Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ra1XbEbDIMb881

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono figury $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ , które są podobne.

RGND8W2gAdEb1

Ilustracja przedstawia trzy figury w kształcie gwiazdy. Są różnych rozmiarów.

ReXJp9yiidjO6

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono dwa romby podobne: romb $F_{1}$ o przekątnych długości $6$ i $8$ oraz romb $F_{2}$ o przekątnych długości $p$ i $q$ i boku długości $a$ .

R1eBOM3wxlc2w

Ilustracja przedstawia dwa romby podobne. Pierwszy o przekątnych 6 i 8 a drugi o przekątnych p i q oraz boku długości a.

R1W540x2h5Kdt

Wstaw w tekst odpowiednie liczby spośród podanych. Jeżeli skala podobieństwa rombu F indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego do pola rombu F indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego wynosi początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, to:

stosunek pola rombu F indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego do rombu F indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego wynosi 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka,
a, równa się 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka,
p, równa się 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka,
q, równa się 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka,
stosunek obwodu rombu F indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego do obwodu rombu F indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego wynosi 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka.

stosunek pola rombu F indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego do rombu F indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego wynosi 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka,
a, równa się 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka,
p, równa się 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka,
q, równa się 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka,
stosunek obwodu rombu F indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego do obwodu rombu F indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego wynosi 1. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, czterdzieści, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka.

Ćwiczenie 4

R1HfQVnCExsPn

R1Xws3J64PoOD

Ćwiczenie 5

Kwadrat $K_{1}$ , w którym przekątna jest o $2$ dłuższa od boku, jest podobny do kwadratu $K_{2}$ w skali $\frac{3}{5}$ . Wyznacz pole kwadratu $K_{2}$ .

Narysujmy dwa kwadraty $K_{1}$ i $K_{2}$ .

R4fR8fICXI3mI

Ilustracja przedstawia dwa kwadraty. Pierwszy o boku długości a oraz przekątnej długości a plus dwa. Drugi kwadrat nie ma podanych długości, ale jest większy.

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a \sqrt{2} = a + 2$

$a \sqrt{2} - a = 2$

$a \cdot (\sqrt{2} - 1) = 2$

$a = \frac{2}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2 - 1} = 2 \sqrt{2} + 2$

Pole kwadratu $K_{1}$ wynosi:

$P_{1} = {(2 \sqrt{2} + 2)}^{2} = 8 + 8 \sqrt{2} + 4 = 12 + 8 \sqrt{2}$

Jeżeli kwadrat $K_{1}$ jest podobny do kwadratu $K_{2}$ w skali $\frac{3}{5}$ , to pole kwadratu $K_{2}$ obliczamy z zależności:

$\frac{P_{1}}{P_{2}} = {(\frac{3}{5})}^{2}$

Zatem:

$\frac{12 + 8 \sqrt{2}}{P_{2}} = \frac{9}{25} \Rightarrow P_{2} = \frac{25 \cdot (12 + 8 \sqrt{2})}{9} = \frac{300 + 200 \sqrt{2}}{9}$ .

Ćwiczenie 6

Wiadomo, że suma pól dwóch figur podobnych wynosi $338$ . Wyznacz pola tych figur, jeżeli wiadomo, że ich skala podobieństwa wynosi $\frac{2}{3}$ .

Niech $P_{1}$ i $P_{2}$ będą polami dwóch figur podobnych.

Do wyznaczenia wartości $P_{1}$ i $P_{2}$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} P_{1} + P_{2} = 338 \\ \frac{P_{1}}{P_{2}} = {(\frac{2}{3})}^{2} \end{cases}$

Układ równań przekształcamy do postaci:

$\{\begin{cases} P_{1} + P_{2} = 338 \\ P_{1} = \frac{4}{9} \cdot P_{2} \end{cases}$

Wobec tego:

$\frac{4}{9} P_{2} + P_{2} = 338$

$\frac{13}{9} P_{2} = 338$

$P_{2} = 338 \cdot \frac{9}{13} = 234$

Zatem:

$P_{1} = 338 - 234 = 104$

Zatem pola tych figur wynoszą odpowiednio $104$ i $234$ .

R1TyyVAH0Hu3H3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Dany jest trapez równoramienny $A B C D$ o podstawach długości $|A B| = 12$ i $|C D| = 6$ . Wyznacz pole trójkąta $A S D$ , jeśli $S$ jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu oraz odległość tego punktu od krótszej podstawy wynosi $2$ .

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

R1GerMaXrNr0L

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o wysokości upuszczonej na środek dłuższej podstawy AB. Zaznaczono przekątne przecinające się w punkcie S i dzielące wysokość na dwie długości x i dwa.

Ponieważ $A B ∥ C D$ , zatem:

$|∢ S A B| = |∢ S C D|$ oraz $|∢ A B S| = |∢ S D C|$

Dodatkowo $|∢ A S B| = |∢ C S D|$

Wobec tego trójkąty $A B S$ i $C D S$ są podobne.

Jeżeli $|A B| = 12$ , $|C D| = 6$ oraz odległość punktu $S$ od krótszej podstawy wynosi $2$ , to:

$\frac{2}{6} = \frac{x}{12}$

Zatem $x = 4$ .

Zauważmy, że $P_{A B D} = P_{A B S} + P_{A S D}$ .

Wobec tego:

$P_{A S D} = P_{A B D} - P_{A S B} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 36 - 24 = 12$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela