Jeden z kątów trójkąta ma miarę , a bok leżący naprzeciw tego kąta ma długość , równą iloczynowi długości pozostałych boków. Oblicz pole tego trójkąta.
Zauważmy, że , stąd . Zatem .
2
Ćwiczenie 3
Riz3vpAEH64eQ
R1MPHlKyJMaht21
Ćwiczenie 4
2
Ćwiczenie 5
W okrąg o promieniu wpisano trójkąt , którego dwa boki mają długość odpowiednio i . Oblicz pole tego trójkąta.
Ponieważ , więc . Przybliżona wartość kąta jest równa . Korzystając z jedynki trygonometrycznej, możemy wykazać, że wówczas . Ponieważ , więc . Mamy wówczas, że lub , ale z bilansu kątów w trójkącie wynika, że tylko pierwsza równość jest prawdziwa. Oczywiście wtedy: . Zauważmy, że oraz . Korzystając ze wzoru na sinus sumy argumentów otrzymujemy: . Wtedy pole jest równe .
2
Ćwiczenie 6
Pole trójkąta jest równe . Uzasadnij, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest większy niż .
Zauważmy, że , czyli . Przypuśćmy, że . Wtedy . Ponieważ dla dowolnego kąta spełniona jest nierówność , więc nierówność jest równoważna równości , która jest prawdziwa tylko wówczas, gdy . Ale równość zachodzi tylko dla . Ale w trójkącie trzy kąty nie mogą jednocześnie kątami prostymi. Nasze przypuszczenie, że doprowadziło do sprzeczności.
3
Ćwiczenie 7
Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego ma miarę , jak na rysunku. Wyznacz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola tego trójkąta.
R68C7jeBbgY2m
Niech oznacza promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Wtedy , czyli . Zatem pole koła opisanego na danym trójkącie jest równe . Zauważmy, że , stąd . Pole trójkąta możemy zapisać jako . Szukany stosunek jest więc równy .
3
Ćwiczenie 8
Dany jest trapez o podstawach i . Proste zawierające ramiona trapezu są prostopadłe, jak na rysunku.
R1EWDehIbnfNa
Kąt ma miarę i jest równy kątowi, jaki przekątna tworzy z ramieniem trapezu. Różnica promieni okręgów opisanych odpowiednio na trójkątach i jest równa . Oblicz pole trapezu .
Zauważmy, że , stąd . Podobnie , stąd .
RvNx9hGV9Hs8G
Trójkąt jest trójkątem o kątach , , . Przyjmijmy, że . Wtedy oraz . Ponieważ trójkąt jest także trójkątem , , , więc mamy: oraz . Ponieważ , to z warunków zadania wynika, że . Stąd . Pole trapezu można wyznaczyć jako różnicę pól trójkątów i . Zatem .