Odpowiedzi umieszczono w tabeli:

RFOZAFtMHngI9

Na ilustracji przedstawiono dwa ostrosłupy. W podstawie ostrosłupa pierwszego znajduje się trójkąt równoboczny o boku długości $2m$, natomiast długość krawędzi bocznej wynosi $3m$. W podstawie ostrosłupa drugiego znajduje się trójkąt równoramienny o ramionach długości $2m$ i podstawie długości $3m$. Długość dwóch krawędzi bocznych wynosi $3m$ natomiast długość trzeciej wynosi $2m$.

Skoro ostrosłup ma sześć krawędzi, to jest ostrosłupem trójkątnym. Są tylko dwa rodzaje krawędzi, zatem każda jego ściana jest trójkątem równoramiennym. Są jednak różne możliwości wzajemnego położenia krawędzi ostrosłupa.

Spójrzmy na podstawę rozważanego ostrosłupa.

RGmV622dWjJmD

Na ilustracji przedstawiono romb o boku długości sześć. Kąt ostry ma miarę 60 stopni natomiast rozwarty 120 stopni. Długość dłuższej przekątnej rombu oznaczono literą d, natomiast długość krótszej przekątnej wynosi sześć.

Z rysunku widzimy, że jedna z przekątnych ma długość taką jak bok rombu. Policzmy długość drugiej przekątnej. Skorzystamy z wzoru na pole rombu $P=6·6·\sin 60°=\frac{1}{2}·6·d$, więc $d=6\sqrt{3}$.

Policzmy długość krawędzi bocznych ostrosłupa. Przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku:

R1SbztQN7iYnn

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie rombu. Długość krawędzi podstawy oznaczono wynosi 6, natomiast wysokość ostrosłupa wynosi siedem. Długości krawędzi bocznych oznaczono x i y. Spodek wysokości ostrosłupa połączono z dwoma wierzchołkami tej samej krawędzi podstawy. Powstał trójkąt o bokach długości 3, $3\sqrt{3}$ oraz sześć. Zaznaczono również dwa trójkąty prostokątne. Trójkąt pierwszy o przyprostokątnych długości 7 i 3 oraz przeciwprostokątnej długości y. Trójkąt drugi o przyprostokątnych długości 7 i $3\sqrt{3}$ oraz przeciwprostokątnej długości x.

Mamy więc, że $y^2=3^2+7^2=58$, więc $y=\sqrt{58}$

$x^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2+7^2=76$, więc $x=2\sqrt{19}$.

Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa wynosi $24+4\sqrt{19}+2\sqrt{58}$.

Ponieważ w podstawie mamy pięciokąt, aby móc łatwo zapisać uzasadnienie, trzeba w przemyślany sposób wszystko pooznaczać. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

ROaTbGak4aR5k

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup prawidłowy o podstawie pięciokąta. Podstawę dolną oznaczono $ABCDE$, natomiast wierzchołek W. Długość krawędzi bocznej oznaczono literą b. Z wierzchołka W opuszczono wysokość ostrosłupa, której spodek leży w punkcie S. Z wierzchołka W opuszczono również wysokość ściany bocznej oznaczoną $h_1$, której spodek leży na krawędzi $AB$.

Skoro ostrosłup jest prawidłowy, to wszystkie jego ściany boczne są trójkątami równoramiennymi o tych samych ramionach. Zatem teza zadania, którą mamy udowodnić może być wyrażona jako $h_1+h_2+h_3+h_4+h_5\le 5·b$. Ta nierówność jest jednak prawdziwa, bo w każdym trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej nie przekracza długości przeciwprostokątnej. Mamy zatem pięć prawdziwych nierówności typu $h_i\le b$, dla $i=1,2,\cdots ,5$, które możemy dodać stronami i uzasadnić tezę zadania.