Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RVjyQ0jL3icsP1

Ćwiczenie 1

Czy szereg $\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} + \frac{\sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}} - \frac{3 + \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}} \dots$ jest geometryczny?

RRxr1EWUvyIzS1

Ćwiczenie 2

Suma szeregu geometrycznego $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} + 1 + \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} + \dots$ jest równa:

$\frac{7 + 5 \sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
$\frac{\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} - 1}$
$\frac{7 \sqrt{2} + 5}{2}$

R1TjyCw5AuuCv2

Ćwiczenie 3

Spośród przedstawionych szeregów geometrycznych, wskaż szeregi zbieżne.

$\frac{5}{3} + 1 + \frac{3}{5} + \dots$
$\frac{5}{3} - 1 + \frac{3}{5} - \dots$
$2 \sqrt{3} + 4 + \frac{8}{\sqrt{3}} + \dots$
$\sqrt{3} - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{4} + \dots$
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{4} - \dots$

R4DMI0CZhgJQh2

Ćwiczenie 4

Uporządkuj szeregi geometryczne począwszy od tego, który ma największą sumę.

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$
$3 - 2 + \frac{4}{3} - \frac{8}{9} + \dots$
$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots$
$4 - 3 + \frac{9}{4} - \frac{27}{16} + \dots$

R18eDc0JUP9xO2

Ćwiczenie 5

Wśród poniższych szeregów geometrycznych wskaż szeregi o sumie dodatniej.

$4 - 2 \frac{2}{3} + 1 \frac{7}{9} - \dots$
$- 4 + 2 \frac{2}{3} - 1 \frac{7}{9} + \dots$
$\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3 \sqrt{3}} - \dots$
$- \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} + \dots$
$\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} + \frac{\sqrt{2} - 1}{3 + 2 \sqrt{2}} - \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}} + \dots$

REdVdhPMGbBdi2

Ćwiczenie 6

Spośród wymienionych wartości zmiennej $x$ wskaż te, dla których szereg geometryczny $\frac{2 x}{x + 2} - {(\frac{2 x}{x + 2})}^{2} + {(\frac{2 x}{x + 2})}^{3} - \dots$ jest zbieżny.

$- \frac{4}{3}$
$- \frac{3}{4}$
2
-2
1
-1

Ćwiczenie 7

Dla jakich wartości $x$ szereg geometryczny $2 x + \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{8 x^{3}}{9} + \dots$ jest zbieżny?

Szereg jest zbieżny, jeśli:

$x = 0$ lub $|\frac{2 x}{3}| < 1$

Za drugiej nierówności mamy:

$- 1 < \frac{2 x}{3} < 1$

zatem:

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

Odpowiedź: $x \in (- \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$ .

Ćwiczenie 8

Dla jakich wartości $x$ szereg geometryczny $\frac{x}{x - 2} + {(\frac{x}{x - 2})}^{2} + {(\frac{x}{x - 2})}^{3} + \dots$ jest zbieżny?

Szereg jest zbieżny, jeśli:

$\frac{x}{x - 2} = 0$ lub $|\frac{x}{x - 2}| < 1$

Zatem:

$x = 0$ lub $|x| < |x - 2|$

Z nierówności mamy:

$x^{2} < x^{2} - 4 x + 4$

$4 x < 4$

$x < 1$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, 1)$ .

Animacja

Dla nauczyciela