Przeczytaj
Załóżmy, że mamy do czynienia z niekończącą się drogą. Znajduje się na niej punkt materialny, który może się poruszać do przodu lub do tyłu. Taki ruch nazywamy prostoliniowym. Nasze przemieszczenie w czasie będzie opisywała funkcja , nazywana dalej trajektoriątrajektorią, która każdej chwili przyporządkowuje położenie punktu materialnego w chwili .
Znajdziemy funkcję przemieszczenia w przypadku, gdy rozważany przez nas punkt znajduje się w chwili w punkcie i nie wykonuje żadnego ruchu aż do chwili . Wówczas położenie punktu materialnego w każdej chwili od do wynosi . Funkcja jest więc dana wzorem
,
a jej wykres ma postać
Zobaczmy teraz jak wyglądałby ruch punktu materialnego, którego funkcja przemieszczenia jest funkcją liniową daną wzorem
.
Zauważmy wpierw, że wykres funkcji jest postaci
Rozważany ruch zaczyna się więc w zaś kończy w . Poniższa animacja ukazuje nam, że punkt porusza się jednostajnie.
Tym razem rozważymy ruch opisany przez funkcję przemieszczenia daną wzorem
.
Rysując wykres funkcji s przekonujemy się, że tak jak w poprzednim przykładzie, ruch punktu rozpoczyna się w i kończy .
Tym razem odbywa się jednak w dwa razy krótszym czasie. Można to także zaobserwować na podstawie animacji.
Widzimy zatem, że punkt materialny porusza się dwa razy szybciej niż w poprzednim przykładzie. Jest to związane z tym, że funkcja przemieszczenia ma dwa razy większy współczynnik kierunkowy niż . Przyjrzyjmy się animacji przedstawiającej jednocześnie ruch obu punktów.
Zauważmy, że ruch opisany przez każdy z powyższych przykładów jest jednostajny. Oznacza to, że w żadnej chwili nie dochodziło do przyspieszenia ani opóźnienia. Rozważymy zatem ruch o nieco większej zmienności, tj. jednostajnie przyspieszony.
Kilogramowa kulka spada swobodnie z wysokości metrów na planecie, której przyspieszenie grawitacyjne wynosi . Jeżeli przyjmiemy, że oznacza wysokość (a zatem położenie) kuli w chwili , – prędkość w chwili , zaś – przyspieszenie w chwili , to korzystając ze wzorów znanych z lekcji fizyki otrzymamy
, oraz .
Aby obliczyć prędkośćprędkość w pierwszej sekundzie ruchu możemy skorzystać z powyższego wzoru. Otrzymujemy wówczas
.
Przedstawimy teraz inny sposób na otrzymanie tego samego wyniku. Policzmy wpierw średnią prędkość ruchu od chwili do chwili . Mamy oraz . Średnia prędkość kuli w czasie od do będzie zatem wynosiła
.
Z kolei średnia prędkość od chwili do jest równa
.
W ogólności, średnia prędkość w czasie od do wynosi
.
Przechodząc z do zera otrzymujemy że
.
Okazuje się zatem, że granica ilorazu różnicowego przy funkcji przemieszczenia jest równa prędkości w chwili . Postępując podobnie otrzymujemy
.
Tym samym granicą ilorazu różnicowego w punkcie przy funkcji prędkości jest przyspieszenieprzyspieszenie.
Powyższy przykład jest szczególnym przypadkiem zależności, która stanowi główny cel tej lekcji. Aby przejść do ogólnego przypadku przypomnimy definicję pochodnej funkcji w punkcie.
Pochodną funkcji w punkcie nazywamy liczbę
Ustalmy teraz trajektorię : , gdzie , . Pochodną funkcji w chwili nazywamy prędkością punktu materialnego w chwili . Funkcją prędkości nazywamy funkcję , która każdej chwili przyporządkowuje prędkość punktu materialnego w chwili . Przyspieszenie w chwili jest pochodną funkcji w , zaś funkcja przyspieszenia – jest przyporządkowaniem, które każdej chwili przypisuje przyspieszenie w chwili .
Przyjmijmy teraz, że trajektoria , opisując ruch pewnego punktu materialnego, jest postaci
gdzie oraz są liczbami rzeczywistymi. Łatwo policzyć wtedy prędkość rozważanego punktu materialnego
.
Otrzymujemy zatem, że punkt materialny ma stałą prędkość równą współczynnikowi kierunkowemu funkcji . Tłumaczy to obserwacje poczynione w przykładach 2 i 3. Na początku tej lekcji założyliśmy także, że omawiany ruch jest prostoliniowy. Stąd punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Na koniec policzmy przyspieszenie tego punktu
.
Tym samym dochodzimy do dobrze znanego z lekcji fizyki wniosku, iż przyspieszenie w ruchu jednostajnym prostoliniowym wynosi .
Wszystkie rozważane do tej pory przykłady można było obliczyć posługując się teorią poznaną już na lekcjach fizyki. Poniżej podamy przykład ruchu, którego przeanalizowanie wykracza już poza ramy standardowego kursu fizyki ponadpodstawowej.
Trajektoria punktu materialnego jest dana wzorem
Poniżej przedstawiony jest wykres tego ruchu wraz z animacją.
Policzymy prędkość oraz przyspieszenie punktu materialnego w pierwszej sekundzie. W celu wyznaczenia prędkości ustalmy i policzmy
.
Otrzymujemy zatem, że funkcja prędkości ma postać . Możemy na jej podstawie obliczyć przyspieszenie
.
Stąd oraz . Prędkość punktu materialnego w pierwszej sekundzie wynosiła zatem , zaś jego przyspieszenie było równe . Możemy jeszcze narysować wykresy prędkości oraz przyspieszenia aby otrzymać bardziej pełny obraz ruchu punktu materialnego.
Słownik
funkcja, która każdej chwili przyporządkowuje położenie punktu materialnego w tej chwili
w chwili – pochodna trajektorii w chwili
w chwili – pochodna funkcji prędkości w chwili