Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Ciąg Fibonacciego

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, klasa II lub III, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VI. Ciągi. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach
a) $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=\mathrm{0,001}\\ a_n=a_n+\frac{1}{2}·a_n\left(1-a_n\right) \end{array}\right.$,
b) $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_2=1 \\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\end{array}\right.$.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• tworzy kolejne liczby Fibonacciego

• wyznacza wyrazy ciągu Fibonacciego na podstawie wzoru rekurencyjnego

• odkrywa i stosuje niektóre własności ciągu Fibonacciego

• zauważa regularności, podobieństwa oraz analogie i na ich podstawie formułuje wnioski i uzasadnia ich poprawność

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• gra dydaktyczna – krzyżówka

• metoda trójkąta

Formy pracy:

• praca w grupach

• praca w parach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Dwaj uczniowie, wcześniej wskazani przez nauczyciela, przygotowali w domu dwie krzyżówki, których celem jest powtórzenie wiadomości o ciągach.

2. Uczniowie rozwiązują te krzyżówki w parach. Para, która najszybciej poprawnie rozwiąże obie krzyżówki może zostać nagrodzona.

3. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują w grupach metodą trójkąta. W tej metodzie trójkąt równoramienny odwrócony do dołu wierzchołkiem symbolizuje problem, który definiują grupy, na podstawie tematu zajęć podanego przez nauczyciela. Problem (związany z ciągiem Fibonacciego) uczniowie wpisują do trójkąta.

2. Teraz na jednym ramieniu trójkąta wpisują pytania na które poszukają odpowiedzi (np. jakim wzorem ogólnym można określić ciąg Fibonacciego, jakie ma własności ten ciąg, itd.).

3. W trakcie poszukiwania odpowiedzi na postawione pytania (analizując materiał zapisany w sekcji „Przeczytaj” i rozwiązując ćwiczenia), uczniowie zapewne napotkają trudności i nasuną im się wątpliwości – te wpisują do środka trójkąta.

4. Po upływie wyznaczonego czasu, grupy dzielą się informacjami na temat ciągu Fibonacciego, wyjaśniają wątpliwości, również z pomocą nauczyciela.

Faza podsumowująca:

1. Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.
   Przedstawiciele grup omawiają sposoby pracy grup, przyjęte strategie i ich efektywność.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia pracę grup i par.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest poszukanie w dostępnych źródłach informacji jeszcze innych własności ciągu Fibonacciego niż te, poznane w czasie zajęć.

Materiały pomocnicze:

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnejDpLrb1VJRPojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

Wskazówki metodyczne:

Film edukacyjny może być wykorzystany w czasie zajęć poświęconych rekurencyjnemu określaniu ciągów.