Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1ZUSg7hppdgu11

Ćwiczenie 1

R1MHHgVlzh6df1

Ćwiczenie 2

R1Yfl3NeBoPBe2

Ćwiczenie 3

R1YmrobA2Bdee2

Ćwiczenie 4

Rz7vAzpX9HvyN2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

R167pAmKLzEFl

We wzorze funkcji $y = 100 \cdot a^{x}$ , $a > 1$ , im większa wartość współczynnika $a$ , tym bardziej stromy wykres funkcji.

Ćwiczenie 7

RR7a3IGQRqVrW

Jeżeli wartość pralki automatycznej zmniejsza się o $25 %$ każdego roku, to znaczy, że w kolejnym roku jej wartość jest równa $75 %$ wartości w poprzednim roku.

Na tej podstawie można ustalić wzór, który opisuje zmianę wartości pralki z upływem lat: $y = 4000 \cdot 0, 75^{x}$ .

Ćwiczenie 8

Pani Marzena kupiła samochód za $60000 zł$ . Z upływem lat samochód tracił na wartości.

	w dniu zakupu	po $1$ roku	po $2$ latach	po $3$ latach
wartość samochodu	$60000$	$54000$	$48600$	$43740$

Oblicz wartość samochodu po $6$ latach od dnia zakupu.

Możemy obliczyć, że wartość samochodu w kolejnym roku otrzymujemy, mnożąc wartość samochodu przez $0, 9$ .

RFMJc7f4tK611

Ilustracja przedstawia tabelę o dwóch wierszach i pięciu kolumnach. Pierwszy wiersz pierwszej kolumny jest pusty, w drugim wierszu tej kolumny znajduje napis: wartość samochodu. W pierwszym wierszu drugiej kolumny znajduje się napis: w dniu zakupu, w wierszu pod spodem znajduje się liczba 60000. W pierwszym wierszu trzeciej kolumny znajduje się napis: po jednym roku, w komórce pod spodem znajduje się liczba pięćdziesiąt cztery tysiące. Komórka z liczbą 60000 i liczbą 54000 są połączone strzałką z podpisem razy dziewięć dziesiątych. W pierwszym wierszu czwartej kolumny znajduje się napis: po dwóch latach, w drugim wierszu czwartej kolumny znajduje się liczba 48600, z komórki z liczbą 54000 do komórki z liczbą 48600 prowadzi strzałka z podpisem razy dziewięć dziesiątych. W pierwszym wierszu kolejnej kolumny znajduje się napis: po trzech latach, w komórce pod spodem znajduje się liczba 43740, analogicznie z komórki z liczbą 48600 do komórki z liczbą 43740 prowadzi strzałka z podpisem razy dziewięć dziesiątych.

Sposób I:

Oznacza to, że samochód traci na wartości $10 %$ rocznie. Opisany w zadaniu wykładniczy spadek wartości samochodu można opisać wzorem: $y = 60000 \cdot 0, 9^{x}$ .

Wartość samochodu po upływie sześciu lat jest równa:

$60000 zł \cdot 0, 9^{6} = 31886, 46 zł$

Sposób II:

Obliczamy wartość samochodu po upływie kolejnych lat.

Po $4$ latach: $60000 zł \cdot 0, 9^{4} = 39366 zł$

Po $5$ latach: $60000 zł \cdot 0, 9^{5} = 35429, 40 zł$

Po $6$ latach: $60000 zł \cdot 0, 9^{4} = 31886, 46 zł$

Ćwiczenie 9

Wirus Ebola wywołuje u ludzi zespół objawów nazywanych gorączką krwotoczną. Podstawowa liczba odtwarzania dla tego wirusa jest równa $2$ . To oznacza, że statystycznie jedna zainfekowana tym wirusem osoba zaraża dwie inne osoby podatne na zakażenie w czasie dwóch tygodni. Oblicz liczbę zainfekowanych osób po upływie $12$ tygodni, jeżeli pierwszego dnia zainfekowane były $3$ osoby.

Jedna zainfekowana osoba w czasie dwóch tygodni zaraża dwie kolejne osoby.

W tabeli zestawiono liczbę nowych osób zainfekowanych w kolejnych tygodniach.

Pierwszy dzień	$2$ tygodnie	$4$ tygodnie	$6$ tygodni	$8$ tygodni	$10$ tygodni	$12$ tygodni
$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$

R1bqwjN0TOo03

Ilustracja przedstawiająca schematycznie liczbę osób zarażonych. Od pierwszej osoby poprowadzona jest strzałka w prawo do dwóch osób, od nich do czterech. Od czterech do ośmiu. Od ośmiu do szesnastu. Od szesnastu do trzydziestu dwóch osób. I wreszcie od trzydziestu dwóch do sześćdziesięciu czterech. Każdą osobę symbolizuje szary ludzik z czerwonym tułowiem.

W sytuacji, gdy pierwszego dnia zainfekowana jest jedna osoba, liczba zainfekowanych osób w czasie $12$ tygodni jest równa:

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127$

Gdy pierwszego dnia $3$ osoby są zakażone, to w czasie $12$ tygodni liczba chorych jest równa $3 \cdot 127 = 381$ osób.

Ćwiczenie 10

Na początku marca uruchomiono sklep internetowy. W pierwszym miesiącu jego działalności zostało założonych $48$ kont. Pod koniec sierpnia tego samego roku w sklepie były zarejestrowane $11664$ konta. Przyjmij, że liczba kont założonych w sklepie rosła wykładniczo.

1) Oblicz, ile razy rosła liczba kont co miesiąc.

2) Jeżeli zaobserwowana tendencja się utrzyma, to ile kont będzie założonych w sklepie pod koniec roku?

Skoro liczba kont z upływem czasu rosła wykładniczo, to jest opisana wzorem:

$y = b \cdot a^{x}$

gdzie:
$b$ – jest liczbą kont założonych na początku,
$a$ – jest liczbą, która opisuje ile razy zwiększyła się liczba kont w czasie jednego miesiąca.

W pierwszym miesiącu liczba założonych kont w sklepie internetowym była równa $48$ , czyli $b = 48$ (wartość początkowa). Pierwszy raz liczba kont wzrosła w kwietniu, zatem do sierpnia liczba kont wzrastała przez $5$ miesięcy.

Można więc zapisać równanie:

$48 \cdot a^{5} = 11664$

$a^{5} = \frac{11664}{48}$

$a^{5} = 243$

$a = 3$

Co miesiąc liczba kont zwiększała się trzykrotnie.

Liczbę kont z upływem czasu opisuje wzór: $y = 48 \cdot 3^{x}$ .

Zgodnie z założeniem tendencja wzrostowa utrzymuje się od kwietnia do grudnia, czyli $9$ miesięcy.

Zatem pod koniec roku liczba kont założonych w sklepie internetowym będzie równa:

$y = 48 \cdot 3^{9} = 944784$ .

Animacja

Dla nauczyciela