Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Treść do ćwiczeń 1‑3

Rui0js3b4Md5g

Zdjęcie przedstawia budowlę sakralną wykonaną z kamienia, której zwieńczenie ma kształt ostrosłupa. Budowla znajduje się w lesie. — Piramida w Rapie
Źródło: dostępny w internecie: www.wikipedia.org, domena publiczna.

W $1811$ roku w mazurskiej wsi Rapa wybudowano grobowiec, którego kształt przypomina egipskie piramidy. Podstawa zbudowana jest z kamienia polnego, na planie kwadratu. Zewnętrzne wymiary piramidy wynoszą: wysokość – $15, 9 m$ , długość boku podstawy – $10, 4 m$ .

R44OvEux7csrI1

Ćwiczenie 1

Na ułożenie $1 m^{2}$ piramidy wykorzystano ok. $126$ kamieni. Ile kamieni potrzeba do ułożenia całej budowli, łącznie z podłogą?

ok. $57400$
ok. $5740$
ok. $574000$

RNbnVBeEBdWrt1

Ćwiczenie 2

Jaką wysokość powinna mieć bryła podobna do piramidy w Rapie, aby skala podobieństwa ich objętości wynosiła $\frac{1}{27}$ ?

$5, 3 m$
$429, 3 m$
$0, 59 m$

RoGSlW6z4wONp2

Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie wartości w puste pola. Jeśli ściany piramidy w Rapie obłożymy tynkiem o grubości

3 cm

, to na całą bryłę potrzeba około 1.

10, 4 m^{3}

, 2.

348 l

, 3.

104 m^{3}

, 4.

69, 6 kg

, 5.

34, 8 l

, 6.

696 kg

tynku. Na

1

metr kwadratowy powierzchni tynku o grubości

3 cm

potrzeba około

2 kg

gładzi szpachlowej i

1

litr wody. Potrzebujemy więc około 1.

10, 4 m^{3}

, 2.

348 l

, 3.

104 m^{3}

, 4.

69, 6 kg

, 5.

34, 8 l

, 6.

696 kg

gładzi i 1.

10, 4 m^{3}

, 2.

348 l

, 3.

104 m^{3}

, 4.

69, 6 kg

, 5.

34, 8 l

, 6.

696 kg

wody.

$34, 8 l$ , $104 m^{3}$ , $10, 4 m^{3}$ , $69, 6 kg$ , $696 kg$ , $348 l$

Jeśli ściany piramidy w Rapie obłożymy tynkiem o grubości $3 cm$ , to na całą bryłę potrzeba ok.................tynku. Na $1$ metr kwadratowy powierzchni tynku o grubości $3 cm$ potrzeba ok. $2 kg$ gładzi szpachlowej i $1$ litr wody. Potrzebujemy więc ok. ................ gładzi i ................ wody.

Ćwiczenie 4

Pan Adam potrzebuje pokryć połać dachu gontem bitumicznym. Kształt dachu przypomina ostrosłup ścięty o krawędziach bocznych równej długości, przedstawiony na rysunku.

ROEOHAtvwYzkh

Ilustracja przedstawia ostrosłup ścięty, którego podstawą jest czworokąt o bokach 12 metrów i 8 metrów. Długość przekroju równoległego do podstawy, który powstał z odcięcia wierzchołka jest równa 3 metry. W bryle zaznaczono trapez, powstały z wysokości H o długości 6 metrów, której spodek leży w punkcie przecięcia przekątnych, wysokości jednej ze ścian bocznych, oraz odcinków łączących te wysokości w płaszczyźnie podstawy oraz w płaszczyźnie przekroju górnego.

R19wZb7TxKEh5

Wskaż, czy zdania są prawdziwe czy fałszywe.

	Prawda	Fałsz
długość kalenic (krawędzi bocznych) wynosi ok. $8, 1 m$	□	□
kąt nachylenia kalenic do płaszczyzny podstawy ma miarę $42 °$	□	□
kąt nachylenia ścian bocznych o krótszej podstawie wynosi $53 °$	□	□

R1cIMN1vP5SiE2

Ćwiczenie 5

Budujemy dach w kształcie ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego kalenica ma długość $3 m$ . Wiemy, że kalenica jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $30 °$ . Ile drewnianych belek należy zamówić na opisaną konstrukcję, jeśli wiemy, że są one ułożone jak krawędzie ostrosłupa?

$34 m$
$18 m$
$15 m$

Rwryf7G28vEx02

Ćwiczenie 6

Architekt zaprojektował dach altany w kształcie ostrosłupa prostego o podstawie trójkąta prostokątnego o wymiarach przyprostokątnych

4 m \times 3 m .

Z projektu wynika, że kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa wynosi

25 °

. Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie wartości w puste pola.

Miara kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa ściany o najmniejszej powierzchni: 1. $11, 8 m^{2}$ , 2. $1, 17 m$ , 3. $155 °$ , 4. $2, 2 m$ , 5. $1, 8 m$ , 6. $10, 2 m^{2}$ , 7. $130 °$ , 8. $2, 76 m$ .
Pole powierzchni bocznej: 1. $11, 8 m^{2}$ , 2. $1, 17 m$ , 3. $155 °$ , 4. $2, 2 m$ , 5. $1, 8 m$ , 6. $10, 2 m^{2}$ , 7. $130 °$ , 8. $2, 76 m$ .
Wysokość dachu: 1. $11, 8 m^{2}$ , 2. $1, 17 m$ , 3. $155 °$ , 4. $2, 2 m$ , 5. $1, 8 m$ , 6. $10, 2 m^{2}$ , 7. $130 °$ , 8. $2, 76 m$ .
Długość kalenicy: 1. $11, 8 m^{2}$ , 2. $1, 17 m$ , 3. $155 °$ , 4. $2, 2 m$ , 5. $1, 8 m$ , 6. $10, 2 m^{2}$ , 7. $130 °$ , 8. $2, 76 m$ .

Architekt zaprojektował dach altany w kształcie ostrosłupa prostego o podstawie trójkąta prostokątnego o wymiarach przyprostokątnych $4 m \times 3 m .$ Z projektu wynika, że kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa wynosi $25 °$ . Połącz opis odpowiednich wielkości z liczbą:

$10, 2 m^{2}$ , $155 °$ , $2, 76 m$ , $11, 8 m^{2}$ , $130 °$ , $1, 17 m$ , $1, 8 m$ , $2, 2 m$

miara kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa ściany o najmniejszej powierzchni: ................
pole powierzchni bocznej: ................
wysokość dachu: ................
długość kalenicy: ................

Ćwiczenie 7

Dom, którego dach przypomina kształtem ostrosłup prosty czworokątny o podstawie trapezu równoramiennego (zobacz rysunek), wybudowano w roku $2002$ . Obecnie wykonano renowację dachu, wymieniając jego pokrycie na dachówkę. Koszt dachówki to $120 zł / m^{2}$ . Oblicz, ile kosztował materiał, jeśli wiemy, że kąt nachylenia kalenicy do płaszczyzny podstawy wynosi $16 °$ .

R1QsrJNDRjRzY

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez. Dłuższa podstawa trapezu ma długość 12 metrów, krótsza podstawa trapezu ma długość 6 metrów, ramiona trapezu mają długość 5 metrów. W podstawie zaznaczono jej obie przekątne. W ostrosłupie narysowano jego wysokość, której spodek leży w punkcie przecięcia przekątnych, a jej długość wynosi 6 metrów. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt, składający się z wysokości, krawędzi bocznej przylegającej do wierzchołka należącego do krótszej podstawy trapezu oraz fragmentu przekątnej podstawy, która łączy te dwa odcinki. Kąt pomiędzy przekątną podstawy a tą krawędzią boczną ma wartość 16 stopni.

Wykonajmy rysunek pomocniczy i oznaczmy jako $x$ przekątną podstawy trapezu, a $h$ – jej wysokość.

R1PLRPyr0Nzub

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A B C D. W trapezie zaznaczono jego wysokość h opuszczoną z wierzchołka D na podstawę AB, punk przecięcia się wysokości z krawędzią AB podpisano literą E. W trapezie zaznaczono również jego przekątną BD i podpisano ją literą x. Krótsza podstawa CD ma długość 6 metrów. Ramiona AD oraz BC mają długość 5 metrów. Dłuższa podstawa AB ma długość 12 metrów. Odcinek AE ma długość 3 metrów, a odcinek BE ma długość 9 metrów.

Ostrosłup jest prosty, więc wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości, a spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trapezie. Żeby obliczyć promień okręgu (oznaczmy go jako $R$ ), wystarczy policzyć pole trójkąta, który powstanie po poprowadzeniu jednej przekątnej trapezu równoramiennego (pole trójkąta $A B D$ ).

$h^{2} = 5^{2} - 3^{2}$

$h = 4 m$

$x^{2} = 4^{2} + 9^{2}$

$x = \sqrt{97} m \approx 9, 8 m$

$P_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24 m^{2}$

$P_{Δ} = \frac{a b c}{4 R}$

$24 = \frac{5 \cdot 12 \cdot 9, 8}{4 R}$

$R \approx 6, 13 m$

Obliczmy więc teraz długość kalenicy, czyli krawędzi bocznej (oznaczmy ją jako $b$ ). Wiemy, że jest ona nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $16 °$ , więc:

$\frac{R}{b} = \cos 16 °$

$b = \frac{R}{\cos 16 °}$

$b \approx 6, 38 m$

Aby obliczyć koszt dachówki, musimy policzyć pole powierzchni bocznej naszego dachu.

Pola ścian bocznych:

$h \approx 5, 87 m, P \approx 14, 67 m^{2}$
RRJpmXAqRo6m3
$h \approx 5, 63 m, P \approx 16, 89 m^{2}$
RXuZaj1cEYj2G
$h \approx 2, 17 m, P \approx 13, 01 m^{2}$
Rh7HoDtxsGhJw

$P_{b} = 2 \cdot 14, 67 + 16, 89 + 13, 01 = 59, 24 m^{2} \approx 60 m^{2}$

Możemy policzyć więc koszt naszej dachówki:

$60 m^{2} \cdot 120 \frac{zł}{m^{2}} = 7200 zł$

Ćwiczenie 8

RzXPh98MZeWIN1

Zdjęcie przedstawia szklaną piramidę w Luwrze. — Źródło: pixabay.com, *Luwr*, dostępny w internecie: www.pixabay.com, licencja: CC 0 1.0.

Piramida Luwru to konstrukcja ze stali i szkła, znajdująca się na dziedzińcu Luwru w Paryżu. Ma $21, 65 m$ wysokości, a bok podstawy ma $35, 42 m$ . W piramidzie znajdują się $603$ tafle szklane o kształcie rombu i $70$ tafli trójkątnych, co daje łącznie $673$ elementy. Nachylenie ścian wynosi $51 °$ (wzorem proporcji była piramida Cheopsa, której nachylenie wynosi $51 ° 50^{'}$ ). Cała konstrukcja waży $180$ ton. Polski biznesmen postanowił stworzyć bryłę, której pole powierzchni będzie $64$ krotnie mniejsze od Piramidy Luwru, ale będzie stworzona z bursztynu (ściany grubości $20 cm$ ). Ile potrzebowałby materiału na realizację swojego pomysłu?

RZuZdtFjoqRTE

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest czworokąt A B C D. Bok tego czworokąta wynosi 35,42, górny wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. Spodek wysokości opuszczonej z tego wierzchołka podpisano literą O. Wysokość ma długość 21,65. W ścianie BCS zaznaczono jej wysokość, spodek tej wysokości leżący na krawędzi BC podpisano literą E, a wysokość podpisano literą h. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej BCS, a przyprostokątnymi wysokość ostrosłupa SO oraz odcinek OE o długości 17,71. Kąt OES ma miarę 51 stopni.

Niech $h$ – wysokość ściany bocznej. Mamy więc:

$\frac{21, 65}{h} = \sin 51 °$

$h \approx 27, 86 m$

$P_{b} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 35, 42 \cdot 27, 86 \approx 1973, 6 m^{2}$

$P_{p} \approx 1254, 6 m^{2}$

$P_{c} \approx 3228, 2 m^{2}$

$3228, 2 : 64 \approx 50, 44 m^{2}$

Grubość ścian z bursztynu ma wynosić $20 cm = 0, 2 m$ .

$50, 44 \cdot 0, 2 \approx 10, 09 m^{3}$

Zatem potrzeba około $10$ metrów sześciennych bursztynu na stworzenie bursztynowej piramidy.

Film edukacyjny

Dla nauczyciela

Treść do ćwiczeń 1‑3