Znajdziemy funkcję przemieszczenia w przypadku, gdy rozważany przez nas punkt znajduje się w chwili $0$ w punkcie $2$ i nie wykonuje żadnego ruchu aż do chwili $3$. Wówczas położenie punktu materialnego w każdej chwili od $0$ do $3$ wynosi $2$. Funkcja $s:⟨0,3⟩⟶\mathrm{ℝ}$ jest więc dana wzorem

$s\left(t\right)=2$,

a jej wykres ma postać

RqtwWoYDa2hPb

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie przedstawiono wykres funkcji opisujący zależność drogi podanej w metrach, od czasu podanego w sekundach. Wykres funkcji opisano wzorem $s\left(t\right)=2$. Wykresem jest poziomy odcinek o końcach w punktach nawias 0 średnik 2 zamknięcie nawiasu oraz nawias 3 średnik 2 zamknięcie nawiasu.

Zobaczmy teraz jak wyglądałby ruch punktu materialnego, którego funkcja przemieszczenia $s:⟨0,4⟩⟶\mathrm{ℝ}$ jest funkcją liniową daną wzorem

$s\left(t\right)=-t+2$.

Zauważmy wpierw, że wykres funkcji jest postaci

RjEtYhIe2ia6f

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie przedstawiono wykres funkcji opisujący zależność drogi podanej w metrach, od czasu podanego w sekundach. Wykres stanowi ukośny odcinek o końcach w punktach o współrzędnych $\left(0;2\right)$, z lewej strony oraz punktem o współrzędnych $\left(4;-2\right)$. Wykres posiada miejsce zerowe dla x równego dwa.

Rozważany ruch zaczyna się więc w $2$ zaś kończy w $\left(-2\right)$. Poniższa animacja ukazuje nam, że punkt porusza się jednostajnie.

RulPrm6ZfPTOp

W animacji przedstawiono jednostajny ruch pomarańczowej kulki po osi liczbowej, oraz zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Na przykład. Gdy kulka znajduje się na osi liczbowej w punkcie 1, wartość t wynosi również jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie 0, wartość t wynosi dwa. Gdy kulka znajduje się w punkcie -2, wartość t jest równa cztery.

W animacji przedstawiono jednostajny ruch pomarańczowej kulki po osi liczbowej, oraz zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Na przykład. Gdy kulka znajduje się na osi liczbowej w punkcie 1, wartość t wynosi również jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie 0, wartość t wynosi dwa. Gdy kulka znajduje się w punkcie -2, wartość t jest równa cztery.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DxGF08FUq

Tym razem rozważymy ruch opisany przez funkcję przemieszczenia $s:⟨0,2⟩⟶\mathrm{ℝ}$ daną wzorem

$s\left(t\right)=-2t+2$.

Rysując wykres funkcji s przekonujemy się, że tak jak w poprzednim przykładzie, ruch punktu rozpoczyna się w $2$ i kończy $\left(-2\right)$.

RwIkxtS7hWXJK

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie przedstawiono wykres funkcji opisujący zależność drogi podanej w metrach, od czasu podanego w sekundach. Wykres stanowi ukośny odcinek o końcach w punktach o współrzędnych $\left(0;2\right)$ oraz $\left(2;-2\right)$. Wykres posiada miejsce zerowe dla x równego jeden.

Tym razem odbywa się jednak w dwa razy krótszym czasie. Można to także zaobserwować na podstawie animacji.

R1XyFX9wH0tKy

W animacji przedstawiono jednostajny ruch zielonej kulki po osi liczbowej, oraz zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Na przykład. Gdy kulka znajduje się w punkcie 2 na osi, wartość t wynosi zero. Gdy kulka znajduje się w punkcie 0, wartość t wynosi jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie -2, wartość t wynosi dwa.

W animacji przedstawiono jednostajny ruch zielonej kulki po osi liczbowej, oraz zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Na przykład. Gdy kulka znajduje się w punkcie 2 na osi, wartość t wynosi zero. Gdy kulka znajduje się w punkcie 0, wartość t wynosi jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie -2, wartość t wynosi dwa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DxGF08FUq

Widzimy zatem, że punkt materialny porusza się dwa razy szybciej niż w poprzednim przykładzie. Jest to związane z tym, że funkcja przemieszczenia $-2t+2$ ma dwa razy większy współczynnik kierunkowy niż $-t+2$. Przyjrzyjmy się animacji przedstawiającej jednocześnie ruch obu punktów.

RrCBh6szAUJyf

W animacji przedstawiono ruch zielonej oraz pomarańczowej kulki na jednej osi. Z łatwością można zauważyć, że kulka zielona porusza się dwa razy szybciej niż pomarańczowa. Obie kulki rozpoczynają ruch w tym samym momencie w punkcie dwa. Przykład. Dla tej samej wartości t równej dwa, kulka pomarańczowa znajduje się w punkcie 0 na osi, natomiast kulka zielona znajduje się w punkcie minus dwa.

W animacji przedstawiono ruch zielonej oraz pomarańczowej kulki na jednej osi. Z łatwością można zauważyć, że kulka zielona porusza się dwa razy szybciej niż pomarańczowa. Obie kulki rozpoczynają ruch w tym samym momencie w punkcie dwa. Przykład. Dla tej samej wartości t równej dwa, kulka pomarańczowa znajduje się w punkcie 0 na osi, natomiast kulka zielona znajduje się w punkcie minus dwa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DxGF08FUq

Zauważmy, że ruch opisany przez każdy z powyższych przykładów jest jednostajny. Oznacza to, że w żadnej chwili nie dochodziło do przyspieszenia ani opóźnienia. Rozważymy zatem ruch o nieco większej zmienności, tj. jednostajnie przyspieszony.

Kilogramowa kulka spada swobodnie z wysokości $100$ metrów na planecie, której przyspieszenie grawitacyjne wynosi $10 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. Jeżeli przyjmiemy, że $s\left(t\right)$ oznacza wysokość (a zatem położenie) kuli w chwili $t$, $v\left(t\right)$ – prędkość w chwili $t$, zaś $a\left(t\right)$ – przyspieszenie w chwili $t$, to korzystając ze wzorów znanych z lekcji fizyki otrzymamy

$s\left(t\right)=100-5t^2$, $v\left(t\right)=-10t$ oraz $a\left(t\right)=-10$.

Aby obliczyć prędkośćprędkośćprędkość w pierwszej sekundzie ruchu możemy skorzystać z powyższego wzoru. Otrzymujemy wówczas

$v\left(1\right)=-10$.

Przedstawimy teraz inny sposób na otrzymanie tego samego wyniku. Policzmy wpierw średnią prędkość ruchu od chwili $1$ do chwili $3$. Mamy $s\left(1\right)=95$ oraz $s\left(3\right)=55$. Średnia prędkość kuli w czasie od $1$ do $3$ będzie zatem wynosiła

$\frac{s\left(3\right)-s\left(1\right)}{3-1}=\frac{55-95}{2}=-20$.

Z kolei średnia prędkość od chwili $1$ do $2$ jest równa

$\frac{s\left(2\right)-s\left(1\right)}{2-1}=\frac{80-95}{1}=-15$.

W ogólności, średnia prędkość w czasie od $1$ do $1+h$ wynosi

$\frac{s\left(1+h\right)-s\left(1\right)}{1+h-1}=\frac{s\left(1+h\right)-s\left(1\right)}{h}=\frac{100-5{\left(1+h\right)}^2-95}{h}=\frac{100-5\left(1+2h+h^2\right)-95}{h}=-10-5h$.

Przechodząc z $h$ do zera otrzymujemy że

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s\left(1+h\right)-s\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(-10-5h\right)=-10=v\left(1\right)$.

Okazuje się zatem, że granica ilorazu różnicowego przy $h\to 0$ funkcji przemieszczenia jest równa prędkości w chwili $1$. Postępując podobnie otrzymujemy

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v\left(t+h\right)-v\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-10\left(t+h\right)+10t}{h}=-10=a\left(t\right)$.

Tym samym granicą ilorazu różnicowego w punkcie $t$ przy $h\to 0$ funkcji prędkości jest przyspieszenieprzyspieszenieprzyspieszenie.

Powyższy przykład jest szczególnym przypadkiem zależności, która stanowi główny cel tej lekcji. Aby przejść do ogólnego przypadku przypomnimy definicję pochodnej funkcji w punkcie.

Pochodną funkcji $f$ w punkcie $t_0$ nazywamy liczbę

Przyjmijmy teraz, że trajektoria $s$, opisując ruch pewnego punktu materialnego, jest postaci

gdzie $\alpha$ oraz $\beta$ są liczbami rzeczywistymi. Łatwo policzyć wtedy prędkość rozważanego punktu materialnego

$v\left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s\left(t+h\right)-s\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\alpha \left(t+h\right)+\beta -\left(\alpha t+\beta \right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\alpha h}{h}=\alpha$.

Otrzymujemy zatem, że punkt materialny ma stałą prędkość równą współczynnikowi kierunkowemu funkcji $s$. Tłumaczy to obserwacje poczynione w przykładach 2 i 3. Na początku tej lekcji założyliśmy także, że omawiany ruch jest prostoliniowy. Stąd punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Na koniec policzmy przyspieszenie tego punktu

$a\left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v\left(t+h\right)-v\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\alpha -\alpha }{h}=0$.

Tym samym dochodzimy do dobrze znanego z lekcji fizyki wniosku, iż przyspieszenie w ruchu jednostajnym prostoliniowym wynosi $0$.

Wszystkie rozważane do tej pory przykłady można było obliczyć posługując się teorią poznaną już na lekcjach fizyki. Poniżej podamy przykład ruchu, którego przeanalizowanie wykracza już poza ramy standardowego kursu fizyki ponadpodstawowej.

Trajektoria $s:\left(0,2\right)⟶\mathrm{ℝ}$ punktu materialnego jest dana wzorem

Poniżej przedstawiony jest wykres tego ruchu wraz z animacją.

R1XfwH3gggpbp

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od -0,5 do dwóch i pół, opisującą wartości czasu w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do ośmiu, opisującą wartości drogi w metrach. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący kawałkiem funkcji wykładniczej, ograniczonej z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;0\right)$, z prawej, niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(2;8\right)$. Funkcja jest rosnąca.

RQyFFSPXZWDQz

Na animacji przedstawiono ruch kulki po osi liczbowej, który ulega przyśpieszeniu. Przedstawiono zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Kulkę umieszczono w punkcie zero. Na przykład. Gdy kulka znajduje się w punkcie 1, wartość t wynosi jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie 8, wartość t wynosi dwa.

Na animacji przedstawiono ruch kulki po osi liczbowej, który ulega przyśpieszeniu. Przedstawiono zmiany wartości t w zależności od położenia kulki na osi. Kulkę umieszczono w punkcie zero. Na przykład. Gdy kulka znajduje się w punkcie 1, wartość t wynosi jeden. Gdy kulka znajduje się w punkcie 8, wartość t wynosi dwa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DxGF08FUq

Policzymy prędkość oraz przyspieszenie punktu materialnego w pierwszej sekundzie. W celu wyznaczenia prędkości ustalmy $t\in \left(0,2\right)$ i policzmy

$v\left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{s\left(t+h\right)-s\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(t+h\right)}^3-t}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{t^3+3t^{2}h+3t{h}^2+h^3-t^3}{h}=$$=\underset{h\to 0}{\lim }\left(3t^2+3th+h^2\right)=3t^2$.

Otrzymujemy zatem, że funkcja prędkości ma postać $v\left(t\right)=3t^2$. Możemy na jej podstawie obliczyć przyspieszenie

$a\left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v\left(t+h\right)-v\left(t\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3{\left(t+h\right)}^2-3t^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3t^2+6th+3h^2-3t^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(6t+3h\right)=$$=6t$.

Stąd $v\left(1\right)=3$ oraz $a\left(1\right)=6$. Prędkość punktu materialnego w pierwszej sekundzie wynosiła zatem $3 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, zaś jego przyspieszenie było równe $6 \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. Możemy jeszcze narysować wykresy prędkości oraz przyspieszenia aby otrzymać bardziej pełny obraz ruchu punktu materialnego.

R1N4vJ6q36qLP

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od -0,5 do dwóch i pół, opisującą wartości czasu t w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwunastu, opisującą wartości prędkości w metrach na sekundę. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący kawałkiem funkcji wykładniczej o wzorze $v\left(t\right)=3t^2$. Funkcja ograniczona z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;0\right)$, oraz z prawej niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(2;12\right)$. Funkcja jest rosnąca.

R1Tb6KDLWYnpl

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od -0,5 do dwóch i pół, opisującą wartości czasu t w sekundach, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwunastu, opisującą wartości przyśpieszenia w metrach na sekundę kwadrat. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji o wzorze $a\left(t\right)=6t$. Wykres funkcji stanowi ukośny odcinek, ograniczoną z lewej strony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;0\right)$, oraz ograniczony z prawej niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(2;12\right)$. Funkcja jest rosnąca.

funkcja, która każdej chwili przyporządkowuje położenie punktu materialnego w tej chwili

w chwili $t$ – pochodna trajektorii w chwili $t$

w chwili $t$ – pochodna funkcji prędkości w chwili $t$