Narysujmy stożek oraz opisany przekrój, a następnie wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RaGmuKuxjOTvD

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój poprzeczny będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono wysokość stożka o długości dwa. W trójkącie równoramiennym na środek cięciwy podstawy stożka upuszczono wysokość oznaczoną jako a. Ramiona trójkąta równoramiennego również mają długość a. Zaznaczono kąt alfa pomiędzy wysokością przekroju stożka a odcinkiem łączący środek podstawy stożka ze środkiem cięciwy.

Załóżmy, że odcinek będący wysokością tego przekroju jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$.

Ponieważ przekrój stożka jest trójkątem równobocznym o polu $4\sqrt{3}$, to długość jego boku $a$ wyznaczamy z równania:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$

$a^2=16$, czyli $a=4$.

Wobec tego wysokość trójkąta równobocznego wynosi $h=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na rysunku.

RXGC7dMZmIW20

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przyprostokątna ma długość dwa pierwiastki z trzech, natomiast jedna z dłuższych przyprostokątnych ma długość dwa. Zaznaczono również kąt alfa pomiędzy przeciwprostokątna a krótszą przyprostokątną.

Obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej sinus dla kąta $\alpha$:

$\sin \alpha =\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, czyli $\alpha \approx 35°$.

Narysujmy przekrój poprzeczny stożka i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1CXFzl8RK2Uz

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy R oraz jego przekrój poprzeczny będącym kołem o promieniu r. Przekrój ten jest równoległy do podstawy stożka i jest od niego oddalony o dwa h. Sumaryczna wysokość stożka ma długość trzy h, natomiast tworząca stożka ma długość l.

Ponieważ pole przekroju jest równe $18\pi$, zatem

$\pi ·r^2=18\pi$

$r^2=18$, czyli $r=3\sqrt{2}$.

Jeżeli płaszczyzna przekroju podzieliła stożek na bryły o równych wysokościach, to zachodzi następująca zależność:

$R=2·r=2·3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2+R^2=l^2$

$h^2+{\left(6\sqrt{2}\right)}^2={10}^2$

$h^2+72=100$

$h^2=28$, czyli $h=2\sqrt{7}$.

Zatem objętość stożka wynosi:

$V=\frac{1}{3}·\pi ·{\left(6\sqrt{2}\right)}^2·2\sqrt{7}=\frac{1}{3}·72·2\sqrt{7}\mathrm{\pi }=48\sqrt{7}\mathrm{\pi }$.

Narysujmy stożek, jego przekrój osiowy oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1Adiy2vtAxB4

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka l, wysokość h oraz promień podstawy stożka r. Kąt pomiędzy dwoma ramionami trójkąta został oznaczony jako alfa.

Wiadomo, że przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o bokach $l$, $l$, $2r$ oraz kącie przy wierzchołku $\alpha$ oraz $\cos \alpha =\frac{4}{5}$.

Zatem do wyznaczenia wartości $l$ wykorzystamy twierdzenie cosinusów i rozwiązujemy równanie:

$6^2=l^2+l^2-2·l·l·\cos \alpha$

$36=2l^2-2l^2·\frac{4}{5}$

$\frac{2}{5}{l}^2=36$

$l^2=90$, czyli $l=3\sqrt{10}$.

Wysokość $h$ trójkąta równoramiennego obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Zatem:

$h^2+3^2={\left(3\sqrt{10}\right)}^2$, czyli $h=9$.

Wobec tego pole przekroju osiowego stożka jest równe:

$P=\frac{1}{2}·6·9=27$.