1. Trzeci punkt jest środkiem krawędzi $AE$. Otrzymany przekrój jest trójkątem.

Rj9l0DnG1b9WQ

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej. Zaznaczono środek krawędzi A B w punkcie S oraz środek krawędzi A E w punkcie T. Zacieniowano trójkąt D S T.

2. Trzeci punkt jest środkiem krawędzi $EF$. Otrzymany przekrój jest prostokątem.

R1O7sbmtpfcHQ

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Zaznaczono środek krawędzi A B w punkcie S oraz środek krawędzi E F w punkcie T. Połączono punkty S D H T i otrzymano prostokąt.

3. Trzeci punkt jest środkiem krawędzi $CG$. Otrzymany przekrój jest trapezem.

R1d3dehjtwDKz

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Zaznaczono środek krawędzi A B w punkcie S, środek krawędzi G C w punkcie T, oraz punkt K na krawędzi bocznej F B. Zacieniowano trapez D S K T. Liniami przerywanymi zaznaczono przedłużenia ramion T K i D S oraz miejsce ich przecięcia w punkcie J. Punkt J leży na przedłużeniu boku B C prostopadłościanu.

4. Trzeci punkt jest środkiem krawędzi $BF$. Otrzymany przekrój jest trapezem.

Rsl4IYCM5bdZg

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Zaznaczono środek krawędzi A B w punkcie S oraz środek krawędzi F B w punkcie T. Zacieniowano trapez D S T G. Liniami przerywanymi zaznaczono przedłużenia ramion T G i D S oraz miejsce ich przecięcia w punkcie J. Punkt J leży na przedłużeniu boku B C prostopadłościanu.

Z twierdzenia Pitagorasa w:

• trójkącie $BCD$ wynika, że $\left|BD\right|=5$,

• trójkącie $BCG$ wynika, że $\left|BG\right|=\sqrt{34}$,

• trójkącie $CDG$ wynika, że $\left|DG\right|=\sqrt{41}$.

RmYmVBqJA6ZvW

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej. Długość prostopadłościanu wynosi 4, szerokość 3, natomiast wysokość jest równa pięć. Wewnątrz prostopadłościanu zacieniowano płaszczyznę D B G w kształcie trójkąta.

Największy kąt w trójkącie leży naprzeciw najdłuższego boku, a więc nazwijmy $\left|\sphericalangle DBG\right|=\alpha$. Z tw. cosinusów w trójkącie $BDG$ wynika, że:

${\left|DG\right|}^2={\left|BG\right|}^2+{\left|BD\right|}^2-2\left|BG\right|\left|BD\right|\cos \alpha$

$41=25+34-2·5·\sqrt{34}·\cos \alpha$

$\cos \alpha =\frac{18}{10\sqrt{34}}=\frac{9\sqrt{34}}{170}$.

Ściany $ADHE$ i $BCGF$ są równoległe i przecięte tą samą płaszczyzną przekroju, a więc odcinki $AH$ i $KL$ są równoległe. Przekrój jest trapezem.

Ponadto, przekątne ścian $AH$ i $BG$ są odcinkami równoległymi. Skoro $AH\parallel BG$ oraz $AH\parallel KL$, to $BG\parallel KL$. Z podobieństwa trójkątów $KCL$ i $BCG$ wynika, że $L$ jest środkiem krawędzi $CG$.

Trójkąty $ABK$ i $LGF$ są przystające (z cechy bok, kąt bok), zatem $\left|AK\right|=\left|HL\right|$ i trapez jest równoramienny.

Obliczamy obwód trapezu:

Przekątna ściany $ADHE$ ma długość $10\sqrt{2}$

$\left|KC\right|=\left|CL\right|=5$, zatem $\left|KL\right|=5\sqrt{2}$

Z tw. Pitagorasa w trójkącie $ABK$ wynika, że $\left|AK\right|=5\sqrt{5}$.

Odp. Przekrój jest trapezem równoramiennym o obwodzie równym $15\sqrt{2}+10\sqrt{5}$.