Zauważmy, że wszystkich krawędzi sześcio – ośmiościanu jest $24$ i są one tej samej długości. Wykonajmy odpowiedni rysunek.

R12fYwN2ruhS0

Ilustracja przedstawia kwadrat z zaznaczoną długością boków równą dwa decymetry. Środki boków kwadratu zostały połączone tworząc nowy kwadrat z oznaczonymi długościami boków poprzez literkę d.

Długość krawędzi tej bryły obliczymy, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.

$d^2=1^2+1^2$

$d=\sqrt{2} \mathrm{dm}$

Stąd suma długości wszystkich krawędzi tej bryły to $24\sqrt{2 }\mathrm{dm}$.

Zauważmy, że wszystkie krawędzie sześcio – ośmiościanu są one tej samej długości. Wykonajmy odpowiedni rysunek.

Rom9dhXx151kq

Ilustracja przedstawia kwadrat z zaznaczoną długością boków równą sześć. Środki boków kwadratu zostały połączone tworząc nowy kwadrat z oznaczonymi długościami boków poprzez literkę d.

Długość krawędzi tej bryły obliczymy wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.

$d^2=3^2+3^2$

$d=3\sqrt{2}$

Powierzchnia boczna składa się z $6$ kwadratów o boku długości $d$ i $8$ trójkątów równobocznych o boku długości $d$.

Wprowadźmy oznaczenia:
$P_1$ - pole kwadratu
$P_2$ - pole trójkąta równobocznego
$P_c$ - pole całkowite

Stąd:

$P_c=6P_1+8P_2=6\cdot {\left(3\sqrt{2}\right)}^2+8\cdot \frac{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=108+36\sqrt{3}$.

Wykonajmy odpowiedni rysunek.

RqYBQvaQHKVPl

Ilustracja przedstawia sześcian, z którego wycięto narożniki w taki sposób, że cięcia dzielą krawędzie sześcianu na trzy równe części. Krawędź sześcianu została podpisana jako a, natomiast odcięty narożnik jest ostrosłupem o podstawie trójkąta prostokątnego.

Zauważmy, że odcięty narożnik jest ostrosłupem o podstawie trójkąta prostokątnego równoramiennego. Pole podstawy tego ostrosłupa wynosi:

$P_p=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{3}a\right)}^2=\frac{1}{18}{a}^2$

Zatem objętość odciętego naroża to:

$V=\frac{1}{3}·\frac{1}{18}{a}^2·\frac{1}{3}a=\frac{1}{162}{a}^3$

Takich narożników odcięto $8$. Zatem objętość powstałej bryły jest mniejsza od objętości sześcianu o $8·\frac{1}{162}{a}^3=\frac{4}{81}{a}^3$.

Wykonajmy odpowiedni rysunek.

RCXa2G4DiLp2t

Ilustracja przedstawia ośmiościan z odciętymi narożnikami. Cięcia poprowadzono przez środki krawędzi ośmiościanu dzięki czemu utworzono sześcio-ośmiościan. Bryła ta składa się z sześciu trójkątów równobocznych oraz ośmiu kwadratów. Na ilustracji zaznaczono także odcięte narożniki ośmiościanu, będące ostrosłupami prawidłowymi.

Oznaczmy objętość ośmiościanu przez $V$. Zauważmy, że odcinane naroża są ostrosłupami prawidłowymi czworokątnymi podobnymi do ostrosłupa prawidłowego wchodzącego w skład ośmiościanu. Skala tego podobieństwa wynosi $\frac{1}{2}$, czyli stosunek objętości tych brył wynosi $\frac{1}{8}$.

A zatem objętość sześcio – ośmiościanu możemy obliczyć następująco:
$V_1=V-6·\frac{1}{8}·\frac{1}{2}V=\frac{5}{8}V=62,5\%V$.

Zauważmy, że ośmiościan foremny składa się z dwóch ostrosłupów prawidłowych czworokątnych o krawędziach długości $a$. Wykonajmy odpowiedni rysunek.

RH4PLtFmksisR

Ilustracja przedstawia ostrosłup foremny A B C D W o krawędzi a. Z wierzchołka W poprowadzono wysokość bryły upuszczono na środek podstawy w punkcie O. Powstał trójkąt prostokątny O C W gdzie odcinek O C i W O to przyprostokątne, natomiast odcinek C W jest przeciwprostokątną o długości a.

Odcinek $OW$ jest wysokością tego ostrosłupa. Obliczymy jego objętość. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $COW$ otrzymujemy:

${\left|OW\right|}^2+{\left|CO\right|}^2={\left|CW\right|}^2$

${\left|OW\right|}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2=a^2$

${\left|OW\right|}^2=\frac{1}{2}{a}^2$

$\left|OW\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Zatem objętość ośmiościanu foremnego jest równa: $V=2·\frac{1}{3}·a^2·\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$.

Zauważmy, że każde odcięte naroże jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym o krawędziach długości $\frac{1}{3}a$, a więc ostrosłupem podobnym do ostrosłupa o krawędzi $a$. Skala tego podobieństwa jest równa $\frac{1}{3}$, czyli stosunek objętości tych brył wynosi $\frac{1}{27}$.

Zatem objętość każdego odciętego naroża wynosi: $V_n=\frac{1}{27}·\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3=\frac{\sqrt{2}}{162}{a}^3$.

Stąd otrzymujemy objętość ośmiościanu ściętego: $V_o=V-6·V_n=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3-6·\frac{\sqrt{2}}{162}{a}^3=\frac{8\sqrt{2}}{27}{a}^3$.