Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ri31um1d3PeuW1

Ćwiczenie 1

Przekrój prostopadłościanu może być (zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi):

trójkątem równobocznym
trójkątem rozwartokątnym
rombem
trapezem
ośmiokątem foremnym

RjPnD6HDOds1u1

Ćwiczenie 2

Przekrój prostopadłościanu płaszczyzną przechodzącą przez przekątną dolnej podstawy i dokładnie jeden z wierzchołków górnej podstawy może być (zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi):

trójkątem równobocznym
trójkątem równoramiennym
trójkątem prostokątnym
prostokątem
trapezem
równoległobokiem

R1YSbMXOxWJ2q2

Ćwiczenie 3

Obwód przekroju prostopadłościanu o wymiarach $3 \times 4 \times 6$ zawierającego przekątne dwóch najmniejszych ścian wynosi:

$22$
$12 + 6 \sqrt{2}$
$12 + 8 \sqrt{2}$
$10$

Ćwiczenie 4

Przekrój prostopadłościanu $A B C D E F G H$ płaszczyzną zawierającą krawędź $D H$ oraz środek krawędzi $B C$ jest

R19MF0GP8UT2S

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej.

RkE9XlDgSojKH

Ćwiczenie 5

Prostopadłościan $A B C D E F G H$ (rysunek poniżej) o wymiarach podstawy $3 \times 4$ i wysokości $8$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki $A$ i $G$ oraz środek krawędzi $B F$ .

RkmBMfN3mdyqa

Rpp9Zr0DEyQFv

$10 + 8 \sqrt{2}$ , trapezem, rombem, równoległobokiem, $16 \sqrt{2}$ , $20$ , $5 + 4 \sqrt{2} + \sqrt{89}$ , trójkątem

Otrzymany przekrój jest .....................................
Obwód otrzymanego przekroju wynosi .....................................

Ćwiczenie 6

Sześcian $A B C D E F G H$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środek $S$ krawędzi $A B$ , wierzchołek $D$ oraz środek krawędzi bocznej.

R7SP48P9ASuum

Opisz ﬁgurę, którą otrzymamy w wyniku tego przekroju, w zależności od wyboru krawędzi bocznej. Skorzystaj z pola znajdującego się poniżej, aby zapisać opisy.

RjLCvTuccXenN

Trzeci punkt jest środkiem krawędzi $A E$ . Otrzymany przekrój jest trójkątem.

Rj9l0DnG1b9WQ

Trzeci punkt jest środkiem krawędzi $E F$ . Otrzymany przekrój jest prostokątem.

R1O7sbmtpfcHQ

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Zaznaczono środek krawędzi A B w punkcie S oraz środek krawędzi E F w punkcie T. Połączono punkty S D H T i otrzymano prostokąt.

Trzeci punkt jest środkiem krawędzi $C G$ . Otrzymany przekrój jest trapezem.

R1d3dehjtwDKz

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Zaznaczono środek krawędzi A B w punkcie S, środek krawędzi G C w punkcie T, oraz punkt K na krawędzi bocznej F B. Zacieniowano trapez D S K T. Liniami przerywanymi zaznaczono przedłużenia ramion T K i D S oraz miejsce ich przecięcia w punkcie J. Punkt J leży na przedłużeniu boku B C prostopadłościanu.

Trzeci punkt jest środkiem krawędzi $B F$ . Otrzymany przekrój jest trapezem.

Rsl4IYCM5bdZg

Ćwiczenie 7

Przekrojem prostopadłościanu o wymiarach $3 \times 4 \times 5$ jest trójkąt, którego wierzchołkami są trzy spośród wierzchołków prostopadłościanu. Oblicz długości boków tego przekroju oraz cosinus jego największego kąta.

Możesz skorzystać z pola poniżej, aby zapisać rozwiązanie lub odpowiedź.

RYvvUc9UhNpP0

Z twierdzenia Pitagorasa w:

trójkącie $B C D$ wynika, że $|B D| = 5$ ,
trójkącie $B C G$ wynika, że $|B G| = \sqrt{34}$ ,
trójkącie $C D G$ wynika, że $|D G| = \sqrt{41}$ .

RmYmVBqJA6ZvW

Największy kąt w trójkącie leży naprzeciw najdłuższego boku, a więc nazwijmy $|∢ D B G| = α$ . Z tw. cosinusów w trójkącie $B D G$ wynika, że:

${|D G|}^{2} = {|B G|}^{2} + {|B D|}^{2} - 2 |B G| |B D| \cos α$

$41 = 25 + 34 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{34} \cdot \cos α$

$\cos α = \frac{18}{10 \sqrt{34}} = \frac{9 \sqrt{34}}{170}$ .

Ćwiczenie 8

Sześcian $A B C D E F G H$ o krawędzi długości $10$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną ściany $A H$ oraz punkt $K$ , który jest środkiem krawędzi $B C$ . Jaką figurą jest uzyskany przekrój? Oblicz obwód tego przekroju.

RUDuTqA4qysUc

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, którego krawędź ma długość dziesięć. Wewnątrz sześcianu zaznaczono płaszczyznę A K L H w kształcie pięciokąta. Punkt K stanowi środek krawędzi B C, natomiast punkt L stanowi środek krawędzi G C.

Możesz skorzystaj z pola poniżej aby zapisać rozwiązanie lub odpowiedź.

R1RJzWdoZAeGB

Ściany $A D H E$ i $B C G F$ są równoległe i przecięte tą samą płaszczyzną przekroju, a więc odcinki $A H$ i $K L$ są równoległe. Przekrój jest trapezem.

Ponadto, przekątne ścian $A H$ i $B G$ są odcinkami równoległymi. Skoro $A H ∥ B G$ oraz $A H ∥ K L$ , to $B G ∥ K L$ . Z podobieństwa trójkątów $K C L$ i $B C G$ wynika, że $L$ jest środkiem krawędzi $C G$ .

Trójkąty $A B K$ i $L G F$ są przystające (z cechy bok, kąt bok), zatem $|A K| = |H L|$ i trapez jest równoramienny.

Obliczamy obwód trapezu:

Przekątna ściany $A D H E$ ma długość $10 \sqrt{2}$

$|K C| = |C L| = 5$ , zatem $|K L| = 5 \sqrt{2}$

Z tw. Pitagorasa w trójkącie $A B K$ wynika, że $|A K| = 5 \sqrt{5}$ .

Odp. Przekrój jest trapezem równoramiennym o obwodzie równym $15 \sqrt{2} + 10 \sqrt{5}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela