Film samouczek

Polecenie 1

Poznałeś już interpretację fizyczną pochodnej. Wiesz zatem, że jeżeli drogę punktu materialnego opisuje funkcja $s$ , to prędkość $v$ tego punktu w chwili $t_0$ wyrażona jest właśnie jako pochodna funkcji $s$ w punkcie $t_0$ , a zatem $v(t_0) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ .

Zwróć uwagę, że możemy uprościć nieco powyższy zapis przyjmując $U(h) = \frac{s(t_0+h) - s(t_0)}{h}.$

Wielkość $U(h)$ jest więc średnią prędkością w czasie od $t_0$ do $t_0+h$ . W konsekwencji $v(t_0) = \lim\limits_{h \to 0} U(h)$ .

Wykorzystując powyższy zapis, postaramy się znaleźć graficzną interpretację pochodnej funkcji.

Zapoznaj się z poniższym materiałem. Zwróć szczególną uwagę na zależności pomiędzy interpretacją graficzną i fizyczną pochodnej funkcji.

ROmAaZIY0CSxs

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D19uK0DQU

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej interpretacji fizycznej pochodnej.

Polecenie 2

Załóżmy, że drogę jaką przebył pewien obiekt w zależności od czasu $t$ opisuje funkcja $s (t) = a t^{2} + b t + c$ , gdzie $a \neq 0$ . Oblicz z jakim przyspieszeniem porusza się ten obiekt.

Z informacji zawartych w filmie wiemy, że jeśli zależność drogi od czasu jest opisana za pomocą funkcji kwadratowej, to mamy do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym. Oznacza to, że przyspieszenie jest funkcją stałą. Możemy więc policzyć przyspieszenie w dowolnym punkcie, weźmy np. $t_{0} = 1$ . Zanim policzymy przyspieszenie w chwili $t_{0} = 1$ musimy wyznaczyć funkcję opisującą prędkość, tj. pochodną funkcji opisującej drogę

$v (t) = s' (t) = \lim_{h \to 0} \frac{a {(t + h)}^{2} + b (t + h) + c - (a t^{2} + b t + c)}{h} =$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2 a t h + a h^{2} + b h}{h} = \lim_{h \to 0} (a h + 2 a t + b) = 2 a t + b$ .

Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie, obliczamy przyspieszenie w chwili $t_{0} = 1$ :

$a (1) = v' (1) = \lim_{h \to 0} \frac{2 a (1 + h) + b - (2 a \cdot 1 + b)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 a h}{h} = 2 a$ .

Zauważ, że wszystkie obliczenia możemy powtórzyć jeśli przebytą drogę opisuje funkcja $s (t) = b t + c$ . Wówczas mamy do czynienia z ruchem o stałym przyspieszeniu równym $0$ .

Przeczytaj

Sprawdź się