Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest wykres funkcji $f$ .

RBhpmULInf3mh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji fx=x3-1. Wykres jest krzywą biegnącą niemal pionowo w górę w trzeciej ćwiartce do punktu 0;-1, w którym przebija do czwartej ćwiartki, w której biegnie łukowato do punktu 1;0, gdzie przebija do pierwszej ćwiartki, w której biegnie niemal pionowo w górę. Na płaszczyźnie wyróżniono punkt A=1;0. Na rysunku zapisano również, że h=1.

RYntZa6rkghHI

Zaznacz wartość ilorazu różnicowego w punkcie $A = (1, 0)$ , gdy $h = 1$ oraz $f (2) = 7$ :

$7$
$\frac{1}{7}$
$2$

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji oraz zaznaczono punkty $A$ i $B$ , które należą do tego wykresu.

RhEUnneCoTgbg

R1dQXGsNJmxOY

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Jeżeli przyrost $h = 2$ , to iloraz różnicowy funkcji w punkcie $A$ wynosi $2$ .
Tangens kąta nachylenia siecznej $A B$ do osi odciętych jest równy $\frac{1}{2}$ .
Dla punktów $A$ i $B$ zachodzi równość: $f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = x - x_{0}$ .
Tangens kąta nachylenia siecznej $A B$ do osi odciętych jest równy $2$ .

Ćwiczenie 3

Dany jest wykres funkcji $f$ .

R3yxxLUAaRmYe

R1FYG1oqVPWjH

Na podstawie rysunku wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$- 3$ , $- 1$ , $6$ , $3$ , $2$

Z wykresu funkcji odczytujemy:
$x_{0} =$ ............,
$f (x_{0}) =$ ............,
$x_{0} + h =$ ............,
$f (x_{0} + h) =$ .............
Zatem:
$\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} =$ .............

R1eLIhFfTN17I

Ćwiczenie 4

Na podstawie rysunku uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

Rs6F4mJiPFhgL

R1Lv4WUSuw3zv

Jeżeli $x_{0} = - 3$ , to $f (x_{0}) =$ ............. Gdy przyrost argumentu $h = 8$ , to $x_{0} + h =$ ............ oraz $f (x_{0} + h) =$ .............
Wtedy iloraz różnicowy funkcji wynosi $\frac{1}{4}$ .
Jeżeli $x_{0} = 0$ , to $f (x_{0}) =$ ............. Gdy przyrost argumentu $h = 5$ , to $x_{0} + h =$ ............ oraz $f (x_{0} + h) =$ .............
Wtedy iloraz różnicowy funkcji wynosi $\frac{1}{5}$ .

R1EauzVEJkODY

Uzupełnij luki w oparciu o podane informacje. Wpisz odpowiednie liczby. Ewentualne ułamki wpisz w postaci dziesiętnej i użyj przecinka jako separatora. Funkcja określona jest wzorem:

f (x) = \sqrt{x - 4} - 3

zaznaczony punkt należący do wykresu ma współrzędne $(- 3; - 2)$ ,
$x_{0} =$ Tu uzupełnij,
$h = 8$ ,
punkt o współrzędnych $(x_{0} + h; f (x_{0} + h))$ to punkt $($ Tu uzupełnij $;$ Tu uzupełnij $)$ ,
iloraz różnicowy wynosi $\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} =$ Tu uzupełnij.

Ćwiczenie 5

RDYkbgRL12hWS

R1FyerRCfMUr1

Uzupełnij luki w oparciu o podane informacje. Jakie będą ilorazy różnicowe w poszczególnych przykładach?

Funkcja określona jest wzorem: $f (x) = \sqrt{x - 5}$
- zaznaczony punkt należący do wykresu ma współrzędne $(- 1; 2)$ ,
- $x_{0} = - 1$ ,
- $h = 5$ ,
- iloraz różnicowy wynosi 1. $\frac{1}{9}$ , 2. $- 1$ , 3. $\frac{1}{5}$ .

Funkcja określona jest wzorem: $f (x) = |x + 4| - 3$
- zaznaczony punkt należący do wykresu ma współrzędne $(- 8; 1)$ ,
- $x_{0} = - 8$ ,
- $h = 9$ ,
- iloraz różnicowy wynosi 1. $\frac{1}{9}$ , 2. $- 1$ , 3. $\frac{1}{5}$ .

Funkcja określona jest wzorem: $f (x) = 3 - {(x + 3)}^{2}$
- zaznaczony punkt należący do wykresu ma współrzędne $(- 4; 2)$ ,
- $x_{0} = - 4$ ,
- $h = 3$ ,
- iloraz różnicowy wynosi 1. $\frac{1}{9}$ , 2. $- 1$ , 3. $\frac{1}{5}$ .

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f$ i $g$ .

R13wOI4MtW4J1

Dane są dwie funkcje. Pierwsza z nich określona jest wzorem $f (x) = 3 - {(x - 3)}^{2}$ oraz funkcja $g (x) = {(x + 2)}^{2}$ . Na wykresie funckji $f$ wyróżniono dwa punkty: $A = (1; - 1)$ oraz $B = (4; 2)$ . Na wykresie funckji $g$ wyróżniono dwa punkty: $C = (- 4; 4)$ oraz $D = (- 2; 0)$ . Na podstawie tych informacji, wykonaj poniższe zadanie.

RWqWnh9NuiVJJ

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

jeżeli <math><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></math> oraz <math><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math>, to iloraz różnicowy funkcji wynosi <math><mn>1</mn></math>, wartość współczynnika <math><mi>b</mi></math> równania siecznej poprowadzonej przez zaznaczone punkty wynosi <math><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced></math>, kąt nachylenia do osi <math><mi>X</mi></math> siecznej przechodzącej przez zaznaczone punkty ma miarę około <math><mn>64</mn><mo>°</mo></math>, wartość współczynnika <math><mi>b</mi></math> równania siecznej poprowadzonej przez zaznaczone punkty wynosi <math><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow></mfenced></math>, jeżeli <math><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>4</mn></math> i <math><mi>h</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>, to iloraz różnicowy funkcji wynosi <math><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced></math>, kąt nachylenia do osi <math><mi>X</mi></math> siecznej przechodzącej przez zaznaczone punkty ma miarę <math><mn>45</mn><mo>°</mo></math>

Dla wykresu funkcji $g$ mamy:
Dla wykresu funkcji $f$ mamy:

Ćwiczenie 7

Prosta o równaniu $y = - x$ jest sieczną do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 2$ . Wyznacz wartość przyrostu $h$ , dla którego dana prosta jest sieczną do wykres funkcji $f$ .

Wyznaczmy punkty wspólne wykresu funkcji z prostą, która jest sieczną do tego wykresu.

W tym celu rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = - x \\ y = x^{2} - 2 \end{cases}$

$x^{2} + x - 2 = 0$ .

Zatem $x = - 2$ lub $x = 1$ .

Odpowiadające im wartości to:

$y = 2$ oraz $y = - 1$ .

Zatem punkty wspólne wykresu funkcji oraz siecznej mają współrzędne:

$(- 2, 2)$ i $(1, - 1)$ .

Zatem zachodzą równości:

$- 2 + h = 1$ oraz $1 + h = - 2$ .

Wobec tego $h \in \{- 3, 3\}$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeśli zachodzi równość $3 f (x_{0} + h) - 3 f (x_{0}) = \sqrt{3} h$ , to sieczna $A B$ do wykresu funkcji poprowadzona w punkcie $(x_{0}, f (x_{0}))$ i zadanym przyroście $h$ , gdy $h \neq 0$ jest nachylona do osi $X$ pod kątem $30 °$ .

Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R8wWbKY1aMO8h

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano parabolę f z ramionami skierowanymi w dół i z wierzchołkiem w pierwszej ćwiartce. Parabolę przecina ukośna prosta nachylona do poziomej osi X pod kątem 30 stopni. Wyróżniono punkty przecięcia paraboli i prostej. Punkt A=x0;fx0 oraz punkt B=x0+h;fx0+h. Punkt A znajduje się na lewo i poniżej punktu B. Oba punkty zrzutowano na obie osie o rozrysowano trójkąt prostokątny w oparciu o te punkty. Odcinek A B jest przeciwprostokątną w trójkącie. Poziomy odcinek h wyprowadzony z punkt A w lewo jest poziomą przyprostokątną. Jest on różnicą między pierwszymi współrzędnymi obu punktów. Pionowa przyprostokątna trójkąta to odcinek poprowadzony z punktu B do odcinka h. Odcinek ten jest różnicą drugich współrzędnych obu punktów. W trójkącie zaznaczono dwa kąty: kąt o mierze 30 stopni przy wierzchołku A oraz kąt prosty.

Jeżeli zachodzi równość $3 f (x_{0} + h) - 3 f (x_{0}) = \sqrt{3} h$ , to po przekształceniu mamy:

$\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ponieważ $a = tg α = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , zatem $α = 30 °$ .

Aplet

Dla nauczyciela