Zadania tekstowe z zastosowaniem równań wymiernych

W poniższych przykładach prezentujemy zadania tekstowe dotyczące pracy i czasu potrzebnego na jej wykonanie.
Praca to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego dobra.
Efektem pracy jest pewna wartość ekonomiczna. W poniższych zadaniach jest to najczęściej towar lub usługa.
Wydajność pracy to wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie (najczęściej w jednostce czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).

Przykład 1

Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu $5$ godzin. Gdyby pierwszy automat pracował sam 3 godziny, a następnie drugi pracował sam przez $6$ godzin, to wykonałyby razem $70 %$ całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy automat wykonuje całą pracę samodzielnie?
Oznaczmy:

przez $x$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat,
przez $y$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.

Ponieważ w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje $\frac{1}{x}$ całej pracy, drugi – $\frac{1}{y}$ całej pracy, a razem wykonują całą pracę w ciągu $5$ godzin, to

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}

W ciągu $3$ godzin pierwszy automat wykonuje $\frac{3}{x}$ całej pracy, a drugi w ciągu $6$ godzin wykonuje $\frac{6}{y}$ całej pracy.
Ponadto po $3$ godzinach samodzielnej pracy pierwszego automatu i po $6$ godzinach samodzielnej pracy drugiego automatu wykonane zostanie $70 %$ całej pracy, zatem

\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{7}{10}

Wówczas

\frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{x}

więc

\frac{3}{x} + 6 (\frac{1}{5} - \frac{1}{x}) = \frac{7}{10}

Po rozwiązaniu otrzymanego równania mamy $x = 6$ , stąd $y = 30$ .
Odpowiedź. Pierwszy automat – $6$ godzin, drugi automat – $30$ godzin.

Przykład 2

Dwa różne automaty wykonują pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez $3,5$ godziny, to do zakończenia pracy musiałyby razem pracować jeszcze przez $4,5$ godziny. Drugi automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o $7$ godzin krótszym niż pierwszy automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
Szkic. Oznaczmy przez $x$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat. Wtedy $x - 7$ to czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.
Stąd

\frac{3,5}{x} + 4,5 (\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 7}) = 1

co prowadzi do równania

2 x^{2} - 39 x + 112 = 0

Tylko jedno rozwiązanie ( $x = 16$ ) otrzymanego równania spełnia warunki zadania.
Odpowiedź. Pierwszy automat – $16$ godzin, drugi automat – $9$ godzin.

Przykład 3

Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko drugi. Pierwszy automat pracował wtedy $5 / 9$ tego czasu, w którym drugi automat może wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o 6 godzin i 40 minut krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby $\frac{4}{5}$ pracy, którą wykonałby wówczas drugi.
W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy:

przez $x$ – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat,
przez $y$ – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.

Ponieważ w ciągu wspólnej pracy godziny $I$ automat wykonuje $\frac{4}{5}$ tego, co wykonuje drugi, to $y = \frac{4}{5} x$ .
W ciągu godziny pierwszy automat wykonuje $\frac{1}{x}$ całej pracy, drugi – $\frac{1}{y}$ całej pracy.
Zatem kiedy automaty pracowały jedne po drugim, to pierwszy automat wykonał $\frac{5}{9} y \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{5} x \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{9}$ całej pracy.
Wobec tego drugi automat pracował wtedy przez $\frac{5}{9} y$ godzin, czyli cała praca została wykonana w ciągu $\frac{5}{9} y + \frac{5}{9} y = \frac{10}{9} y$ godzin.
Stąd gdyby oba automaty pracowały razem, to pracowałyby przez $\frac{10}{9} y - \frac{20}{3}$ godzin. Ponieważ wtedy wykonałyby całą pracę, to

(\frac{10}{9} y - \frac{20}{3}) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1

(\frac{10}{9} \cdot \frac{4}{5} x - \frac{20}{3}) (\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{4}{5} x}) = 1

\frac{8 x - 60}{9} \cdot \frac{9}{4 x} = 1

8 x - 60 = 4 x

$x = 15$ .
Odpowiedź. $I$ automat – $15$ godzin, $II$ automat – $12$ godzin.

Przykład 4

Dwa różne automaty wykonują razem zadaną pracę w ciągu $5$ godzin. Gdyby pierwszy automat pracował sam $3$ godziny, a następnie drugi pracował sam przez $6$ godzin, to wykonałyby razem $70 %$ całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy automat wykonuje całą pracę samodzielnie?
Oznaczmy

przez $x$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko $I$ automat,
przez $y$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko $II$ automat.

Ponieważ w ciągu godziny $I$ automat wykonuje $\frac{1}{x}$ całej pracy, drugi – $\frac{1}{y}$ całej pracy, a razem wykonują całą pracę w ciągu $5$ godzin, to

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}

W ciągu $3$ godzin $I$ automat wykonuje $\frac{3}{x}$ całej pracy, a drugi w ciągu 6 godzin wykonuje $\frac{6}{y}$ całej pracy.
Ponadto po $3$ godzinach samodzielnej pracy $I$ automatu i po 6 godzinach samodzielnej pracy $II$ automatu wykonane zostanie $70 %$ całej pracy, zatem

\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{7}{10}

Wówczas

\frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{x}

więc

\frac{3}{x} + 6 (\frac{1}{5} - \frac{1}{x}) = \frac{7}{10}

Po rozwiązaniu otrzymanego równania dostajemy $x = 6$ , skąd $y = 30$ .
Odpowiedź. $I$ automat – $6$ godzin, $II$ automat – $30$ godzin.

Przykład 5

Automat wykonał $720$ detali, pracując na niższym poziomie wydajności. Gdyby przestawić ten automat na wyższy poziom wydajności, to w ciągu godziny będzie wykonywał o $40$ detali więcej i wtedy wykona $720$ detali, pracując o $54$ minuty krócej.
W ciągu ilu godzin ten automat wykonał $720$ detali?
Rozwiązanie.

\{\begin{array}{l} xy = 720 \\ (x - \frac{9}{10}) (y + 40) = 720 \end{array}

stąd ${10 x}^{2} - 9 x - 162 = 0$ , $x = 4 \frac{1}{2}$ ( $x = - 3 \frac{3}{5}$ nie spełnia).
Odpowiedź. $4,5$ godziny.

Przykład 6

Dwa automaty, pracując jednocześnie wykonały pewną liczbę detali. Aby wykonać taką liczbę detali, pracując samodzielnie pierwszy automat musiałby pracować $3$ razy dłużej, a drugi – o $1$ godzinę dłużej.
W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?
Rozwiązanie.

\frac{1}{3 x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x},

stąd $\frac{2}{3 x} = \frac{1}{x + 1}$ i $x = 2$ .
Odpowiedź. $I$ : $4$ godziny, $II$ : $12$ godzin.

iezjqGA4u8_d5e282

Ćwiczenie 1

Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty, pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu $4$ godzin. Gdyby pierwszy pracował samodzielnie przez $5$ godzin, to aby wykonać wymaganą liczbę detali oba automaty musiałby pracować jeszcze przez $3$ godziny.
W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

$I$ automat $20$ godzin
$II$ automat $5$ godzin

$5 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{4} = 1$ skąd $x = 20$ i $\frac{1}{y} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20}$ , więc $y = 5$

Ćwiczenie 2

Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty, pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu $6$ godzin. Gdyby pracowały kolejno: najpierw pierwszy samodzielnie wykonał połowę detali, a następnie drugi również samodzielnie dokończył pracę, to wymaganą liczbę detali wykonałyby przez $16$ godzin.
W jakim czasie każdy z tych automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

$I$ automat $8$ godzin
$II$ automat $24$ godziny

$\frac{1}{x} + \frac{1}{32 - x} = \frac{1}{6}$ stąd $x = 8$ lub $x = 24$

Ćwiczenie 3

Dwa automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę w ciągu $3$ godzin. Gdyby pracowały kolejno i najpierw tylko pierwszy wykonał połowę pracy, a następnie tylko drugi wykonał resztę, to wykonałyby całą pracę w ciągu $8$ godzin. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

$4$ godziny i $12$ godzin

$\frac{1}{x} + \frac{1}{16 - x} = \frac{1}{3}$ , stąd $x^{2} - 16 x + 48 = 0$

Ćwiczenie 4

Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko drugi. Pierwszy automat pracował wtedy $5 / 6$ tego czasu, w którym drugi automat może wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o $8$ i pół godziny krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby $3 / 5$ tego, co wykonałby wówczas drugi. W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?

Ćwiczenie 5

Dwa różne automaty wykonały pewną liczbę detali, przy czym pierwszy automat najpierw przez godzinę pracował sam, a następnie oba razem pracowały jeszcze przez pewien czas. Po trzech godzinach od momentu rozpoczęcia pracy pierwszego automatu wykonano $45 %$ całej pracy, a po jej zakończeniu okazało się, że każdy z automatów wykonał po tyle samo detali. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

$12$ godzin i $10$ godzin

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} = \frac{9}{20}$ , stąd $9 x^{2} - 82 x + 80 = 0$ , $x = 10$ ( $x = - \frac{8}{9}$ nie spełnia)

Ćwiczenie 6

Dwa różne automaty mają wykonać pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez półtorej godziny, to do zakończenia pracy musiałyby pracować razem jeszcze przez $5,5$ godziny. Pierwszy automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o $3$ godziny dłuższym niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

Ćwiczenie 7

Dwa różne automaty wykonują razem pewną pracę w ciągu $2$ godzin. Pierwszy automat, pracując samodzielnie, potrzebuje na wykonanie tej pracy o $3$ godziny mniej niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

Ćwiczenie 8

Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o $1$ godzinę dłuższym, drugi – w czasie o $17$ godzin dłuższym, a trzeci – w czasie o $27$ godzin dłuższym, niż gdy wykonały tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

$I$ automat – $4$ godziny
$II$ automat – $20$ godzin
$III$ automat – $30$ godzin

$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 17} + \frac{1}{x + 27} = \frac{1}{x}$ , stąd $2 x^{3} + 45 x^{2} - 459 = 0$ , $x = 3$

Ćwiczenie 9

Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o $2$ godziny dłuższym, drugi – w czasie o $4$ godziny dłuższym, a trzeci – w czasie o $10$ godzin dłuższym, niż wtedy gdy wykonały tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

$I$ automat – $4$ godziny
$II$ automat – $20$ godzin
$III$ automat – $30$ godzin

$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{x}$ , stąd $x^{3} + 8 x^{2} - 40 = 0$ , $x = 2$ (pozostałe rozwiązania są ujemne)

Ćwiczenie 10

Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o $1$ godzinę dłuższym, drugi – w czasie o $7$ godzin dłuższym, a trzeci – w czasie o $16$ godzin dłuższym, niż wtedy gdy wykonały tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

$I$ automat – $3$ godziny
$II$ automat – $9$ godzin
$III$ automat – $18$ godzin

$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x + 16} = \frac{1}{x}$ , stąd $x^{3} + 12 x^{2} - 56 = 0$ , $x = 2$ (pozostałe rozwiązania są ujemne)

Przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

Zastosowania funkcji wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych

Zadania tekstowe z zastosowaniem równań wymiernych