Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Przez dwa wierzchołki ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego poprowadzono prostą $l$ . Ile jest prostych przecinających się z $l$ zawierających wierzchołek nienależący do $l$ jeżeli:

RoPJf72bu9L2Z

$l$ zawiera krawędź postawy, a punktem przecięcia jest jeden z wierzchołków należących do $l$ :

$4$
$5$
$7$
$10$

RUZu3s1t6Zhjm

$l$ zawiera krawędź boczną, a punktem przecięcia jest wierzchołek podstawy należący do $l$ :

RzO3GEik85u4O

$l$ zawiera krawędź boczną, a punktem przecięcia jest wierzchołek ostrosłupa:

Ćwiczenie 2

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym $A B C D E F S$ długość krawędzi podstawy wynosi $a$ , a długość krawędzi bocznej – $2 a$ .

R1TxqXfyugp1M

Wysokość ostrosłupa wynosi:

$a$
$a \sqrt{3}$
$2 a$
$a \sqrt{5}$

RWx3J6sb0bEqn

Kąt między krawędzią boczną $A S$ i dłuższą przekątną podstawy $A D$ wynosi:

$30 °$
$45 °$
$60 °$
$90 °$

RyjP5gn935qpv

Cosinus kąta między krawędziami $A S$ i $A F$ wynosi:

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{4}$

R9Nl18eRcjFda

Kąt między krawędziami $A S$ i $D S$ wynosi:

$30 °$
$45 °$
$60 °$
$90 °$

R1jZRpYrLVVCi

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa wynosi:

$a$
$\frac{a \sqrt{15}}{2}$
$a \sqrt{3}$
$a \sqrt{5}$

Ćwiczenie 3

Na każdym z ostrosłupów prawidłowych sześciokątnych zaznaczono na czerwono trzy punkty, przez które poprowadzono płaszczyznę. Podane wielokąty przedstawiają przekroje podanych ostrosłupów wskazanymi płaszczyznami. Dopasuj przekrój do ostrosłupa i zaznaczonych na nim punktów.

R1NaprBXec0Z2

Ilustracja A. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Dwa na krótszej przekątnej podstawy oraz na krawędzi ściany bocznej nad przekątną. Ilustracja B. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Dwa na krótszej przekątnej podstawy oraz na krawędzi przeciwległej ściany bocznej. Ilustracja C. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Dwa na dłuższej przekątnej podstawy oraz jeden na krawędzi ściany bocznej umieszczonej na skos od przekątnej. Ilustracja D. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Dwa na krawędzi podstawy oraz jeden na przeciwległej krawędzi ściany bocznej. Ilustracja E. Przez ostrosłup przechodzą punkty. Wszystkie trzy umieszczone są na sąsiednich ścianach bocznych ostrosłupa.

R8OIVCd2aLKcg

R1ewAlRISXcdj

R1WRjIdnY9MgS2

Ćwiczenie 4

Ocen prawdziwość poniższych zdań.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Trzy różne proste przecinające się w jednym punkcie leżą na jednej płaszczyźnie.	□	□
Jeżeli dwie proste przecinają się w jednym punkcie, to leżą na jednej płaszczyźnie.	□	□
Jeżeli prosta przecina dwie proste równoległe to wszystkie te proste leżą na jednej płaszczyźnie.	□	□
Jeżeli dwie proste przecinają trzecią prostą, to te proste przecinają się.	□	□
Wszystkie proste przecinające się w jednym punkcie wyznaczają płaszczyznę.	□	□
Wszystkie proste przecinające się w jednym punkcie wyznaczają całą przestrzeń.	□	□

Ćwiczenie 5

Dany jest stożek o promieniu podstawy $r = 8$ i tworzącej o długości $l = 10$ . Niech $S$ będzie środkiem ciężkości przekroju stożka poprowadzonego przez średnicę podstawy i wierzchołek stożka. Przez podstawę stożka poprowadzono pęk prostych o wierzchołku $S$ . Narysuj figurę, która jest częścią wspólną stożka i tego pęku oraz wyznacz jej objętość.

Powstała figura jest sumą trzech stożków jak na rysunku.

R167KihmkUxb4

Ilustracja przedstawia figurę składająca się z trzech stożków. Wysokość upuszczono z wierzchołka do środka podstawy stożka. Na środku wysokości zaznaczono punkt S.

Rozwiązanie przedstawimy na przekroju stożka poprowadzonym przez średnicę podstawy i wierzchołek stożka.

R19LvZuNuAYkK

Ilustracja przedstawia trójkąt A C D. Z punktu D upuszczono wysokość na podstawę tworząc przy tym punkt B. Z wierzchołka A i C poprowadzono środkowe AE i C F. Wysokość oraz środkowe przecinają się w punkcie S. Połączono punkty F i E, na przecięciu z wysokością powstał punkt G.

Ponieważ $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $A C D$ (punkt przecięcia środkowych trójkąta), to leży na wysokości $D B$ stożka i dzieli wysokość w stosunku $2 : 1$ . Odcinki $A E$ i $C F$ są środkowymi tego trójkąta, więc odcinek $|F E| = \frac{|A C|}{2} = 8$ .

Długość wysokości wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa ${|B D|}^{2} = {|A D|}^{2} - {|A B|}^{2} = 100 - 64 = 36$ , więc $|B D| = 6$ .

Stąd $|B S| = \frac{6}{3} = 2$ . Na mocy podobieństwa trójkątów $A S C$ i $E S F$ (bo są to trójkąty równoramienne o równych kątach przy wierzchołku $S$ , więc odpowiednie kąty mają równe) mamy $|G S| = \frac{|B S|}{2} = 1$ .

Ostatecznie objętość powstałej figury wynosi $V = \frac{1}{3} π \cdot 8^{2} \cdot 2 + \frac{1}{3} π \cdot 4^{2} \cdot 1 + \frac{1}{3} π \cdot 4^{2} \cdot 3 = \frac{1}{3} π \cdot 192 = 64 π$ .

Ćwiczenie 6

Przez przekątną $A C$ podstawy prostopadłościanu i wierzchołek $D'$ poprowadzono płaszczyznę. Przekrój tą płaszczyzną jest trójkątem o dwóch bokach długości $2$ i $3$ (które są przekątnymi ścian bocznych) oraz kącie między nimi $α = 60 °$ . Oblicz objętość prostopadłościanu.

R19OVxsRJ0aDK

Ilustracja przedstawia prostopadłościan A B C D A prim B prim C prim D prim. Przez przekątną AC oraz punkt D prim przeprowadzono płaszczyznę o kształcie trójkąta. W wierzchołku D prim zaznaczono kąt alfa.

Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu $A A' = a$ , $A B = b$ , $A D = c$ . Ponieważ proste $A D'$ i $D D'$ przecinają się w punkcie $D'$ , to leżą w jednej płaszczyźnie, a stąd $A D'$ jest przekątną ściany $A A^{'} D^{'} D$ . Zatem ${|A D'|}^{2} = 2^{2} = a^{2} + c^{2}$ .

Podobnie, ${|C D'|}^{2} = 3^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Z twierdzenia cosinusów ${|A C|}^{2} = 2^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cos 60 ° = 4 + 9 - 2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 7$ .

Ponadto, ${|A C|}^{2} = 7 = b^{2} + c^{2}$ . Dostajemy układ równań:

$\{\begin{cases} a^{2} + c^{2} = 4 \\ a^{2} + b^{2} = 9 \\ b^{2} + c^{2} = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b^{2} - c^{2} = 5 \\ b^{2} + c^{2} = 7 \end{cases}$ . Stąd $2 b^{2} = 12$ , $b^{2} = 6$ , więc $b = \sqrt{6}$ .

$a^{2} = 3$ , więc $a = \sqrt{3}$ .

$c^{2} = 1$ , więc $c = 1$ .

Ostatecznie objętość prostopadłościanu wynosi $a b c = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 7

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ , które nie leżą w jednej płaszczyźnie, są podobne w skali $k = 3$ oraz $D E ∥ A B$ i $E F ∥ B C$ . Wykaż, że proste $A D$ , $B E$ i $C F$ przecinają się w jednym punkcie.

Ra5tWZs7k6Il6

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły zbudowany z dwóch różnych trójkątów. A B C oraz D EF.

Ponieważ $D E ∥ A B$ , to punkty $A$ , $B$ , $D$ , $E$ leżą w jednej płaszczyźnie, więc proste $A D$ i $B E$ leżą w jednej płaszczyźnie. Ponadto $|A B| > |D E|$ , więc czworokąt $A B D E$ nie jest równoległobokiem, a stąd proste $A D$ i $B E$ nie są równoległe, więc przecinają się w pewnym punkcie $S$ . Podobne rozumowanie prowadzi do wniosku, że proste $C F$ i $E B$ przecinają się w pewnym punkcie $S'$ . Z twierdzenia Talesa zastosowanego dla kąta $A S B$ wynika, że

$3 = \frac{|A B|}{|D E|} = \frac{|S B|}{|S E|} = \frac{|S E| + |E B|}{|S E|} = 1 + \frac{|E B|}{|S E|}$ .

Analogicznie,

$3 = \frac{|B C|}{|E F|} = \frac{|S' B|}{|S' E|} = \frac{|S' E| + |E B|}{|S' E|} = 1 + \frac{|E B|}{|S' E|}$ .

Stąd $\frac{|E B|}{|S E|} = \frac{|E B|}{|S' E|}$ i $|S E| = |S' E|$ . Ponieważ punkty $S$ i $S'$ leżą na prostej $B E$ po tej samej stronie punktu $E$ , to $S = S'$ .

Ćwiczenie 8

Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o $1 m$ większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi $\frac{2}{3}$ objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.

Na rysunku przedstawiony jest przekrój osiowy kapsuły.

R1Ip5yxbzgZxL

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka C upuszczono wysokość o mierze r+1 na krawędź podstawy tworząc punkt D. Z punktu D zatoczono łuk A B o promieniu r.

Objętość stożka $V_{s} = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) = \frac{2}{3} V_{k}$ , gdzie $V_{k}$ oznacza objętość kapsuły.

Ponadto, $V_{k} = V_{s} + V_{p} = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) + \frac{4 π r^{3}}{2 \cdot 3}$ , gdzie $V_{p}$ oznacza objętość półkuli.

Zatem $V_{k} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) + \frac{4 π r^{3}}{2 \cdot 3}$

$\frac{1}{2} π r^{2} \cdot (r + 1) - \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (r + 1) - \frac{4 π r^{3}}{2 \cdot 3} = 0$

$\frac{1}{6} π r^{2} \cdot (r + 1 - 4 r) = 0$

$1 - 3 r = 0$

$r = \frac{1}{3}$

Zatem $V_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} π \cdot (\frac{1}{3} + 1) = \frac{2}{27} π [m^{3}]$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela