Liczba przekątnych $n$ – kąta jest równa $\frac{n·(n-3)}{2}$, z kolei liczba przekątnych $(n+3)$ - kąta jest równa $\frac{(n+3)·\left[\right(n+3)-3]}{2}=\frac{n·(n+3)}{2}$. Korzystając z zapisanych wyrażeń i warunków zadania, możesz zapisać równanie $\frac{n·(n+3)}{2}-\frac{n·(n-3)}{2}=27$. Przekształcając je równoważnie otrzymujemy kolejno: $\frac{n^2+3n}{2}-\frac{n^2-3n}{2}=27$, $\frac{n^2+3n-(n^2-3n)}{2}=27$, $3n=27$. Stąd $n=9$.

$n=9$.

Zauważmy przede wszystkim, że przekątne nie mogą wychodzić z jednego wierzchołka, bowiem wówczas podzieliłyby wielokąt na trzy figury. Nie mogą być także odcinkami rozłącznymi, bowiem wówczas podzieliłyby wielokąt na trzy części. Pozostaje zatem rozważyć przypadek, gdy przekątne przecinają się w punkcie wewnętrznym wielokąta. Wówczas dwa odcinki, których jednym z końców jest punkt wspólny przekątnych, staną się odpowiednio dwoma bokami pięciokątów, o których mowa w zadaniu – pozostałe boki tych pięciokątów, to boki danego wielokąta. Naszym wielokątem jest więc  dwunastokąt. Zatem liczbę jego przekątnych opisuje ułamek: $\frac{12(12-3)}{2}=6\cdot 9=54.$

$54$

Gdyby w turnieju uczestniczyło n drużyn, to turniej trwałby $\frac{n(n-1)}{2}$ dni. Z kolei gdyby liczba drużyn zmniejszyła się o jeden, to liczbę meczów do rozegrania, a tym samym także długość trwania turnieju, opisałoby wyrażenie $\frac{(n-1)·\left(\right(n-1)-1)}{2}$. Korzystając z zapisanych wyrażeń i warunków zadania, możesz zapisać równanie $\frac{n(n-1)}{2}-\frac{(n-1)·(n-2)}{2}=7$.

Przekształcając je równoważnie otrzymujemy kolejno: $\frac{n^2-n}{2}-\frac{n^2-3n+2}{2}=7$, $\frac{2n-2}{2}=7$. Stąd $n=8$.

$8$

Liczba przekątnych $(n+1)$ - kąta jest równa $\frac{(n+1)\left(\right(n+1)-3)}{2}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}$, z kolei liczba przekątnych $n$ - kąta jest równa $\frac{n(n-3)}{2}$. Obliczymy różnicę wyrażeń opisujących liczbę przekątnych obu figur. $\frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=\frac{n^2+n-2n-2-(n^2-3n)}{2}=\frac{n^2-n-2-n^2+3n}{2}=\frac{2n-2}{2}=\frac{2(n-1)}{2}=n-1$. Co należało wykazać.