Najpierw zauważmy, że dla mamy oraz . Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla .
Dalsze rozumowanie przeprowadzimy dla .
Zgodnie z definicją iloczynu wektora przez liczbę, wektor ma ten sam kierunek, co wektor . Jeśli , to zwroty wektorów i , są zgodne, jeśli zaś , to zwroty obu wektorów są przeciwne. Długość wektora jest równa .
Oczywiście wektor o współrzędnej leży na tej samej osi co wektor o współrzędnej , więc ma ten sam kierunek. Niech teraz ma początek w punkcie i koniec w punkcie .
Przyjmijmy ponadto, że i to odpowiednio początek i koniec wektora o współrzędnej . Wówczas oraz , co oznacza, że , zaś .
Jeśli , to liczby i są uporządkowane na osi tak samo jak liczby i , czyli wektory i mają zgodne zwroty, jeśli , to liczby i są uporządkowane odwrotnie niż liczby i , czyli wektory i mają przeciwne zwroty. Długość wektora jest równa .
Pokazaliśmy, że wektory i mają takie same: kierunek, zwrot i długość, zatem są równe. Co kończy dowód.