Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1NzrjfsbG1CP

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} + a x + 2$ należy punkt o współrzędnych $(- 1, 3)$ . Wówczas osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu:

$x = 0$
$x = 2$
$x = 1$

Ćwiczenie 2

R1FJgMv2xsDYE

Połącz w pary wzór funkcji kwadratowej $f$ z równaniem osi symetrii jej wykresu.

$f (x) = - 2 x^{2} + x + 1$
$f (x) = x^{2} - 3$
$f (x) = 4 x^{2} - x$
$f (x) = 3 x^{2} - 9 x$

Ćwiczenie 3

Ri0nj42EDh1oJ

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej jest prostą, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z tą parabolą.
Oś symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej jest prostą równoległą do osi odciętych układu współrzędnych.
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej zawsze przechodzi przez punkt, który jest początkiem układu współrzędnych.
Każda parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej ma oś symetrii.

Ćwiczenie 4

ROawfgHLSYWRC

Wstaw w tekst odpowiednie liczby spośród podanych. Jeżeli funkcja kwadratowa

f

określona jest wzorem

f (x) = m x^{2} - 2 x + 1

oraz osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu

x = 3

, to

m =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

3

, 4.

9

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{9}

.
Jeżeli funkcja kwadratowa

f

określona jest wzorem

f (x) = - 4 x^{2} + (m - 1) x + 2

oraz osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu

x = 1

, to

m =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

3

, 4.

9

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{9}

.
Jeżeli funkcja kwadratowa

f

określona jest wzorem

f (x) = - m x^{2} + m^{2} x

oraz osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu

x = 2

, to

m =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

3

, 4.

9

, 5.

4

, 6.

\frac{1}{9}

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$\frac{1}{4}$ , $9$ , $\frac{1}{9}$ , $3$ , $\frac{1}{3}$ , $4$

Jeżeli funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f (x) = m x^{2} - 2 x + 1$ oraz osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu $x = 3$ , to $m =$ .............
Jeżeli funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f (x) = - 4 x^{2} + (m - 1) x + 2$ oraz osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu $x = 1$ , to $m =$ .............
Jeżeli funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f (x) = - m x^{2} + m^{2} x$ oraz osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu $x = 2$ , to $m =$ .............

Ćwiczenie 5

R15k0a15mH5DM

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 3

jest prosta o równaniu

x =

Tu uzupełnij. Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} - x - 1

jest prosta o równaniu

x =

Tu uzupełnij. Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} - \sqrt{3} x + 3

jest prosta o równaniu

x =

Tu uzupełnij.

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 3$ jest prosta o równaniu $x =$ .............
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} - x - 1$ jest prosta o równaniu $x =$ .............
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2} - \sqrt{3} x + 3$ jest prosta o równaniu $x =$ .............

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

R1GednvSFw49k

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus jedynki do siedmiu oraz pionową oś Y od minus jedynki do pięciu. Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji y będący parabolą z ramionami skierowanymi w dół, przecinającą oś X w dwóch punktach. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu.

RyUdzzJjD5tuQ

Zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe.

Wartość współczynnika $a$ wynosi $(- \frac{1}{2})$ .
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ z rysunku jest prosta o równaniu $x = - 3$ .
Wartość współczynnika $b$ wynosi $(- 3)$ .
Do prostej, będącej osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ należy punkt o współrzędnych $(3, 1)$ .

Ćwiczenie 7

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ należą punkty o współrzędnych $(- 1, - 2)$ , $(2, 4)$ oraz $(3, 2)$ . Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu tej funkcji.

Jeżeli do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty o współrzędnych $(- 1, - 2)$ , $(2, 4)$ oraz $(3, 2)$ , to do wyznaczenia wartości współczynników $a$ , $b$ , $c$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} - 2 = a \cdot {(- 1)}^{2} + b \cdot (- 1) + c \\ 4 = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c \\ 2 = a \cdot 3^{2} + b \cdot 3 + c \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 2 = a - b + c \\ 4 = 4 a + 2 b + c \\ 2 = 9 a + 3 b + c \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 2 + b - c = a \\ 4 = 4 \cdot (- 2 + b - c) + 2 b + c \\ 2 = 9 \cdot (- 2 + b - c) + 3 b + c \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 2 + b - c = a \\ 12 = 6 b - 3 c \\ 20 = 12 b - 8 c \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 3 \\ c = 2 \end{cases}$

Zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu:

$x = \frac{- 3}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 3}{- 2} = \frac{3}{2}$

Ćwiczenie 8

Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = |- x^{2} - 8 x - 13|$ .

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ możemy zapisać w następującej postaci:

$f (x) = |- {(x + 4)}^{2} + 3|$

Wykres tej funkcji przedstawiono na poniższym rysunku.

R2ynKdIXkJsSy

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus siedmiu do jedynki oraz pionową oś Y od minus jedynki do pięciu. Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji y będący parabolą częściowo odbitą od osi X. Parabola ta ma ramiona skierowane w górę, natomiast jej wierzchołek znajdował się w punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy koniec nawiasu. Parabola ta posiadała dwa miejsca zerowe, natomiast po odbiciu, cała część wykresu znajdująca się pod osią X została symetrycznie przeniesiona nad oś X. Po tym zabiegu wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie nawias minus cztery średnik trzy koniec nawiasu.

Zatem osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = - 4$ .

Schemat interaktywny

Dla nauczyciela