Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rn3uh7rfsRcQN

Ćwiczenie 2

Dany jest stożek, jak na rysunku.

RANaZh3121UbP

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka o długości dwanaście, promień podstawy stożka długości dziesięć oraz wysokość stożka oznaczoną jako h.

RW97mQoqPcXYZ

Ćwiczenie 3

R10QQe48cZ4Rz

ROGjkZFgaMIwi

Ćwiczenie 4

R84eyVugi4E6i

Ćwiczenie 5

R3f4mVAK27EEa

Ćwiczenie 6

Stożek, w którym wysokość wynosi $2$ przecięto płaszczyzną w ten sposób, że utworzony przekrój jest trójkątem równobocznym o polu $4 \sqrt{3}$ . Oblicz kąt nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy stożka.

Narysujmy stożek oraz opisany przekrój, a następnie wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RaGmuKuxjOTvD

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój poprzeczny będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono wysokość stożka o długości dwa. W trójkącie równoramiennym na środek cięciwy podstawy stożka upuszczono wysokość oznaczoną jako a. Ramiona trójkąta równoramiennego również mają długość a. Zaznaczono kąt alfa pomiędzy wysokością przekroju stożka a odcinkiem łączący środek podstawy stożka ze środkiem cięciwy.

Załóżmy, że odcinek będący wysokością tego przekroju jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ .

Ponieważ przekrój stożka jest trójkątem równobocznym o polu $4 \sqrt{3}$ , to długość jego boku $a$ wyznaczamy z równania:

$\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3}$

$a^{2} = 16$ , czyli $a = 4$ .

Wobec tego wysokość trójkąta równobocznego wynosi $h = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$ .

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na rysunku.

RXGC7dMZmIW20

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przyprostokątna ma długość dwa pierwiastki z trzech, natomiast jedna z dłuższych przyprostokątnych ma długość dwa. Zaznaczono również kąt alfa pomiędzy przeciwprostokątna a krótszą przyprostokątną.

Obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej sinus dla kąta $α$ :

$\sin α = \frac{2}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , czyli $α \approx 35 °$ .

Ćwiczenie 7

Przekrojem poprzecznym stożka jest koło o polu równym $18 π$ . Wiadomo, że płaszczyzna przekroju podzieliła stożek na bryły o równych wysokościach. Oblicz objętość stożka, jeżeli tworząca stożka ma długość $10$ .

Narysujmy przekrój poprzeczny stożka i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1CXFzl8RK2Uz

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy R oraz jego przekrój poprzeczny będącym kołem o promieniu r. Przekrój ten jest równoległy do podstawy stożka i jest od niego oddalony o dwa h. Sumaryczna wysokość stożka ma długość trzy h, natomiast tworząca stożka ma długość l.

Ponieważ pole przekroju jest równe $18 π$ , zatem

$π \cdot r^{2} = 18 π$

$r^{2} = 18$ , czyli $r = 3 \sqrt{2}$ .

Jeżeli płaszczyzna przekroju podzieliła stożek na bryły o równych wysokościach, to zachodzi następująca zależność:

$R = 2 \cdot r = 2 \cdot 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ .

Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + R^{2} = l^{2}$

$h^{2} + {(6 \sqrt{2})}^{2} = 10^{2}$

$h^{2} + 72 = 100$

$h^{2} = 28$ , czyli $h = 2 \sqrt{7}$ .

Zatem objętość stożka wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(6 \sqrt{2})}^{2} \cdot 2 \sqrt{7} = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 2 \sqrt{7} π = 48 \sqrt{7} π$ .

Ćwiczenie 8

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku, którego cosinus jest równy $\frac{4}{5}$ . Wyznacz pole tego przekroju, jeżeli wiadomo, że promień podstawy stożka ma długość $3$ .

Narysujmy stożek, jego przekrój osiowy oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1Adiy2vtAxB4

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka l, wysokość h oraz promień podstawy stożka r. Kąt pomiędzy dwoma ramionami trójkąta został oznaczony jako alfa.

Wiadomo, że przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o bokach $l$ , $l$ , $2 r$ oraz kącie przy wierzchołku $α$ oraz $\cos α = \frac{4}{5}$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $l$ wykorzystamy twierdzenie cosinusów i rozwiązujemy równanie:

$6^{2} = l^{2} + l^{2} - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos α$

$36 = 2 l^{2} - 2 l^{2} \cdot \frac{4}{5}$

$\frac{2}{5} l^{2} = 36$

$l^{2} = 90$ , czyli $l = 3 \sqrt{10}$ .

Wysokość $h$ trójkąta równoramiennego obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Zatem:

$h^{2} + 3^{2} = {(3 \sqrt{10})}^{2}$ , czyli $h = 9$ .

Wobec tego pole przekroju osiowego stożka jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela