Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

iZFjx378LV_d5e82

RhyJqvXmlVaDH1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Klasa $IIb$ pojechała na białą szkołę. Tomek, Małgosia, Julka, Franek i Jurek stoją w kolejce do wyciągu narciarskiego. Każde z nich zajmuje konkretną pozycję w kolejce. Możemy powiedzieć, że każdej z pozycji, czyli kolejnej liczbie naturalnej od $1$ do $5$ , przyporządkowana jest konkretna osoba. Takie przyporządkowanie nazywamy ciągiem.
Liczbie $1$ (pierwszemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Tomek.
Liczbie $2$ (drugiemu miejscu w kolejce) przyporządkowana jest Małgosia.
Liczbie $3$ (trzeciemu miejscu w kolejce) przyporządkowana jest Julka.
Liczbie $4$ (czwartemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Franek.
Liczbie $5$ (piątemu miejscu w kolejce) przyporządkowany jest Jurek.

Przykład 1

Rg5RVkIolFVak1

Definicja ciągu

Definicja: Definicja ciągu

Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.
Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całkowitych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór ${1,2, . . ., n}$ , gdzie $n$ jest ustaloną dodatnią liczbą całkowitą.
Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkaliśmy się, np. podając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane $(1, 3)$ i $(3, 1)$ są różne.
Ciąg opisany w przykładzie powyżej jest skończony, ponieważ w kolejce stoi $5$ osób, czyli skończona liczba osób. Dziedziną tego ciągu jest zbiór ${1, 2, 3, 4, 5}$ .
Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.

W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, których wyrazy są liczbami. Ciąg oznaczamy zazwyczaj $(a_{n}), (b_{n}), (c_{n}),$ itd. Natomiast $a_{n}$ oznacza $n$ -ty wyraz ciągu $(a_{n})$ , na przykład drugi wyraz ciągu $(a_{n})$ to $a_{2}$ .
Jeżeli ciąg z podanego wyżej przykładu $1$ oznaczymy $(a_{n})$ , to $a_{1} =$ Tomek, $a_{2} =$ Małgosia, $a_{3} =$ Julka, $a_{4} =$ Franek, $a_{5} =$ Jurek.

Przykład 2

Rozpatrzmy ciąg $(a_{n})$ składający się z $5$ wyrazów, które są kolejnymi początkowymi liczbami pierwszymi. Przypomnijmy, że najmniejszą liczbą pierwszą jest $2$ . Zatem

a_{1} = 2 {, a}_{2} = 3 {, a}_{3} = 5, a_{4} = 7 {, a}_{5} = 11

Ciąg liczbowy, podobnie jak inne funkcje, można opisać na różne sposoby, np. narysować jego wykres. Oto wykres tego ciągu:

Rv2jztEZH7eyF1

Wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) składa się z punktów o współrzędnych (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 11). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem $a_{n} = n^{2} + 3 n$ . Aby obliczyć wyraz o numerze $n$ , należy podnieść numer wyrazu do kwadratu i dodać do niego potrojony numer tego wyrazu.
W ten sposób obliczamy

a_{1} = 1^{2} + 3 ∙ 1 = 4

a_{2} = 2^{2} + 3 ∙ 2 = 10

a_{3} = 3^{2} + 3 ∙ 3 = 18

a_{4} = 4^{2} + 3 ∙ 4 = 28

a_{5} = 5^{2} + 3 ∙ 5 = 40

a_{6} = 6^{2} + 3 ∙ 6 = 54

Tak samo możemy obliczyć wyraz o dowolnie wybranym numerze, np.

a_{65} = 65^{2} + 3 ∙ 65 = 4420

a_{100} = 100^{2} + 3 ∙ 100 = 10 300

Podany przez nas wzór ma tę własność, że każdy wyraz ciągu jest uzależniony od numeru tego wyrazu, tego typu wzór określający ciąg nazywamy wzorem ogólnym.

RaS6zXi8dqwFL1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DpLrb1VJR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 4

Dany jest ciąg ułamków takich, że licznik każdego z tych ułamków, a więc każdego wyrazu tego ciągu równy jest numerowi, a mianownik jest o $1$ większy od licznika. Zatem ciąg ten ma postać $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots)$ . Jego $n$ -ty wyraz możemy opisać wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ . Znając wzór, możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu, np.

a_{73} = \frac{73}{73 + 1} = \frac{73}{74}

Przykład 5

Dany jest ciąg nieskończony $(a_{n})$ o wzorze ogólnym $a_{n} = \frac{n + 1}{2 n - 7}$ . Wypiszmy wszystkie wyrazy ujemne tego ciągu.
Zauważmy, że każdy wyraz ciągu to ułamek $\frac{n + 1}{2 n - 7}$ , którego licznik, czyli $n + 1$ , jest dodatni, gdyż $n \geq 1$ . Zatem ułamek jest ujemny, gdy jego mianownik jest ujemny, czyli gdy $2 n - 7 < 0$ , a więc $n < 3,5$ . Wynika stąd, że ujemnymi wyrazami są tylko trzy początkowe wyrazy:

a_{1} = \frac{1 + 1}{2 - 7} = - \frac{2}{5}, a_{2} = \frac{2 + 1}{4 - 7} = - 1, a_{3} = \frac{3 + 1}{6 - 7} = - 4

Przykład 6

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} ∙ (n^{2} - 25)}{n + 2}$ .

Oblicz wyrazy $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{10}$ .
Korzystając z wzoru ogólnego, mamy:

a_{1} = \frac{{(- 1)}^{1} ∙ (1^{2} - 25)}{1 + 2} = 8

a_{2} = \frac{{(- 1)}^{2} ∙ (2^{2} - 25)}{2 + 2} = - \frac{21}{4} = - 5 \frac{1}{4}

a_{3} = \frac{{(- 1)}^{3} ∙ (3^{2} - 25)}{3 + 2} = \frac{16}{5} = 3 \frac{1}{5}

a_{10} = \frac{{(- 1)}^{10} ∙ (10^{2} - 25)}{10 + 2} = \frac{75}{12} = 6 \frac{1}{4}

Wykaż, że $a_{5} < a_{6}$ oraz $a_{6} > a_{7}$ .
Obliczmy

a_{5} = \frac{{(- 1)}^{5} ∙ (5^{2} - 25)}{5 + 2} = 0, a_{6} = \frac{{(- 1)}^{6} ∙ (6^{2} - 25)}{6 + 2} = \frac{11}{8}, a_{7} = \frac{{(- 1)}^{7} ∙ (7^{2} - 25)}{7 + 2} = - \frac{24}{9} = - 2 \frac{2}{3},

co oznacza, że $a_{5} < a_{6}$ oraz $a_{6} > a_{7}$ .

Przykład 7

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = (n + 3) (2 n - 5)$ .

Uzasadnij, że żaden wyraz ciągu $(a_{n})$ nie jest równy zero.
Przypuśćmy, że któryś z wyrazów jest równy zero, a więc $a_{n} = 0$ . Zatem $(n + 3) (2 n - 5) = 0$ , czyli $n + 3 = 0$ lub $2 n - 5 = 0$ . Stąd $n = - 3$ lub $n = 2,5$ . Żadna z tych równości nie jest prawdziwa, gdyż $n$ to numer wyrazu ciągu i jest dodatnią liczbą całkowitą. To oznacza, że żaden wyraz tego ciągu nie jest równy $0$ .
Który wyraz tego ciągu jest równy $6$ ?
Podobnie jak poprzednio, rozwiązujemy równanie $a_{n} = 6$ , czyli $(n + 3) (2 n - 5) = 6$ . Po przekształceniu tego równania otrzymujemy równanie kwadratowe $2 n^{2} + n - 21 = 0$ , które ma dwa rozwiązania $n = - 3,5$ lub $n = 3$ . Tylko drugie z tych rozwiązań jest to dodatnia liczba całkowita, więc $n = 3$ . Oznacza to, że tylko trzeci wyraz tego ciągu jest równy $6$ .

Przykład 8

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = \sqrt{3 n + 6}$ . Który wyraz tego ciągu jest równy $2 \sqrt{3}$ ?
Rozwiązujemy równanie $\sqrt{3 n + 6} = 2 \sqrt{3}$ , czyli $\sqrt{3 n + 6} = \sqrt{12}$ . Stąd wynika, że $3 n + 6 = 12$ , więc $n = 2$ . Zatem jedynie $a_{2} = 2 \sqrt{3}$ .

Przykład 9

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = \sqrt[3]{n - 2}$ . Oblicz $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ .
Obliczamy

a_{1} = \sqrt[3]{1 - 2} = \sqrt[3]{- 1} = - 1, a_{2} = \sqrt[3]{2 - 2} = 0, a_{3} = \sqrt[3]{3 - 2} = 1

Zauważmy, że podanie kilku początkowych wyrazów ciągu nie pozwala jednoznacznie obliczyć kolejnych jego wyrazów ani określić wzoru ogólnego tego ciągu. Rozpatrzmy nieskończony ciąg $(- 1,0, 1, . . .)$ . Można byłoby przypuszczać, że jest to ciąg z poprzedniego przykładu, a więc ciąg określony wzorem ogólnym $a_{n} = \sqrt[3]{n - 2}$ . Można byłoby też przyjąć, że wzór ogólny tego ciągu to $a_{n} = n - 2$ lub $a_{n} = {(n - 2)}^{5}$ . Wówczas jednak inne byłyby już czwarte wyrazy tych ciągów. W pierwszym $a_{4} = \sqrt[3]{2}$ , w drugim $a_{4} = 2$ , a w ostatnim $a_{4} = 32$ .
Jeżeli oprócz podania początkowych wyrazów ciągu określimy również zasadę opisującą tworzenie kolejnych jego wyrazów z poprzednich wyrazów, to wtedy ciąg określimy w sposób jednoznaczny. Na przykład gdybyśmy przy określaniu ciągu nieskończonego $(- 1,0, 1, . . .)$ podali jeszcze, że każdy jego wyraz, począwszy od wyrazu drugiego, jest o $1$ większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, to wówczas obie te informacje moglibyśmy zapisać krótko w postaci $a_{1} = - 1$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 1$ dla $n \geq 1$ . W ten sposób można obliczyć kolejne wyrazy ciągu:

a_{2} = a_{1} + 1 = - 1 + 1 = 0, a_{3} = a_{2} + 1 = 0 + 1 = 1, a_{4} = a_{3} + 1 = 1 + 1 = 2

Jednak aby obliczyć np. $a_{100} = a_{99} + 1$ , musimy najpierw obliczyć $a_{99}, a_{98}, a_{97}$ itd. Zauważmy jednak, że ten sam ciąg opisuje wzór ogólny $a_{n} = n - 2$ , który pozwala obliczyć dowolny wyraz ciągu, np.

a_{100} = 100 - 2 = 98

Przykład 10

Wyznacz wzór ogólny ciągu, którego pierwszy wyraz jest równy $7$ , a każdy następny wyraz jest o $3$ większy od poprzedniego.
Informacje podane w poleceniu możemy zapisać w postaci $a_{1} = 7$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ dla $n \geq 1$ .
Pierwszy wyraz ciągu to $a_{1} = 7$ . Obliczmy kilka następnych wyrazów tego ciągu:

a_{2} = a_{1} + 3 = 7 + 1 ∙ 3 = 10

a_{3} = a_{2} + 3 = a_{1} + 3 + 3 = 7 + 2 ∙ 3 = 13

a_{4} = a_{3} + 3 = a_{1} + 2 ∙ 3 + 3 = 7 + 3 ∙ 3 = 16

Zauważmy, że trzeci wyraz jest większy od pierwszego wyrazu o dwie trójki, czyli o $2 ∙ 3$ , czwarty jest większy od pierwszego o trzy trójki, czyli o $3 ∙ 3$ . Zatem wyraz o numerze $n$ jest większy od wyrazu pierwszego o $n - 1$ trójek. Wzór ogólny tego ciągu możemy więc zapisać w postaci

a_{n} = 7 + (n - 1) ∙ 3

Zbadamy teraz, rozpatrując kilka przykładów, jak zachowują się kolejne wyrazy ciągu. Interesować nas będzie, czy wyrazy ciągu rosną, maleją, czy nie zmieniają się.

Przykład 11

Rozpatrzmy nieskończone ciągi $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(c_{n})$ określone wzorami ogólnymi $a_{n} = \frac{1}{2} ∙ n - 5$ , $b_{n} = \frac{2}{n} - 3$ , $c_{n} = {(n - 4)}^{2}$ . Obliczymy trzy pierwsze wyrazy każdego z tych ciągów:

a_{1} = \frac{1}{2} ∙ 1 - 5 = - 4 \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{1}{2} ∙ 2 - 5 = - 4, a_{3} = \frac{1}{2} ∙ 3 - 5 = - 3 \frac{1}{2}

b_{1} = \frac{2}{1} - 3 = - 1, b_{2} = \frac{2}{2} - 3 = - 2, b_{3} = \frac{2}{3} - 3 = - 2 \frac{1}{3}

c_{1} = {(1 - 4)}^{2} = 9, c_{2} = {(2 - 4)}^{2} = 4, c_{3} = {(3 - 4)}^{2} = 1

Zauważmy, że

Obliczone wyrazy ciągu $(a_{n})$ są coraz większe, a więc rosną. Tak też się dzieje z kolejnymi wyrazami tego ciągu, gdyż przy coraz większym $n$ rośnie też wartość wyrażenia $\frac{1}{2} n - 5$ . Mówimy wówczas, że ciąg jest rosnący.

To samo możemy też stwierdzić, gdy zauważymy, że wykres ciągu $(a_{n})$ składa się z punktów leżących na prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x - 5$ . Ta prosta jest wykresem rosnącej funkcji liniowej. Zatem i ciąg $(a_{n})$ jest rosnący.

R1cFIy9r5xrxe1

Wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) = jedna druga razy n -5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczone wyrazy ciągu $(b_{n})$ są coraz mniejsze, następne również maleją. Jest tak dlatego, że przy zwiększaniu $n$ maleje ułamek $\frac{2}{n}$ , a to oznacza, że maleje też różnica $\frac{2}{n} - 3$ . Ciąg $(b_{n})$ jest więc malejący.

Podobnie jak poprzednio do tego samego wniosku możemy dojść, zauważając, że wykres ciągu $(b_{n})$ składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu $y = \frac{2}{x} - 3$ . Ta hiperbola jest wykresem funkcji, która w przedziale $(0, + \infty)$ jest malejąca. Zatem i ciąg $(b_{n})$ jest malejący.

RgI3aZA8bowMz1

Wykres ciągu (b z indeksem dolnym n) =2 przez n -3 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczone wyrazy ciągu $(c_{n})$ maleją, czwarty wyraz jest mniejszy od trzeciego $(c_{4} = 0 < 1 = c_{3})$ , ale już kolejne wyrazy nie są coraz mniejsze. Piąty wyraz jest większy od czwartego ( $c_{5} = 1 > 0 = c_{4})$ . Ciąg ten nie jest więc malejący, nie jest też rosnący. To samo możemy zauważyć, patrząc na wykres $(c_{n})$ , który składa się z punktów leżących na paraboli o równaniu $y = {(x - 4)}^{2}$ . Parabola ta jest wykresem funkcji malejącej w przedziale $(- \infty, 4〉$ , a rosnącej w przedziale $〈4, + \infty)$ . Funkcja ta nie jest więc monotoniczna w przedziale $〈1, + \infty)$ , a w tym przedziale leżą wszystkie numery wyrazów ciągu.
R145z2gdXfwE11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iZFjx378LV_d5e373

RQJ8iZd5hpf0j1

RrgYUtCyOY4Uu1

RwAfGECCQZ8Pa1

RNoEih8adbUeI1

R1HtZRMRHtfsy1

R1CbrVqx1zT1O1

Ciągi monotoniczne

Definicja: Ciągi monotoniczne

Ciąg nazywamy rosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} > a_{n}

Ciąg nazywamy malejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} < a_{n}

Ciąg nazywamy stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są sobie równe, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi równość

a_{n + 1} = a_{n}

Ciąg nazywamy niemalejącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} \geq a_{n}

Ciąg nazywamy nierosnącym, jeżeli jego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, a więc jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi nierówność

a_{n + 1} \leq a_{n}

Jeżeli ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały, to mówimy, że ten ciąg jest monotoniczny. O innych ciągach mówimy, że nie są monotoniczne.

Przykład 12

Ciąg określony wzorem $a_{n} = {(- 1)}^{n} ∙ n$ nie jest monotoniczny. Wystarczy obliczyć trzy pierwsze wyrazy tego ciągu: $a_{1} = - 1$ , $a_{2} = 2$ , $a_{3} = - 3$ . Ponieważ $a_{2} > a_{1}$ i $a_{3} < a_{2}$ , więc ciąg nie jest monotoniczny.

iZFjx378LV_d5e477

Ćwiczenie 1

W tabeli podane zostały wszystkie wyrazy ciągu ${(a}_{n})$ .

Tabela. Dane
$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$a_{n}$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$5$	$4$

Narysuj wykres ciągu ${(a}_{n})$ .
Rozstrzygnij, czy ciąg ${(a}_{n})$ jest monotoniczny.

R1IyVDkkYCwDC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ciąg nie jest monotoniczny, ponieważ zachodzą jednocześnie dwie nierówności $a_{1} < a_{2}$ oraz $a_{5} > a_{6}$

Ćwiczenie 2

Ile wyrazów ujemnych występuje w ciągu $a_{n} = (n - 20) (2 n + 5)$ ?

$19$

Zbadajmy, dla jakich $n$ prawdziwa jest nierówność $a_{n} < 0$ . Ponieważ $2 n + 5 > 0$ , bo $n \geq 1$ , więc $(n - 20) (2 n + 5) < 0$ , gdy $n - 20 < 0$ , czyli gdy $n < 20$ . To oznacza, że ujemne są wyrazy od $a_{1}$ do $a_{19}$ . Jest więc $19$ takich wyrazów.

classicmobile

Ćwiczenie 3

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = n^{2} - 5 n + 1$ .

RZic95ubIEOD1

Siódmy wyraz tego ciągu jest równy $15$ .
Pierwszym wyrazem dodatnim tego ciągu jest $a_{5}$ .

$a_{7} = 7^{2} - 5 ∙ 7 + 1 = 15$ .

sposób $I$

$a_{1} = - 3$ , $a_{2} = - 5$ , $a_{3} = - 5$ , $a_{4} = - 3$ , $a_{5} = 1$ , czyli piąty wyraz jest pierwszym wyrazem dodatnim.

sposób $II$

Jeżeli zapiszemy wzór ogólny ciągu w postaci $a_{n} = n (n - 5) + 1$ , to zauważymy, że wyrazy ciągu, począwszy od piątego, są dodatnie. Ponieważ dla $n < 5$ iloczyn $n (n - 5)$ jest liczbą mniejszą od $- 1$ , to początkowe cztery wyrazy są ujemne. Zatem piąty wyraz jest pierwszym dodatnim wyrazem.

Ćwiczenie 4

Podaj wzór ogólny, jakim może być określony

ciąg siedmiowyrazowy $(a_{n})$ : $(4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)$
ciąg ośmiowyrazowy $(b_{n})$ : $(2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65)$
ciąg sześciowyrazowy $(c_{n})$ : $(- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{6})$
ciąg dziewięciowyrazowy $(d_{n})$ : $(2 \sqrt{3}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, 4, \sqrt{17}, 3 \sqrt{2}, \sqrt{19}, 2 \sqrt{5})$

Wzory ogólne mogą mieć postać

$a_{n} = 2 n + 2$ dla $n = 1, 2, \dots, 7$
$b_{n} = n^{2} + 1$ dla $n = 1, 2, \dots, 8$
$c_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ dla $n = 1, 2, \dots, 6$
$d_{n} = \sqrt{n + 11}$ dla $n = 1, 2, \dots, 9$

Ćwiczenie 5

Które wyrazy nieskończonego ciągu opisanego wzorem $a_{n} = \frac{n^{2} + 5 n + 6}{n}$ dla $n \geq 1$ są liczbami całkowitymi?

$a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{6}$

Zapiszmy wzór na $n$ -ty wyraz ciągu w postaci $a_{n} = \frac{n^{2} + 5 n + 6}{n} = \frac{n^{2}}{n} + \frac{5 n}{n} + \frac{6}{n} = n + 5 + \frac{6}{n}$ . Liczba $n + 5$ jest liczbą całkowitą, gdyż $n$ jest liczbą całkowitą, więc wyraz ciągu jest liczbą całkowitą, gdy ułamek $\frac{6}{n}$ jest liczbą całkowitą. Wynika stąd, że $n$ jest dzielnikiem liczby $6$ , zatem $n \in \{1, 2, 3, 6\}$ .

Ćwiczenie 6

Nieskończony ciąg opisany jest wzorem $a_{n} = n^{2} - 6 n + 5$ .

Wyznacz wyraz $a_{7}$ i wyraz $a_{10}$ .
Wyznacz wszystkie ujemne wyrazy tego ciągu.
Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ mamy $a_{n} \geq - 4$ .

$a_{7} = 12$ , $a_{10} = 45$
$a_{2} = - 3$ , $a_{3} = - 4$ , $a_{4} = - 3$

$a_{7} = 7^{2} - 6 ∙ 7 + 5 = 12$ , $a_{10} = 10^{2} - 6 ∙ 10 + 5 = 45$
$a_{n} = n^{2} - 6 n + 5 = (n - 1) (n - 5)$ . Wykres ciągu $(a_{n})$ składa się z punktów leżących na paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = (x - 1) (x - 5)$ .
R1IOe9aq3Nppq1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zatem ujemnymi wyrazami tego ciągu są: $a_{2} = - 3$ , $a_{3} = - 4$ , $a_{4} = - 3$ .
Zauważmy, że parabola, w której zawarty jest wykres ciągu $(a_{n})$ , jest zwrócona ramionami do góry, a jej wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych $(3, - 4)$ . Wynika stąd, że $- 4$ jest najmniejszą wartością funkcji kwadratowej $f$ . To oznacza, że $a_{3} = - 4$ jest najmniejszym wyrazem tego ciągu. Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ prawdziwa jest więc nierówność $a_{n} \geq - 4$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest ciąg $a_{n} = \frac{n + 12}{7}$ . Czy istnieje wyraz tego ciągu równy $3 \frac{2}{5}$ ?

Przypuśćmy, że $a_{n} = 3 \frac{2}{5}$ . Zatem $\frac{n + 12}{7} = 3 \frac{2}{5}$ , czyli $\frac{n + 12}{7} = \frac{17}{5}$ . Stąd $5 n + 60 = 119$ , czyli $n = 11,8$ . Ta liczba nie jest naturalna, więc nie istnieje wyraz ciągu, który jest równy $3 \frac{2}{5}$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest nieskończony ciąg $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{n + 3}{4 n + 1}$ . Które wyrazy tego ciągu są większe od $\frac{1}{3}$ ?

Rozwiążmy nierówność $a_{n} > \frac{1}{3}$ , czyli $\frac{n + 3}{4 n + 1} > \frac{1}{3}$ .
Ponieważ wyrażenie $4 n + 1 > 0$ , więc obie strony nierówności możemy pomnożyć przez $3 (4 n + 1)$ . Otrzymujemy kolejno

3 (n + 3) > 4 n + 1

8 > n

n < 8

Zatem mniejsze od $\frac{1}{3}$ są wszystkie wyrazy od pierwszego do siódmego.

iZFjx378LV_d5e765

Ćwiczenie 9

Oblicz piąty wyraz ciągu $(a_{n})$ określonego następująco $a_{1} = 3$ oraz $a_{n + 1} = {(- 1)}^{n} ∙ a_{n} + n$ dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 1$ .

$7$

Obliczmy kolejne wyrazy ciągu

a_{2} = {(- 1)}^{1} a_{1} + 1 = - 3 + 1 = - 2

a_{3} = {(- 1)}^{2} a_{2} + 2 = - 2 + 2 = 0

a_{4} = {(- 1)}^{3} a_{3} + 3 = 0 + 3 = 3

a_{5} = {(- 1)}^{4} a_{4} + 4 = 3 + 4 = 7

Ćwiczenie 10

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ .

Oblicz wartość wyrażenia $a_{5} + 2 a_{6}$ .
Określ monotoniczność ciągu $(a_{n})$ .

$\frac{2}{15}$
ciąg nie jest monotoniczny

Piąty i szósty wyraz ciągu obliczamy, korzystając z podanego wzoru: $a_{5} = \frac{{(- 1)}^{5}}{5} = - \frac{1}{5}$ , $a_{6} = \frac{{(- 1)}^{6}}{6} = \frac{1}{6}$ . Zatem wartość szukanego wyrażenia jest równa $a_{5} + 2 a_{6} = - \frac{1}{5} + \frac{2}{6} = - \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{2}{15}$ .
Ponieważ wyrazy o numerach parzystych są dodatnie, a wyrazy o numerach nieparzystych są ujemne, więc ciąg nie jest monotoniczny.

Ćwiczenie 11

Ile wyrazów nieskończonego ciągu określonego wzorem $a_{n} = \frac{3}{n + 2}$ należy do przedziału $(\frac{1}{3}, 2)$ ?

$6$

sposób I

Rozwiążmy nierówność $\frac{1}{3} < a_{n} < 2$ , czyli $\frac{1}{3}$ $< \frac{3}{n + 2} < 2$ .
Rozwiążmy najpierw nierówność $\frac{1}{3}$ $< \frac{3}{n + 2} .$ Ponieważ $n + 2$ jest liczbą dodatnią, więc możemy obie strony tej nierówności pomnożyć przez $3 (n + 2)$ . Zatem $n + 2 < 9$ , czyli $n < 7$ .
Podobnie rozwiązujemy drugą nierówność $\frac{3}{n + 2} < 2$ . Mnożąc obie jej strony przez $n + 2$ , otrzymujemy $3 < 2 n + 4$ , czyli $n > - \frac{1}{2}$ , co jest prawdą dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$ .
Istnieje więc $6$ wyrazów ciągu należących do przedziału $(\frac{1}{3}, 2)$ .

sposób $II$

Wykres ciągu $(a_{n})$ składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu $y = \frac{3}{x + 2}$ . Jest ona wykresem funkcji, która w przedziale $(- 2, + \infty)$ jest malejąca.

RWb5d3YB3QVpb1

Wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) składa się z punktów leżących na hiperboli o równaniu y = ułamek licznik 3 mianownik x +2. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytujemy z wykresu, że wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od $2$ i od pewnego momentu wszystkie wyrazy są mniejsze od $\frac{1}{3}$ . Wyznaczmy taki argument funkcji $f (x) = \frac{3}{x + 2}$ , dla którego funkcja przyjmuje wartość $\frac{1}{3}$ .
$f (x) = \frac{1}{3}$ , gdy $\frac{3}{x + 2} = \frac{1}{3}$ , czyli $x + 2 = 9$ , a więc $x = 7$ . To oznacza, że do przedziału $(\frac{1}{3}, 2)$ należy początkowych sześć wyrazów ciągu.

Ćwiczenie 12

Niech $a_{n}$ oznacza liczbę wszystkich naturalnych dzielników dodatniej liczby całkowitej $n$ , gdzie $1 \leq n \leq 7$ . Sporządź wykres ciągu $(a_{n})$ . Który wyraz tego ciągu jest największy?

Wyznaczmy wyrazy ciągu $(a_{n})$ : $a_{1} = 1$ , gdyż liczba $1$ ma tylko $1$ dzielnik naturalny (jest nim $1$ ).
$a_{2} = 2$ , gdyż liczba $2$ ma $2$ dzielniki naturalne (są to $1$ i $2$ ).
Podobnie wyznaczamy następne wyrazy: $a_{3} = 2$ , $a_{4} = 3$ , $a_{5} = 2$ , $a_{6} = 4$ , $a_{7} = 2$ .

R1KRyrSSXBbtL1

Wykres ciągu (a z indeksem dolnym n) składa się z punktów o współrzędnych (1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 3), (5, 2), (6, 4), (7, 2). Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Największy wyraz tego ciągu to $a_{6} = 4$ .

Ćwiczenie 13

Dane są ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ o wzorach ogólnych $a_{n} = n + 5$ i $b_{n} = 3 n - 7$ .
Sumą ciągów $(a_{n})$ i $(b_{n})$ nazywamy ciąg $(c_{n})$ o wzorze ogólnym $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ .
Różnicą ciągów $(a_{n})$ i $(b_{n})$ nazywamy ciąg $(d_{n})$ o wzorze ogólnym $d_{n} = a_{n} - b_{n}$ .
Iloczynem ciągów $(a_{n})$ i $(b_{n})$ nazywamy ciąg $(e_{n})$ o wzorze ogólnym $e_{n} = a_{n} b_{n}$ .
Ilorazem ciągów $(a_{n})$ i $(b_{n})$ nazywamy ciąg $(f_{n})$ o wzorze ogólnym $f_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ . Ciąg $(f_{n})$ jest określony dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ , ponieważ żaden wyraz ciągu $(b_{n})$ nie jest równy $0$ .

Ile wyrazów dodatnich ma ciąg $(d_{n})$ ?
Który wyraz ciągu $(e_{n})$ jest równy zero?
Czy liczba $1$ jest jednym z wyrazów ciągu $(f_{n})$ ?
Które wyrazy ciągu $(c_{n})$ są mniejsze od $10$ ?
Czy ciąg $(f_{n})$ jest monotoniczny?
Wyznacz wszystkie wartości $n$ , dla których prawdziwa jest równość $c_{n + 4} = e_{n - 4} + 1$ .
Wykaż, że trzeci wyraz ciągu $(e_{n})$ jest kwadratem liczby naturalnej.

$5$
nie ma takiego wyrazu
jest
$a_{1}$ oraz $a_{2}$
nie
$n = 8$

Ponieważ $d_{n} = a_{n} - b_{n}$ , więc $d_{n} = n + 5 - 3 n + 7 = 12 - 2 n$ . Rozwiązujemy nierówność $d_{n} > 0$ , czyli $12 - 2 n > 0$ , stąd $n < 6$ . Ciąg ma więc pięć wyrazów dodatnich.
Ponieważ $e_{n} = a_{n} b_{n}$ , więc $e_{n} = (n + 5) ∙ (3 n - 7)$ . Rozwiązujemy równanie $e_{n} = 0$ , czyli $(n + 5) ∙ (3 n - 7) = 0$ , stąd $n = - 5$ lub $n = \frac{7}{3}$ . Żadna z tych liczb nie może być numerem wyrazu ciągu, czyli żaden wyraz ciągu $(e_{n})$ nie jest równy zero.
Ponieważ $f_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ , więc $f_{n} = \frac{n + 5}{3 n - 7}$ . Rozwiązujemy równanie $f_{n} = 1$ , czyli $\frac{n + 5}{3 n - 7} = 1$ , stąd $n + 5 = 3 n - 7$ . Ostatecznie $n = 6$ , czyli szósty wyraz ciągu $(f_{n})$ jest równy $1$ .
Ponieważ $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ , więc $c_{n} = n + 5 + 3 n - 7 = 4 n - 2$ . Rozwiązujemy nierówność $c_{n} < 10$ , czyli $4 n - 2 < 10$ , stąd $n < 3$ . Zatem mniejsze od $10$ są wyrazy $a_{1}$ oraz $a_{2}$ .
Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. $c)$ , obliczamy $f_{1} = \frac{6}{- 4} = - \frac{3}{2}$ , $f_{2} = \frac{7}{- 1} = - 7$ , $f_{3} = \frac{8}{2} = 4$ . Zauważmy, że $f_{1} > f_{2}$ oraz $f_{2} < f_{3}$ , czyli ciąg $(f_{n})$ nie jest monotoniczny.
Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. $b)$ , obliczamy trzeci wyraz ciągu $(e_{n})$ $e_{3} = (3 + 5) ∙ (9 - 7) = 16 = 4^{2} .$
Korzystając ze wzoru wyprowadzonego w pkt. $d)$ , obliczamy $c_{n + 4} = 4 n + 14$ . Ciąg $(e_{n})$ określony jest w sposób następujący $e_{n =} a_{n} ∙ b_{n}$ , więc $c_{n - 4} = 3 n^{2} - 16 n - 19$ . Rozwiązujemy równanie
$4 n + 14 = 3 n^{2} - 16 n - 19 + 1$ stąd otrzymujemy $n = - \frac{4}{3}$ lub $n = 8$ . Pierwsza z otrzymanych liczb nie jest liczbą całkowitą, więc rozwiązaniem jest liczba $8$ .

Ćwiczenie 14

W nieskończonym ciągu $(a_{n})$ każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest dwa razy większy od różnicy wyrazu poprzedniego i liczby $1$ . Wyraz $a_{7} = 66$ . Oblicz wyrazy ciągu od pierwszego do szóstego.

$a_{6} = 34$ , $a_{5} = 18$ , $a_{4} = 10$ , $a_{3} = 6$ , $a_{2} = 4$ , $a_{1} = 3$

Zależność między wyrazami ciągu możemy opisać wzorem $a_{n + 1} = 2 (a_{n} - 1)$ dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 1$ . Stąd $a_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 1} + 1$ .
Obliczmy kolejno szukane wyrazy ciągu $(a_{n})$ , zaczynając od wyrazu $a_{6}$ .
$a_{6} = \frac{1}{2} a_{7} + 1 = \frac{1}{2} ∙ 66 + 1 = 34$
$a_{5} = \frac{1}{2} a_{6} + 1 = \frac{1}{2} ∙ 34 + 1 = 18$
$a_{4} = \frac{1}{2} a_{5} + 1 = \frac{1}{2} ∙ 18 + 1 = 10$
$a_{3} = \frac{1}{2} a_{4} + 1 = \frac{1}{2} ∙ 10 + 1 = 6$
$a_{2} = \frac{1}{2} a_{3} + 1 = \frac{1}{2} ∙ 6 + 1 = 4$
$a_{1} = \frac{1}{2} a_{2} + 1 = \frac{1}{2} ∙ 4 + 1 = 3$

RRXKJsZZpfmiv1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DpLrb1VJR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

RNK6qsiQfE4vo1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DpLrb1VJR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iZFjx378LV_d5e1047

R1emC1OBBrrG51

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DpLrb1VJR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ćwiczenie 15

RagZYVQGpydt01

Połącz w pary.

$(2, 1 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{1}{4}, \dots)$
$(0, 1 \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 1 \frac{1}{4}, \dots)$
$(1, 1 \frac{1}{2}, 1 \frac{2}{3}, 1 \frac{3}{4}, \dots)$
$(1, 2 \frac{1}{2}, 1 \frac{2}{3}, 1 \frac{1}{4}, \dots)$
$(2, 1, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \dots)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

RcSaMTCYj1Z8O1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

R1Og7tZbB47Yp1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych

Ciąg arytmetyczny

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej