Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RA91uGg0C3WG21

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Przyrost gałęzi pewnego drzewa w okresie kolejnych miesięcy zwiększa się w określony sposób. Liczbę gałęzi określają kolejne liczby Fibonacciego.

R1YNmiWHjhvLh

Grafika przedstawia drzewo w kolorze czerwonym. Cały rysunek jest podzielony na 6 równych pól za pomocą poziomych linii. Po prawej stronie zapisane są kolejne liczby ciągu Fibonacciego. Kolejno od dołu: 1, 2, 3, 5, 8, 13. W pierwszym polu na samym dole rysunku jest tylko pień drzewa. W drugim polu drzewo rozdziela się na dwie grube odnogi. W trzecim polu z prawej odnogi wyrasta dodatkowa gałąź. W czwartym polu z lewej odnogi wyrasta dodatkowa gałąź, natomiast prawa odnoga dzieli się już na trzy gałęzie. W tym polu w sumie znajduje się 5 gałęzi. W piątym polu Z lewej odnogi wyrastają 3 gałęzie, a prawa dzieli się na 5 gałęzi. W szóstym polu lewa odnoga dzieli się na pięć gałęzi, a prawa odnoga dzieli się na 8 gałęzi.

RViZlu4iPhmPC

R1HfnAR56L8E52

Ćwiczenie 3

RctqCujgmmYfX

Ćwiczenie 3

R1WGabTs4nxEd2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Oblicz, na ile różnych sposobów można ułożyć chodnik o długości $n$ i szerokości $1$ , mając do dyspozycji płyty o wymiarach $1 \times 1$ i $1 \times 2$ .

Oznaczmy przez $a_{n}$ liczbę sposobów wyboru płyt.

RSCh2vusDxZR1

Rysunek przedstawia szereg dziesięciu kwadratów, przy czym pierwszy kwadrat jest zamalowany na kolor szary, a następne dziewięć niezamalowanych kwadratów jest objęte klamrą z podpisem n minus 1.

Dla $n \geq 2$ chodnik można zacząć układać od płyty o wymiarach $1 \times 1$ . Wtedy pozostałe płyty można ułożyć na $a_{n - 1}$ sposobów.

RiZEvwjw4SxlT

Rysunek przedstawia szereg dziesięciu kwadratów, przy czym pierwsze dwa kwadraty są zamalowane na kolor szary, a następne osiem niezamalowanych kwadratów jest objęte klamrą z podpisem n minus 2.

Dla $n \geq 3$ chodnik można zacząć układać od płyty o wymiarach $1 \times 2$ . Wtedy pozostałe płyty można ułożyć na $a_{n - 2}$ sposobów.

Stąd $a_{n} = a_{n - 2} + a_{n - 1}$ dla $n \geq 3$ .

Otrzymany wzór jest taki sam, jak dla ciągu Fibonacciego.

Zauważmy przy tym, że:

$a_{1} = 1 = F_{2}$

$a_{2} = 2 = F_{3}$

Zatem

$a_{n} = F_{n + 1}$

RWn8W6ow1EiTG2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Sprawdź na kilku przykładach, że dowolny wyraz ciągu Fibonacciego można przedstawić w poniższej postaci. Znajdź w dostępnych źródłach dowód tego twierdzenia.

$F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$

Wzór ten, zwany jest wzorem Bineta. Dla n = 3 prawdziwość tego wzoru została sprawdzona w sekcji Przeczytaj.

Dowód tego wzoru jest dość trudny. Zwykle opiera się na zauważeniu, że rozwiązując równanie kwadratowe

$x^{2} - x - 1 = 0$

otrzymujemy

$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ , $x_{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Wynika z tego, że

$F_{n} = a {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n} + b {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n}$

Współczynniki $a$ , $b$ otrzymamy, korzystając z wartości pierwszych dwóch wyrazów ciągu.

$F_{0} = a + b = 0$ i $F_{1} = a {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{1} + b {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{1} = 1$

Stąd

$a = - b = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Czyli

$F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$

co należało udowodnić.

Ćwiczenie 8

Dla ciągu $(F_{n})$ prawdziwy jest wzór

$F_{n} = \frac{F_{n + 5} - F_{n - 5}}{11}$ dla $n \geq 5$ .

Sprawdź prawdziwość tego wzoru dla $n = 10$ .

$L = F_{10} = 55$

$P = \frac{F_{15} - F_{5}}{11} = \frac{610 - 5}{11} = \frac{605}{11} = 55$

$L = P$

Film edukacyjny

Dla nauczyciela