Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R190fRNMLkk8n1

Ćwiczenie 1

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Jeżeli krawędź sześcianu zwiększymy dwukrotnie, to objętość zwiększy się dwukrotnie.
Objętość sześcianu o przekątnej sześcianu równej $d$ wynosi $d \sqrt{3}$ .
Objętość sześcianu o krawędzi równej $2 cm$ jest o $19 {cm}^{3}$ mniejsza od objętości sześcianu o krawędzi $3 cm$ .
Jeżeli objętość sześcianu wynosi $36$ , to długość krawędzi sześcianu jest liczbą niewymierną.

R1OQYPIlpL9Ut1

Ćwiczenie 2

Ustaw sześciany w kolejności od największej do najmniejszej objętości:

Sześcian o przekątnej bryły długości $6 cm$ .
Sześcian o przekątnej ściany długości $6 cm$ .
Sześcian o krawędzi długości $4 cm$ .

RPpzeBoJJs9Cj1

Ćwiczenie 3

Przekątna sześcianu ma długość $9$ . Ile wynosi objętość tego sześcianu? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych i wpisz w odpowiednie pola.

$V =$ ............ $,$ ............ ${cm}^{3}$ .

RxlPLDs9hegQM2

Ćwiczenie 4

Zaznacz poprawną odpowiedź. Objętość sześcianu zwiększyła się $16$ razy. Tym samym jego krawędź zwiększyła się:

Dwukrotnie.
Więcej niż dwa, ale mniej niż $4$ razy.
Czterokrotnie.
Więcej niż $4$ razy.

Ry514ABV97Q8V2

Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawną odpowiedź. Objętość sześcianu wynosi $250 \sqrt{2}$ . Jaką długość ma przekątna tego sześcianu:

$5 \sqrt{2}$
$5 \sqrt{3}$
$5 \sqrt{6}$
$10$

R13kyN4L1qmb42

Ćwiczenie 6

Krawędź sześcianu zmniejszyła się o $30 %$ . O ile procent zmniejszyła się jego objętość? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych i wpisz w odpowiednie pola.

Objętość sześcianu zmniejszyła się o: ............ $,$ ............ $%$ .

Ćwiczenie 7

Punkt $I$ jest środkiem odcinka $B F$ . Odcinek $I C$ ma długość $\sqrt{10}$ . Oblicz objętość sześcianu $A B C D E F G H$ .

R12BW44ykAkrK

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H. Bryła ta leży na podstawie A B C D, natomiast podstawą górną jest kwadrat E F G H. Z wierzchołka C poprowadzony został odcinek dzielący krawędź B F w punkcie I na dwie równe części.

Wprowadźmy oznaczenie $|B C| = 2 a$ .

Wówczas $|B I| = a$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $B C I$ mamy:

$a^{2} + {(2 a)}^{2} = {|I C|}^{2}$

Czyli $5 a^{2} = {(\sqrt{10})}^{2}$ .

A stąd $a^{2} = 2$ i ostatecznie $a = \sqrt{2}$ .

A zatem krawędź sześcianu ma długość $2 \sqrt{2}$ .

Podstawiając do wzoru na objętość sześcianu mamy

$V = {(2 \sqrt{2})}^{3} = 16 \sqrt{2} [j^{3}]$ .

Ćwiczenie 8

Ile wynosi długość krawędzi sześcianu, jeżeli wydłużenie jej o $2 cm$ spowoduje zwiększenie objętości sześcianu o $386 {cm}^{3}$ ?

Oznaczmy przez $a$ początkową długość krawędzi sześcianu.

Wtedy $V = a^{3}$ jest objętością tego sześcianu.

Mamy więc, że krawędź większego sześcianu ma długość $a + 2$ .

Czyli $V_{w} {= (a + 2)}^{3}$ .

Z drugiej strony $V_{w} = V + 386 = a^{3} + 386$ .

W ten sposób otrzymujemy równanie:

${(a + 2)}^{3} = a^{3} + 386$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia mamy:

$a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8 = a^{3} + 386$

Otrzymamy w ten sposób równanie kwadratowe:

${6 a}^{2} + 12 a - 378 = 0$

Dzieląc równanie stronami przez $6$ mamy:

$a^{2} + 2 a - 63 = 0$

Obliczmy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$∆ = 4 + 252 = 256$ .

Ponieważ jest on liczbą dodatnią, to otrzymujemy dwa rozwiązania postaci:

$a_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{256}}{2} = - 9$ oraz $a_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{256}}{2} = 7$ .

Ponieważ $a$ jest długością krawędzi sześcianu, odrzucamy rozwiązanie ujemne.

Czyli długość krawędzi tego sześcianu wynosi $a = 7$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela