Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

W trójkącie $A B C$ , w którym $|A B| = 14$ , $|A C| = 22$ , odcinki, na jakie dwusieczna kąta wewnętrznego $B A C$ podzieliła bok $B C$ różnią się o $4$ . Oblicz obwód tego trójkąta.

Niech $x$ będzie krótszym z odcinków, na jakie dwusieczna podzieliła bok $B C$ .

Wtedy z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że $\frac{x}{14} = \frac{x + 4}{22}$ .

Stąd $22 x = 14 x + 56$ , czyli $x = 7$ .

Obwód jest więc równy: $L = 14 + 22 + 7 + 11 = 54$ .

Ćwiczenie 2

Dany jest trójkąt $A B C$ , w którym długości boków są liczbami całkowitymi. Dwusieczna kąta zewnętrznego przy wierzchołku $B$ przecięła prostą $A C$ w punkcie $D$ , jak na rysunku. Oblicz długości boków trójkąta, jeżeli: $|A B| - |B C| = 2$ oraz $|A D| = 14$ .

R1TssIxEqLxwA

Grafika przedstawia trójkąt. Wierzchołki trójkąta to: A, B, C. Bok AB oraz AC zostały przedłużone. Po prawej stronie na przedłużeniu boku AC znajduje się punkt D. Przez punkt B i D przechodzi prosta w kolorze różowym.

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie wynika, że
$\frac{|A D|}{|A B|} = \frac{|C D|}{|B C|}$ .

Korzystając z danych możemy zapisać, że: $\frac{14}{|A B|} = \frac{14 - |A C|}{|A B| - 2}$ , stąd $|A B| \cdot |A C| = 28$ .

Równanie to ma w zbiorze liczb całkowitych następujące rozwiązania:

$|A B| = 1$ , $|A C| = 28$ ;

$|A B| = 2$ , $|A C| = 14$ ;

$|A B| = 4$ , $|A C| = 7$ ;

$|A B| = 7$ , $|A C| = 4$ ;

$|A B| = 14$ , $|A C| = 2$ ;

$|A B| = 28$ , $|A C| = 1$ .

Ale z treści zadania wynika, że $|A B| > 2$ .

Ponadto z nierówności trójkąta mamy, że $(|A B| - 2) + |A C| > |A B|$ , czyli $|A C| > 2$ oraz $(|A B| - 2) + |A B| > |A C|$ , czyli $2 \cdot |A B| > |A C| + 2$ .

Stąd wynika, że jedynym rozwiązaniem jest para $|A B| = 7$ , $|A C| = 4$ .

Ćwiczenie 3

Dwusieczna kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $A B C$ podzieliła przyprostokątną w stosunku $5 : 13$ . Wyznacz sinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RXQV5qen0gtBm

Grafika przedstawia trójkąt. Wierzchołki trójkąta to: A, B, C. Bok Na boku BC znajduje się punkt D. Przez punkt A i D przechodzi prosta którą podpisano literą d. Bok AB jest podpisany 5x. Bok AC jest podpisany 13x. Odcinek BD ma długość 5a, natomiast odcinek DC ma długość 13a.

Z warunków zadania wynika, że istnieje taka liczba $a$ , że punkt $D$ , jako punkt wspólny dwusiecznej $d$ i przyprostokątnej $B D$ , dzieli tę przyprostokątna na odcinki długości $|B D| = 5 a$ , $|C D| = 13 a$ .

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie wynika, że $\frac{|B D|}{|A B|} = \frac{|C D|}{|A C|}$ , czyli $\frac{|A C|}{|A B|} = \frac{|B D|}{|C D|} = \frac{5 a}{13 a} = \frac{5}{13}$ .

Stąd istnieje taka liczba $x$ , że $|A B| = 5 x$ , $|A C| = 13 x$ .

Z twierdzenia pitagorasa dla trójkąta $A B C$ wynika, że ${(5 x)}^{2} + {(18 a)}^{2} = {(13 x)}^{2}$ , stąd ${(18 a)}^{2} = {(12 x)}^{2}$ , czyli $3 a = 2 x$ .

Możemy policzyć wartości funkcji sinus obu kątów ostrych: $\sin (∢ B A C) = \frac{18 a}{13 x} = \frac{6 \cdot (2 x)}{13 x} = \frac{12}{13}$ ; $\sin (∢ A C B) = \frac{5 x}{13 x} = \frac{5}{13}$ .

Zauważmy, że po zastosowaniu twierdzenia o dwusiecznej możemy od razu zapisać, że $\sin (∢ A C B) = \frac{5 x}{13 x}$ , a sinus drugiego z kątów policzyć korzystając ze wzorów redukcyjnych (wówczas unikamy zapisywania twierdzenia Pitagorasa na rzecz stosowania jedynki trygonometrycznej).

Ćwiczenie 4

RUc4MKhpj4S5c

R1WPVLnTs9oxH2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Dany jest trójkąt $A B C$ , w którym $"|"A B"|" = 4$ , $"|"B C"|" = 7$ , $"|"A C"|" = 9$ . Długości odcinków $B D$ i $C D$ , na jakie dwusieczna kąta $B A C$ podzieliła bok $B C$ są odpowiednio równe:

$\frac{9}{4}$ , $\frac{9}{7}$
$\frac{9}{4}$ , $\frac{19}{4}$
$\frac{28}{13}$ , $\frac{63}{13}$
$\frac{13}{4}$ , $\frac{15}{4}$

Rq18WYkRnab9J

Ćwiczenie 5

W trójkącie $A B C$ o obwodzie $25$ odcinki, na jakie dwusieczna kąta wewnętrznego $B A C$ podzieliła bok $B C$ są odpowiednio równe: $|B D| = 2$ , $|C D| = 3$ . Oblicz długości boków trójkąta.

Oczywiście $|B C| = 5$ .

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie wynika, że $\frac{|B D|}{|A B|} = \frac{|C D|}{|A C|}$ , czyli $\frac{2}{|A B|} = \frac{3}{|A C|}$ .

Stąd $|A C| = \frac{3}{2} \cdot |A B|$ .

Ponieważ $25 = |A B| + |A C| + |B C| = |A B| + \frac{3}{2} \cdot |A B| + 5$ , więc $|A B| = 8$ oraz $|A C| = 12$ .

ROCyBLLovVOWh3

Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawną odpowiedź. Dany jest trójkąt $A B C$ , w którym dwa boki mają odpowiednio długości $9$ i $12$ . Dwusieczna kąta wewnętrznego podzieliła trzeci bok trójkąta na dwa odcinki, z których jeden ma długość równą $10$ . Trzeci bok tego trójkąta ma długość:

$\frac{15}{2}$
$\frac{40}{3}$
$\frac{35}{2}$
$\frac{70}{3}$

Ćwiczenie 7

Dany jest trójkąt $A B C$ , o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ , jak na rysunku.

R1DEypDjt8dHn

Dany jest trójkąt. Wierzchołki trójkąta to: A, B, C. Bok Na boku AB znajduje się punkt D. Punkt C i D połączono odcinkiem, który podpisano literą d. Bok AB jest podpisany literą c. Bok BC jest podpisany literą a. Bok AC jest podpisany literą b. Pomiędzy prostą d i bokiem a zaznaczony jest kąt, jest on podpisany: γ2. Pomiędzy prostą d i bokiem b również zaznaczony jest kąt i podpisany: γ2.

Zapoznaj się z następującycm twierdzeniem:

Długość odcinka $C D$ dwusiecznej kąta wewnętrznego $A C B$ trójkąta $A B C$ jest równa

$|C D| = \frac{\sqrt{a b [{(a + b)}^{2} - c^{2}]}}{a + b}$ .

RUrAjfJiOjVZd

Ułóż we właściwej kolejności etapy dowodu tego twierdzenia. Złap element i przesuń go w górę lub w dół.
Dowód: Elementy do uszeregowania: 1. Najpierw dla trójkąta

A B C

mamy:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos α

, zatem

\cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

., 2. Podstawiając teraz obliczoną wcześniej długość odcinka

|A D|

otrzymujemy:

{|C D|}^{2} = b^{2} + {(\frac{b c}{a + b})}^{2} - 2 b \cdot \frac{b c}{a + b} \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

., 3. A korzystając ze wzoru skróconego mnożenia możemy zapisać, że

\frac{a b (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b)}{{(a + b)}^{2}} = \frac{a b [{(a + b)}^{2} - c^{2}]}{{(a + b)}^{2}}

., 4. Redukując wyrazy podobne i wyłączając wspólny czynnik przed nawias dostajemy:

\frac{a b (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b)}{{(a + b)}^{2}}

., 5. Teraz dwukrotnie skorzystamy z twierdzenia cosinusów., 6. Zacznijmy od zastosowania twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego. Wtedy mamy, że:

\frac{|A D|}{b} = \frac{c - |A D|}{a}

., 7. Stąd

|C D| = \frac{\sqrt{a b [{(a + b)}^{2} - c^{2}]}}{a + b}

, co należało wykazać., 8. Wykorzystując wyznaczoną wartość cosinusa możemy zapisać odpowiednią równość dla trójkąta

A D C

{|C D|}^{2} = b^{2} + {|A D|}^{2} - 2 b \cdot |A D| \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

., 9. Stąd

|A D| = \frac{b c}{a + b}

., 10. Po doprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy, że

b^{2} + {(\frac{b c}{a + b})}^{2} - 2 b \cdot \frac{b c}{a + b} \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} =

= \frac{b^{2} {(a + b)}^{2} + b^{2} c^{2} - b (a + b) (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{{(a + b)}^{2}}

., 11. Pozostaje przekształcić wyrażenie:

b^{2} + {(\frac{b c}{a + b})}^{2} - 2 b \cdot \frac{b c}{a + b} \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

R1UhSqB3P1FeA

Uzupełnij dowód tego twierdzenia, wstawiając wyrażenia w odpowiednie miejsca. Zacznijmy od zastosowania twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego. Wtedy mamy, że:

\frac{|A D|}{b} = \frac{c - |A D|}{a}

.
Stąd 1.

|A D| = \frac{b c}{a + b}

, 2.

\frac{a b (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b)}{{(a + b)}^{2}}

, 3.

|C D| = \frac{\sqrt{a b [{(a + b)}^{2} - c^{2}]}}{a + b}

, 4.

\cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

.
Teraz dwukrotnie skorzystamy z twierdzenia cosinusów.
Najpierw dla trójkąta

A B C

mamy:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos α

, zatem 1.

|A D| = \frac{b c}{a + b}

, 2.

\frac{a b (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b)}{{(a + b)}^{2}}

, 3.

|C D| = \frac{\sqrt{a b [{(a + b)}^{2} - c^{2}]}}{a + b}

, 4.

\cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

.
Wykorzystując wyznaczoną wartość cosinusa możemy zapisać odpowiednią równość dla trójkąta

A D C

{|C D|}^{2} = b^{2} + {|A D|}^{2} - 2 b \cdot |A D| \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

.
Podstawiając teraz obliczoną wcześniej długość odcinka

|A D|

otrzymujemy:

{|C D|}^{2} = b^{2} + {(\frac{b c}{a + b})}^{2} - 2 b \cdot \frac{b c}{a + b} \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

.
Pozostaje przekształcić wyrażenie:

b^{2} + {(\frac{b c}{a + b})}^{2} - 2 b \cdot \frac{b c}{a + b} \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

.
Po doprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy, że

b^{2} + {(\frac{b c}{a + b})}^{2} - 2 b \cdot \frac{b c}{a + b} \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} =

= \frac{b^{2} {(a + b)}^{2} + b^{2} c^{2} - b (a + b) (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{{(a + b)}^{2}}

.
Redukując wyrazy podobne i wyłączając wspólny czynnik przed nawias dostajemy: 1.

|A D| = \frac{b c}{a + b}

, 2.

\frac{a b (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b)}{{(a + b)}^{2}}

, 3.

|C D| = \frac{\sqrt{a b [{(a + b)}^{2} - c^{2}]}}{a + b}

, 4.

\cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

.
A korzystając ze wzoru skróconego mnożenia możemy zapisać, że

\frac{a b (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b)}{{(a + b)}^{2}} = \frac{a b [{(a + b)}^{2} - c^{2}]}{{(a + b)}^{2}}

.
Stąd 1.

|A D| = \frac{b c}{a + b}

, 2.

\frac{a b (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b)}{{(a + b)}^{2}}

, 3.

|C D| = \frac{\sqrt{a b [{(a + b)}^{2} - c^{2}]}}{a + b}

, 4.

\cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

, co należało wykazać.

Animacja

Dla nauczyciela