzupełnij tekst wstawiając odpowiednie liczby.

Plastikową kulkę wystrzelono z balkonu pionowo w górę. Odległość piłki od powierzchni ziemi w zależności od czasu opisuje wzór $d (t) = - t^{2} + 6 t + 16$ . Dziedziną funkcji jest przedział $"⟨"0, T"⟩"$ , gdze $T$ oznacza moment, w którym kulka dotknie ziemi.
Zatem $T =$ ............. Balkon znajduje się na wysokości ............ metrów. Kulka zaczęła spadać po ............ sekundach.

Ćwiczenie 5

Rk1yxav64EUAo

R19y1PZ8QGZgn

Na którym z poniższych wykresów przedstawiono pochodną funkcji

d (t) = - t^{2} + 6 t + 16

? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do ośmiu, opisującą wartości czasu w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu, opisującą wartości prędkości w metrach na sekundę. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wykładniczej v nawias t zamknięcie nawiasu. Wykres jest rosnący w przedziale x od zera do trzech, oraz malejący w przedziale od trzech do ośmiu. Wykres funkcji przechodzi przez punkty o współrzędnych nawias 3 średnik 25 zamknięcie nawiasu oraz nawias 8 średnik 0 zamknięcie nawiasu., 2. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do ośmiu, opisującą wartości czasu w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu, opisującą wartości prędkości w metrach na sekundę. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji v nawias t zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji ukośna półprosta skierowana w dół o początku w punkcie nawias 0 średnik 6 zamknięcie nawiasu, przechodząca przez punkt o współrzędnych nawias 3 średnik 0 zamknięcie nawiasu., 3. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do ośmiu, opisującą wartości czasu w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu, opisującą wartości prędkości w metrach na sekundę. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, składający się z ukośnego odcinka i ukośnej półprostej o wspólnym jednym końcu. Odcinek ma końce w puntach nawias 0 średnik 6 zamknięcie nawiasu oraz nawias 3 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie dalej ukośnie w górę półprosta przebiegająca między innymi przez punkt nawias 5 średnik 4 zamknięcie nawiasu, 4. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do ośmiu, opisującą wartości czasu w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu, opisującą wartości prędkości w metrach na sekundę. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji v nawias t zamknięcie nawiasu, składający się z dwóch ukośnych odcinków. Odcinek pierwszy ma końce o współrzędnych nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu oraz nawias 3 średnik 6 zamknięcie nawiasu. W tym punkcie zaczyna się drugi odcinek biegnący w dół do punktu nawias 8 średnik 0 zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 6

Niech funkcja $d (t) = - t^{2} + 6 t + 16$ opisuje wysokość jaką osiaga plastikowa kulka wystrzelona z balkonu, gdzie $0 \leq t \leq 6$ oznacza czas jaki upłynął od jej wystrzelenia (liczony w sekundach). Oblicz prędkość tej kulki po upływie trzech sekund.

Musimy policzyć pochodną funkcji $d$ w punkcie $3$ : $d' (3) = \lim_{h \to 0} \frac{d (3 + h) - d (3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{- {(3 + h)}^{2} + 6 (3 + h) + 16 - (- 3^{2} + 6 \cdot 3 + 16)}{h} =$ $\lim_{h \to 0} \frac{- 9 - 6 h - h^{2} + 18 + 6 h + 16 + 6 h + 9 - 18 - 16}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{- h^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} (- h) = 0$ .

Prędkość wynosi $0 [\frac{m}{s}]$ .

R1SqxzHLMPAxj3

Ćwiczenie 7

Niech funkcja

d

opisuje drogę jaką pokonał samochód na autostradzie w zależności od czasu (w minutach). Dobierz w pary zdania, które są równoważne. Samochód uzyskał największą prędkość w czwartej minucie. Możliwe odpowiedzi: 1.

d' (3) \cdot d' (5) < 0

, 2.

d' (3) \cdot d' (5) > 0

, 3.

d' (4) = 0

, 4.

{|d'|}_{m a x} = |d' (4)|

, 5.

d' (0) = 0, 04

Samochód zatrzymał się w czwartej minucie. Możliwe odpowiedzi: 1.

d' (3) \cdot d' (5) < 0

, 2.

d' (3) \cdot d' (5) > 0

, 3.

d' (4) = 0

, 4.

{|d'|}_{m a x} = |d' (4)|

, 5.

d' (0) = 0, 04

W trzeciej i piątej minucie samochód poruszał się w przeciwnych kierunkach. Możliwe odpowiedzi: 1.

d' (3) \cdot d' (5) < 0

, 2.

d' (3) \cdot d' (5) > 0

, 3.

d' (4) = 0

, 4.

{|d'|}_{m a x} = |d' (4)|

, 5.

d' (0) = 0, 04

Prędkość początkowa samochodu wynosiła

0, 04 \frac{km}{\min}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

d' (3) \cdot d' (5) < 0

, 2.

d' (3) \cdot d' (5) > 0

, 3.

d' (4) = 0

, 4.

{|d'|}_{m a x} = |d' (4)|

, 5.

d' (0) = 0, 04

W trzeciej i piątej minucie samochód poruszał się w tym samym kierunku. Możliwe odpowiedzi: 1.

d' (3) \cdot d' (5) < 0

, 2.

d' (3) \cdot d' (5) > 0

, 3.

d' (4) = 0

, 4.

{|d'|}_{m a x} = |d' (4)|

, 5.

d' (0) = 0, 04

Niech funkcja $d$ opisuje drogę jaką pokonał samochód na autostradzie w zależności od czasu (w minutach). Dobierz w pary zdania, które są równoważne.

samochód uzyskał największą prędkość w czwartej minucie
samochód zatrzymał się w czwartej minucie
w trzeciej i piątej minucie samochód poruszał się w przeciwnych kierunkach
prędkość początkowa samochodu wynosiła $0, 04$ $\frac{km}{\min}$
w trzeciej i piątej minucie samochód poruszał się w tym samym kierunku

Ćwiczenie 8

Rr2Vxq8MYODav

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwóch, opisującą wartości czasu w godzinach, oraz pionową oś Y, od zera do dziewięciu, opisującą wartości drogi w kilometrach. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji st składający się z czterech odcinków i dwóch krzywych. Pierwszy odcinek ograniczony jest z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych 0;0, oraz z prawej zamalowanym punktem o współrzędnych 14;3. Drugi odcinek ograniczony z lewej strony punktem o współrzędnych 14;3, oraz z prawej strony zamalowanym punktem o współrzędnych 12;9. Trzeci odcinek ograniczony z lewej strony punktem o współrzędnych 12;9, oraz z prawej zamalowanym punktem o współrzędnych 34;3. Czwarty odcinek ograniczony z lewej strony punktem o współrzędnych 34;3, oraz z prawej zamalowanym punktem o współrzędnych 114;0. Kolejną częścią wykresu jest krzywa ograniczona z lewej strony punktem o współrzędnych 114;0, o wierzchołku w punkcie 118;13, oraz ograniczona z prawej strony zamalowanym punktem o współrzędnych 112;0. Ostatnią częścią wykresu jest krzywa ograniczona z lewej strony punktem o współrzędnych 112;0, o wierzchołku w punkcie 134;5, oraz ograniczona z prawej strony zamalowanym punktem o współrzędnych 2;0.

R913PcEBvV3Fv

Uzupełnij tabelę dotyczącą prędkości rowerzysty korzystając z powyższego wykresu jego odległości od domu.

W którym momencie rowerzysta poruszał się z największą prędkością?, Jaka była prędkość rowerzysty w $20$ minucie?, Jaka była prędkość rowerzysty w $60$ minucie?, na samym początku podróży, między $15$ a $30$ minutą, $3 \frac{km}{h}$ , $9 \frac{km}{h}$

Pytanie	Odpowiedź
W którym momencie rowerzysta poruszał się z największą prędkością?
Jaka była prędkość rowerzysty w $20$ minucie?
Jaka była prędkość rowerzysty w $60$ minucie?

Film samouczek

Dla nauczyciela