Powstała figura jest sumą trzech stożków jak na rysunku.

R167KihmkUxb4

Ilustracja przedstawia figurę składająca się z trzech stożków. Wysokość upuszczono z wierzchołka do środka podstawy stożka. Na środku wysokości zaznaczono punkt S.

Rozwiązanie przedstawimy na przekroju stożka poprowadzonym przez średnicę podstawy i wierzchołek stożka.

R19LvZuNuAYkK

Ilustracja przedstawia trójkąt A C D. Z punktu D upuszczono wysokość na podstawę tworząc przy tym punkt B. Z wierzchołka A i C poprowadzono środkowe AE i C F. Wysokość oraz środkowe przecinają się w punkcie S. Połączono punkty F i E, na przecięciu z wysokością powstał punkt G.

Ponieważ $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ACD$ (punkt przecięcia środkowych trójkąta), to leży na wysokości $DB$ stożka i dzieli wysokość w stosunku $2:1$. Odcinki $AE$ i $CF$ są środkowymi tego trójkąta, więc odcinek $\left|FE\right|=\frac{\left|AC\right|}{2}=8$.

Długość wysokości wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa ${\left|BD\right|}^2={\left|AD\right|}^2-{\left|AB\right|}^2=100-64=36$, więc $\left|BD\right|=6$.

Stąd $\left|BS\right|=\frac{6}{3}=2$. Na mocy podobieństwa trójkątów $ASC$ i $ESF$ (bo są to trójkąty równoramienne o równych kątach przy wierzchołku $S$, więc odpowiednie kąty mają równe) mamy $\left|GS\right|=\frac{\left|BS\right|}{2}=1$.

Ostatecznie objętość powstałej figury wynosi $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 8^2\cdot 2+\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2\cdot 1+\frac{1}{3}\pi ·4^2·3=\frac{1}{3}\pi \cdot 192=64\pi$.

Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu $AA\text{'}=a$, $AB=b$, $AD=c$. Ponieważ proste $AD\text{'}$ i $DD\text{'}$ przecinają się w punkcie $D\text{'}$, to leżą w jednej płaszczyźnie, a stąd $AD\text{'}$ jest przekątną ściany $A{A}^{\prime }{D}^{\prime }D$. Zatem ${\left|AD\text{'}\right|}^2=2^2=a^2+c^2$.

Podobnie, ${\left|CD\text{'}\right|}^2=3^2=a^2+b^2$. 

Z twierdzenia cosinusów ${\left|AC\right|}^2=2^2+3^2-2·2·3\cos 60°=4+9-2·6·\frac{1}{2}=7$.

Ponadto, ${\left|AC\right|}^2=7=b^2+c^2$. Dostajemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+c^2=4\\ a^2+b^2=9\\ b^2+c^2=7\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{b}^2-c^2=5\\ b^2+c^2=7\end{array}\right.$. Stąd $2b^2=12$, $b^2=6$, więc $b=\sqrt{6}$.

$a^2=3$, więc $a=\sqrt{3}$. 

$c^2=1$, więc $c=1$.

Ostatecznie objętość prostopadłościanu wynosi $abc=1·\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=3\sqrt{2}$.

Ponieważ $DE\parallel AB$, to punkty $A$, $B$, $D$, $E$ leżą w jednej płaszczyźnie, więc proste $AD$ i $BE$ leżą w jednej płaszczyźnie. Ponadto $\left|AB\right|>\left|DE\right|$, więc czworokąt $ABDE$ nie jest równoległobokiem, a stąd proste $AD$ i $BE$ nie są równoległe, więc przecinają się w pewnym punkcie $S$. Podobne rozumowanie prowadzi do wniosku, że proste $CF$ i $EB$ przecinają się w pewnym punkcie $S\text{'}$. Z twierdzenia Talesa zastosowanego dla kąta $ASB$ wynika, że 

$3=\frac{\left|AB\right|}{\left|DE\right|}=\frac{\left|SB\right|}{\left|SE\right|}=\frac{\left|SE\right|+\left|EB\right|}{\left|SE\right|}=1+\frac{\left|EB\right|}{\left|SE\right|}$.

Analogicznie,

$3=\frac{\left|BC\right|}{\left|EF\right|}=\frac{\left|S\text{'}B\right|}{\left|S\text{'}E\right|}=\frac{\left|S\text{'}E\right|+\left|EB\right|}{\left|S\text{'}E\right|}=1+\frac{\left|EB\right|}{\left|S\text{'}E\right|}$.

Stąd $\frac{\left|EB\right|}{\left|SE\right|}=\frac{\left|EB\right|}{\left|S\text{'}E\right|}$ i $\left|SE\right|=\left|S\text{'}E\right|$. Ponieważ punkty $S$ i $S\text{'}$ leżą na prostej $BE$ po tej samej stronie punktu $E$, to $S=S\text{'}$. 

Na rysunku przedstawiony jest przekrój osiowy kapsuły.

R1Ip5yxbzgZxL

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka C upuszczono wysokość o mierze $r+1$ na krawędź podstawy tworząc punkt D. Z punktu D zatoczono łuk A B o promieniu r.

Objętość stożka $V_s=\frac{1}{3}\pi r^2·\left(r+1\right)=\frac{2}{3}{V}_k$, gdzie $V_k$ oznacza objętość kapsuły.

Ponadto, $V_k=V_s+V_p=\frac{1}{3}\pi r^2·\left(r+1\right)+\frac{4\pi r^3}{2·3}$, gdzie $V_p$ oznacza objętość półkuli. 

Zatem $V_k=\frac{3}{2}·\frac{1}{3}\pi r^2·\left(r+1\right)=\frac{1}{3}\pi r^2·\left(r+1\right)+\frac{4\pi r^3}{2·3}$

$\frac{1}{2}\pi r^2·\left(r+1\right)-\frac{1}{3}\pi r^2·\left(r+1\right)-\frac{4\pi r^3}{2·3}=0$

$\frac{1}{6}\pi r^2·\left(r+1-4r\right)=0$

$1-3r=0$

$r=\frac{1}{3}$

Zatem $V_k=\frac{1}{2}·\frac{1}{9}\pi ·\left(\frac{1}{3}+1\right)=\frac{2}{27}\pi \left[{\mathrm{m}}^3\right]$.