Naszkicuj wykres zależności mocy od czasu. Skoro moc jest stała w czasie, to jaką figurą ogranicza ten wykres?

$E_1=P_0{t}_0=2000\mathrm{W}\cdot 150\mathrm{s}=300000\mathrm{J}=300\mathrm{kJ}$

Wykres zależności mocy od czasu jest liną równoległą do osi czasu. Figura ograniczona tym wykresem jest więc prostokątem:

RdskirPyqkstC

Rysunek przedstawia wykres zależności mocy od czasu. Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych z pionową osią wyskalowaną w watach i oznaczoną dużą czarną literą P oraz z poziomą osią wyskalowaną w sekundach i oznaczoną małą czarną literą t. W układzie współrzędnych wrysowano funkcję zależności mocy od czasu w postaci poziomego czerwonego odcinka o współrzędnych początku (zero i duża litera P z indeksem dolnym zero) oraz o współrzędnych końca (mała litera t z indeksem dolnym zero i duża litera P z indeksem dolnym zero). Pole zawarte między tym wykresem funkcji a poziomą osią układu współrzędnych stanowi prostokąt o bokach poziomych długości mała czarna litera t z indeksem dolnym zero oraz bokach pionowych o długości duża litera P z indeksem dolnym zero. Pole to na rysunku oznaczono dużą czarną literą E z indeksem dolnym dwa. Odległości w pionie zaznaczono na rysunku czarnym kolorem w postaci dwustronnej strzałki ze zwrotami skierowanymi na zewnątrz.

Czyli wartość energii $\left|E_2\right|=poleprostokąta$

$\left|E_2\right|=2000\cdot 150=300000$

Jednostka energii: $\mathrm{1\; W}\cdot \mathrm{1\; s}=\mathrm{1\; J}$, zatem $E_2=300000\mathrm{J}=300\mathrm{kJ}$

Pokazuje to, że $E_1=E_2$.

Naszkicuj wykres zależności mocy od czasu. Skoro moc rośnie liniowo w czasie, to jaką figurę ogranicza ten wykres? Oblicz pole powierzchni tej figury.

Wykresem funkcji P(t) jest linia prosta, kończąca się w punkcie (t = 5 s; P = 40 W).

R1UjHaZ2ztHfd

Rysunek przedstawia wykres zależności mocy od czasu. Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych z pionową osią wyskalowaną w watach i oznaczoną dużą czarną literą P z zakresem wartości od zera do czterdziestu z podziałką co dziesięć oraz z poziomą osią wyskalowaną w sekundach i oznaczoną małą czarną literą t z zakresem wartości od zera do pięciu z podziałką co jeden. W układzie współrzędnych wrysowano funkcję zależności mocy od czasu w postaci czarnego odcinka o współrzędnych początku (zero i zero) oraz o współrzędnych końca (pięć i czterdzieści).

Wartość pracy $W$ jest więc równa polu powierzchni trójkąta o wierzchołkach (0; 0), (5 s; 0) i (5 s; 40 W).
$W=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{40\; W}\cdot \mathrm{5\; s}=\mathrm{100\; J}$

Średnia moc $P_{śr}=\frac{W}{t}=\frac{100J}{5s}=20W=\frac{1}{2}{P}_0,$ co było do wykazania.

Wykres ogranicza trapez. Jego podstawy to, odpowiednio, 300 s oraz 180 s. Jego wysokość to 2 kW.
Przypomnij sobie wyrażenie łączące moc średnią z wykonaną pracą i czasem jej wykonania.

Wykres ogranicza trapez. Pole powierzchni pod trapezem jest więc równe wartości wykonanej pracy:

Średnia moc wynosi zatem:

Moc silnika samochodu dana jest wzorem:

Aby wyznaczyć prędkość samochodu, posłuż się informacją o całkowitym czasie ruchu i przebytej drodze.

Oblicz następnie pracę wykonaną w każdym z etapów ruchu samochodu.

Prędkość samochodu v = 15 m/s (54 km/h), skoro wciągu 12 minut (czyli 720 sekund albo 1/5 godziny) przejechał on 10,8 km, czyli 10.800 m.

W pierwszym etapie ruchu siła ciągu $F_{\mathrm{c}}\mathrm{=\; 1\; kN}$, co przy obliczonej prędkości $v=\; 15\; m/s$ oznacza moc $P_1\mathrm{=\; 15\; kW.}$ Z mocą tą silnik pracował przez 5 minut, czyli $t_1\mathrm{=\; 300\; s.}$ Zatem wykonana praca:

Analogicznie postępujemy w dwóch pozostałych etapach ruchu. Otrzymujemy:

Całkowita praca wynosi więc 9,9 MJ, a średnia moc:

Skoro moc generatora jest proporcjonalna do prędkości wiatru, to zależność P(v) ma postać:
P(v) = a$\cdot$v

gdzie a jest współczynnikiem proporcjonalności. Wartość tego współczynnika można wyznaczyć z danych zadania.

Wyznacz pole powierzchni pod figurą ograniczoną wykresem v(t). Jak ma się obliczona wartość do wartości pola powierzchni ograniczonej wykresem P(t)?

Pole powierzchni $S$ pod wykresem $v\left(t\right)$ składa się z czterech części (licząc od lewej strony):
z prostokąta o bokach 0,5 h na 10 m/s: $S_1\mathrm{=\; 18\; km;}$
z trapezu o wysokości 0,5 h i podstawach 10 m/s oraz 20 m/s; $S_2\mathrm{=\; 27\; km;}$
z prostokąta o bokach 0,5 h na 20 m/s; $S_3\mathrm{=\; 36\; km;}$
z trapezu o wysokości 0,5 h i podstawach 10 m/s oraz 20 m/s; $S_4\mathrm{=\; 22,5\; km.}$

Tak więc $S=\mathrm{103,5\; km.}$

Skoro moc generatora $P$ jest proporcjonalna do prędkości $v$, to pole pod wykresem $P\left(t\right)$ jest proporcjonalne do pola pod wykresem $v\left(t\right)$.
Co istotne, współczynnik proporcjonalności $a$ jest taki sam. Zapisujemy to w sposób następujący:

gdzie uwzględniliśmy, że pole powierzchni pod wykresem zależności mocy od czasu to nic innego, jak wykonana przez generator praca $W$, czyli uzyskana z niego energia elektryczna.

Wartość $a$ obliczymy z podanego w zadaniu warunku:

z którego wynika, że:

Ostatecznie więc:

Współczynnik wypełnienia $b\in <0;1>$.
Określa on, przez jaką część okresu urządzenie pracuje pełną mocą. W pozostałej części każdego okresu urządzenie ma moc zerową.

$P_{śr}=\frac{W}{t}=\frac{P_0\mathrm{\text{bT}}}{T}=P_{0}b$