Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ra1XbEbDIMb881

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Jeżeli figura $F_{1}$ jest podobna do figury $F_{2}$ w skali $k$ oraz pola tych figur wynoszą odpowiednio $P_{1}$ i $P_{2}$ , to:

$k^{2} = \frac{P_{1}}{P_{2}}$
$k^{2} = \frac{P_{2}}{P_{1}}$
$P_{2} = k \cdot P_{1}$

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono figury $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ , które są podobne.

RGND8W2gAdEb1

Ilustracja przedstawia trzy figury w kształcie gwiazdy. Są różnych rozmiarów.

ReXJp9yiidjO6

$P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ będą odpowiednio polami tych figur. Zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe.

Jeżeli figura $F_{1}$ jest podobna do figury $F_{2}$ w skali $\frac{1}{3}$ , to $P_{2} = 9 P_{1}$ .
Jeżeli figura $F_{3}$ jest podobna do figury $F_{2}$ w skali $\frac{1}{2}$ , to $P_{3} = 4 P_{2}$ .
Jeżeli figura $F_{3}$ jest podobna do figury $F_{1}$ w skali $2$ , to $P_{3} = 2 P_{1}$ .
Jeżeli figura $F_{3}$ jest podobna do figury $F_{2}$ w skali $2$ , to $P_{3} = 4 P_{2}$ .

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono dwa romby podobne: romb $F_{1}$ o przekątnych długości $6$ i $8$ oraz romb $F_{2}$ o przekątnych długości $p$ i $q$ i boku długości $a$ .

R1eBOM3wxlc2w

Ilustracja przedstawia dwa romby podobne. Pierwszy o przekątnych 6 i 8 a drugi o przekątnych p i q oraz boku długości a.

R1W540x2h5Kdt

Wstaw w tekst odpowiednie liczby spośród podanych. Jeżeli skala podobieństwa rombu

F_{2}

do pola rombu

F_{1}

wynosi

\frac{5}{4}

, to:

stosunek pola rombu $F_{2}$ do rombu $F_{1}$ wynosi 1. $\frac{25}{4}$ , 2. $\frac{40}{4}$ , 3. $\frac{16}{25}$ , 4. $\frac{4}{5}$ , 5. $\frac{25}{16}$ , 6. $\frac{5}{4}$ , 7. $\frac{5}{4}$ , 8. $\frac{15}{2}$ ,
$a =$ 1. $\frac{25}{4}$ , 2. $\frac{40}{4}$ , 3. $\frac{16}{25}$ , 4. $\frac{4}{5}$ , 5. $\frac{25}{16}$ , 6. $\frac{5}{4}$ , 7. $\frac{5}{4}$ , 8. $\frac{15}{2}$ ,
$p =$ 1. $\frac{25}{4}$ , 2. $\frac{40}{4}$ , 3. $\frac{16}{25}$ , 4. $\frac{4}{5}$ , 5. $\frac{25}{16}$ , 6. $\frac{5}{4}$ , 7. $\frac{5}{4}$ , 8. $\frac{15}{2}$ ,
$q =$ 1. $\frac{25}{4}$ , 2. $\frac{40}{4}$ , 3. $\frac{16}{25}$ , 4. $\frac{4}{5}$ , 5. $\frac{25}{16}$ , 6. $\frac{5}{4}$ , 7. $\frac{5}{4}$ , 8. $\frac{15}{2}$ ,
stosunek obwodu rombu $F_{2}$ do obwodu rombu $F_{1}$ wynosi 1. $\frac{25}{4}$ , 2. $\frac{40}{4}$ , 3. $\frac{16}{25}$ , 4. $\frac{4}{5}$ , 5. $\frac{25}{16}$ , 6. $\frac{5}{4}$ , 7. $\frac{5}{4}$ , 8. $\frac{15}{2}$ .

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$\frac{5}{4}$ , $\frac{40}{4}$ , $\frac{16}{25}$ , $\frac{15}{2}$ , $\frac{25}{16}$ , $\frac{25}{4}$ , $\frac{4}{5}$ , $\frac{5}{4}$

Jeżeli skala podobieństwa rombu $F_{2}$ do pola rombu $F_{1}$ wynosi $\frac{5}{4}$ , to:
– stosunek pola rombu $F_{2}$ do rombu $F_{1}$ wynosi ............,
– $a =$ ............
– $p =$ ............
– $q =$ ............
– stosunek obwodu rombu $F_{2}$ do obwodu rombu $F_{1}$ wynosi .............

Ćwiczenie 4

R1HfQVnCExsPn

R1Xws3J64PoOD

Na opisach przedstawiono pary figur podobnych. Przyporządkuj odpowiednim opisom wartość stosunku pola figury większej do pola figury mniejszej.

\frac{64}{9}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia dwa okręgi. Pierwszy o promieniu długości cztery, a drugi o promieniu długości

4 \sqrt{2}

., 2. Ilustracja przedstawia dwa kwadraty. Pierwszy o boku długości a i przekątnej

3 \sqrt{2}

, drugi o boku długości osiem., 3. Ilustracja przedstawia dwa trójkąty równoboczne. Pierwszy o boku długości a oraz wysokości długości

2 \sqrt{3}

. Drugi o boku długości sześć.

2

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia dwa okręgi. Pierwszy o promieniu długości cztery, a drugi o promieniu długości

4 \sqrt{2}

., 2. Ilustracja przedstawia dwa kwadraty. Pierwszy o boku długości a i przekątnej

3 \sqrt{2}

, drugi o boku długości osiem., 3. Ilustracja przedstawia dwa trójkąty równoboczne. Pierwszy o boku długości a oraz wysokości długości

2 \sqrt{3}

. Drugi o boku długości sześć.

\frac{9}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia dwa okręgi. Pierwszy o promieniu długości cztery, a drugi o promieniu długości

4 \sqrt{2}

., 2. Ilustracja przedstawia dwa kwadraty. Pierwszy o boku długości a i przekątnej

3 \sqrt{2}

, drugi o boku długości osiem., 3. Ilustracja przedstawia dwa trójkąty równoboczne. Pierwszy o boku długości a oraz wysokości długości

2 \sqrt{3}

. Drugi o boku długości sześć.

Ćwiczenie 5

Kwadrat $K_{1}$ , w którym przekątna jest o $2$ dłuższa od boku, jest podobny do kwadratu $K_{2}$ w skali $\frac{3}{5}$ . Wyznacz pole kwadratu $K_{2}$ .

Narysujmy dwa kwadraty $K_{1}$ i $K_{2}$ .

R4fR8fICXI3mI

Ilustracja przedstawia dwa kwadraty. Pierwszy o boku długości a oraz przekątnej długości a plus dwa. Drugi kwadrat nie ma podanych długości, ale jest większy.

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a \sqrt{2} = a + 2$

$a \sqrt{2} - a = 2$

$a \cdot (\sqrt{2} - 1) = 2$

$a = \frac{2}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2 - 1} = 2 \sqrt{2} + 2$

Pole kwadratu $K_{1}$ wynosi:

$P_{1} = {(2 \sqrt{2} + 2)}^{2} = 8 + 8 \sqrt{2} + 4 = 12 + 8 \sqrt{2}$

Jeżeli kwadrat $K_{1}$ jest podobny do kwadratu $K_{2}$ w skali $\frac{3}{5}$ , to pole kwadratu $K_{2}$ obliczamy z zależności:

$\frac{P_{1}}{P_{2}} = {(\frac{3}{5})}^{2}$

Zatem:

$\frac{12 + 8 \sqrt{2}}{P_{2}} = \frac{9}{25} \Rightarrow P_{2} = \frac{25 \cdot (12 + 8 \sqrt{2})}{9} = \frac{300 + 200 \sqrt{2}}{9}$ .

Ćwiczenie 6

Wiadomo, że suma pól dwóch figur podobnych wynosi $338$ . Wyznacz pola tych figur, jeżeli wiadomo, że ich skala podobieństwa wynosi $\frac{2}{3}$ .

Niech $P_{1}$ i $P_{2}$ będą polami dwóch figur podobnych.

Do wyznaczenia wartości $P_{1}$ i $P_{2}$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} P_{1} + P_{2} = 338 \\ \frac{P_{1}}{P_{2}} = {(\frac{2}{3})}^{2} \end{cases}$

Układ równań przekształcamy do postaci:

$\{\begin{cases} P_{1} + P_{2} = 338 \\ P_{1} = \frac{4}{9} \cdot P_{2} \end{cases}$

Wobec tego:

$\frac{4}{9} P_{2} + P_{2} = 338$

$\frac{13}{9} P_{2} = 338$

$P_{2} = 338 \cdot \frac{9}{13} = 234$

Zatem:

$P_{1} = 338 - 234 = 104$

Zatem pola tych figur wynoszą odpowiednio $104$ i $234$ .

R1TyyVAH0Hu3H3

Ćwiczenie 7

Zaznacz zdanie, które jest prawdziwe.

Jeżeli stosunek obwodów figur podobnych jest równy $\frac{\sqrt{2}}{3}$ , to stosunek ich pól wynosi $\frac{2}{9}$ .
Jeżeli stosunek pól figur podobnych wynosi $\frac{8}{3}$ , to stosunek ich obwodów jest równy $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .
Jeżeli skala podobieństwa dwóch figur podobnych wynosi $\frac{4}{5}$ , to ich obwody oraz pola pozostają w stosunku $\frac{16}{25}$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest trapez równoramienny $A B C D$ o podstawach długości $|A B| = 12$ i $|C D| = 6$ . Wyznacz pole trójkąta $A S D$ , jeśli $S$ jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu oraz odległość tego punktu od krótszej podstawy wynosi $2$ .

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

R1GerMaXrNr0L

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o wysokości upuszczonej na środek dłuższej podstawy AB. Zaznaczono przekątne przecinające się w punkcie S i dzielące wysokość na dwie długości x i dwa.

Ponieważ $A B ∥ C D$ , zatem:

$|∢ S A B| = |∢ S C D|$ oraz $|∢ A B S| = |∢ S D C|$

Dodatkowo $|∢ A S B| = |∢ C S D|$

Wobec tego trójkąty $A B S$ i $C D S$ są podobne.

Jeżeli $|A B| = 12$ , $|C D| = 6$ oraz odległość punktu $S$ od krótszej podstawy wynosi $2$ , to:

$\frac{2}{6} = \frac{x}{12}$

Zatem $x = 4$ .

Zauważmy, że $P_{A B D} = P_{A B S} + P_{A S D}$ .

Wobec tego:

$P_{A S D} = P_{A B D} - P_{A S B} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 36 - 24 = 12$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela