Oznaczmy przez $a_n$ liczbę sposobów wyboru płyt.

RSCh2vusDxZR1

Rysunek przedstawia szereg dziesięciu kwadratów, przy czym pierwszy kwadrat jest zamalowany na kolor szary, a następne dziewięć niezamalowanych kwadratów jest objęte klamrą z podpisem n minus 1.

Dla $n\ge 2$ chodnik można zacząć układać od płyty o wymiarach $1\times 1$. Wtedy pozostałe płyty można ułożyć na $a_{n-1}$ sposobów.

RiZEvwjw4SxlT

Rysunek przedstawia szereg dziesięciu kwadratów, przy czym pierwsze dwa kwadraty są zamalowane na kolor szary, a następne osiem niezamalowanych kwadratów jest objęte klamrą z podpisem n minus 2.

Dla $n\ge 3$ chodnik można zacząć układać od płyty o wymiarach $1\times 2$. Wtedy pozostałe płyty można ułożyć na $a_{n-2}$ sposobów.

Stąd $a_n=a_{n-2}+a_{n-1}$ dla $n\ge 3$.

Otrzymany wzór jest taki sam, jak dla ciągu Fibonacciego.

Zauważmy przy tym, że:

$a_1=1=F_2$

$a_2=2=F_3$

Zatem

$a_n=F_{n+1}$

Wzór ten, zwany jest wzorem Bineta. Dla n = 3  prawdziwość  tego wzoru została sprawdzona w sekcji Przeczytaj.

Dowód tego wzoru jest dość trudny. Zwykle opiera się na zauważeniu, że rozwiązując równanie kwadratowe

$x^2-x-1=0$

otrzymujemy

$x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, $x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Wynika z tego, że

$F_n=a{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n+b{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n$

Współczynniki $a$, $b$ otrzymamy, korzystając z wartości pierwszych dwóch wyrazów ciągu.

$F_0=a+b=0$ i $F_1= a{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^1+b{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^1=1$

Stąd

$a=-b=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Czyli

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}·\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right]$

co należało udowodnić.

$L=F_{10}=55$

$P=\frac{F_{15}-F_5}{11}=\frac{610-5}{11}=\frac{605}{11}=55$

$L=P$