Najpierw policzymy długość przekątnej oraz ramienia trapezu w podstawie.

REJfnT97lPzRt

Rysunek przedstawia trapez. W trapez wpisane są dwa trójkąty prostokątne. Wspólnym bokiem trójkątów jest wysokość trapezu. Przeciwprostokątna pierwszego trójkąta jest ramieniem trapezu. Jest ona oznaczona literą x. Dłuższą przyprostokątną jest wysokość trapezu o długości 3. Druga przyprostokątna jest częścią dolnej podstawy trapezu i ma długość 1. Przeciwprostokątna drugiego trójkąta stanowi przekątną trapezu. Jest oznaczona literą d. Jedną przyprostokątną jest wysokość trapezu o długości 3. Druga przyprostokątna jest częścią dolnej podstawy trapezu i również ma długość 3.

Przekątna trapezu jest przeciwprostokątną równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości $3$, czyli $d=3\sqrt{2}$.

Długość ramienia obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Mamy $1^2+3^2=x^2$. A zatem $x=\sqrt{10}$.

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RxxvcUhUcEGYf

Rysunek przedstawia graniastosłup. Podstawą graniastosłupa jest trapez. W graniastosłup są wpisane dwa trójkąty prostokątne. Przeciwprostokątna pierwszego trójkąta to przekątna graniastosłupa. Oznaczona jest literą p. Jedna przyprostokątna jest krawędzią boczną graniastosłupa i ma długość 4. Druga przyprostokątna jest przekątną dolnej podstawy i ma długość 3 pierwiastek z 2. Przeciwprostokątna drugiego trójkąta jest przekątną ściany bocznej graniastosłupa . Jest oznaczona literą q. Jedna przyprostokątna jest krawędzią boczną graniastosłupa i ma długość 4. Druga przyprostokątna jest krawędzią górnej podstawy. Dokładnie jest to krawędź będąca krótszą z podstaw trapezu. Długość tej krawędzi to 2.

Obliczymy długość $p$ i $q$ z twierdzenia Pitagorasa dla odpowiednich trójkątów.

Mamy więc $4^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=p^2$ oraz $2^2+4^2=q^2$.

Stąd $p=\sqrt{34}$ i $q=2\sqrt{5}$.

Obliczymy teraz miarę kąta między nimi.

ROnVrJH9eUJT2

Rysunek przedstawia graniastosłup. Podstawą graniastosłupa jest trapez. W graniastosłup wpisany jest trójkąt. Podstawą tego trójkąta jest jedno z ramion trapezu będącego dolną podstawą graniastosłupa. Podstawa ta ma długość pierwiastek z 10. Jedno z ramion tego trójkąta jest przekątną ściany bocznej graniastosłupa. Jest to ściana przylegająca do krótszej podstawy trapezu. Ramię to ma długość 2 pierwiastek z 5. Drugie ramię trójkąta stanowi przekątną graniastosłupa . Ma ono długość pierwiastek z 34.

Z twierdzenia cosinusów mamy:

${\left(\sqrt{10}\right)}^2={\left(\sqrt{34}\right)}^2+{\left(2\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{34}·2\sqrt{5}\cos \alpha$.

A stąd $10=54-4\sqrt{170}\cos \alpha$.

Mamy zatem $\cos \alpha =\frac{11}{\sqrt{170}}\approx 0,8437$.

Czyli $\alpha \approx {32}^{\circ }$.

Obliczymy najpierw długości przekątnych podstawy. Zróbmy rysunek pomocniczy:

Rn5YHqXDvQ0LV

Rysunek przedstawia deltoid. Deltoid jest ułożony w taki sposób, że jego krótsze boki znajdują się po lewej stronie rysunku, a dłuższe po prawej stronie rysunku. Krótszy bok deltoidu ma długość 3 pierwiastek z 5. Dłuższy bok deltoidu ma długość 10. W deltoidzie narysowane są jego przekątne. Przekątne przecinają się pod kątem prostym. Pozioma przekątna deltoidu dzieli pionową przekątną na dwie równe części. Każda z połówek pionowej przekątnej została podpisana literą y. Pionowa przekątna dzieli poziomą przekątną deltoidu na dwie części. Gdzie część z lewej strony ma długość 3 x, a część z prawej strony ma długość 8 x.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów, na które został podzielony deltoid. Otrzymamy układ równań drugiego stopnia:

$\left\{\begin{array}{l}{\left(3x\right)}^2+y^2={\left(3\sqrt{5}\right)}^2\\ {\left(8x\right)}^2+y^2={10}^2\end{array}\right.$

Przekształćmy ten układ i znajdźmy wartości $x$ i $y$.

$\left\{\begin{array}{l}9x^2+y^2=45\\ 64x^2+y^2=100\end{array}\right.$

Odejmując od drugiego równania pierwsze otrzymujemy:

$55x^2=55$. A stąd $x=1$.

Podstawiając do pierwszego równania mamy $y^2=36$. Czyli $y=6$.

Przekątne podstawy mają więc długość $11$ i $12$.

Narysujmy graniastosłup uwzględniając dane z treści zadania.

R1C1qT0iZVhoo

Rysunek przedstawia graniastosłup. Podstawą graniastosłupa jest deltoid. W graniastosłup wpisany jest trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna stanowi przekątną graniastosłupa i ma długość 13 z. Jedna przyprostokątna stanowi krawędź boczną graniastosłupa i ma długość 5 z. Druga przyprostokątna stanowi przekątną deltoidu i ma długość 12. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną a przyprostokątną, stanowiącą krawędź boczną graniastosłupa zaznaczono literą alfa.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy, że $z=1$. Czyli wysokość graniastosłupa ma długość $5$.

Obliczmy teraz miarę szukanego kąta.

R1K8gclnQlYFW

Rysunek przedstawia graniastosłup. Podstawą graniastosłupa jest deltoid. W graniastosłup wpisany jest trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna stanowi przekątną graniastosłupa. Jedna przyprostokątna stanowi krawędź boczną graniastosłupa i ma długość 5. Druga przyprostokątna stanowi przekątną deltoidu i ma długość 11. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną a przyprostokątną, stanowiącą krawędź boczną graniastosłupa zaznaczono literą beta.

Mamy, że $\mathrm{tg}\beta =\frac{11}{5}=2,2$.

Stąd $\beta \approx 66°$.