Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RcCcoC7rLKlzD1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono ośmiokąt foremny o boku długości $a$ i kącie wewnętrznym $α$ .

RbXsHYXoMAqTZ

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny. Jego długości boków oznaczone zostały jako a, natomiast kąt utworzony pomiędzy dwoma ścianami jako kąt alfa.

R1PZBm2fkRYqv

RVLzBPl3EjSmx2

Ćwiczenie 3

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości a, ramieniu b i kącie między ramionami alfa.
Wstaw w tekst odpowiednie wyrażenia. Przeciągnij i upuść. Długość wysokości trójkąta opuszczonej na podstawę wynosi 1. początek ułamka, a b sinus nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a, razy, sinus alfa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, a b sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, alfa, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 6. początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, sinus alfa, mianownik, a, koniec ułamka.
Pole trójkąta można obliczyć ze wzoru 1. początek ułamka, a b sinus nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a, razy, sinus alfa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, a b sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, alfa, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 6. początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, sinus alfa, mianownik, a, koniec ułamka.
Cosinus kąta alfa wynosi 1. początek ułamka, a b sinus nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa a, razy, sinus alfa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, a b sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, początek ułamka, alfa, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 6. początek ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, sinus alfa, mianownik, a, koniec ułamka.

Ćwiczenie 4

W trapezie $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $O$ , takim że $|A O| : |O C| = 4 : 1$ . Pole trójkąta $A O D$ jest równe $16$ . Wykaż, że pole trapezu jest równe $100$ .

Dowód

Narysujmy trapez i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1BS2J5rBDIgs

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Wewnątrz figury poprowadzono dwie przekątne A C oraz B D. Obie przekątne przecinające się w punkcie O, utworzyły dwa trójkąty. Pierwszy O C D, gdzie odcinek O C ma długość x. Drugi trójkąt A B O, gdzie odcinek A O ma długość cztery x. Na ilustracji zaznaczono także wysokość figury przechodzącą przez punkt O. Punkt ten dzieli wysokość trapezu na dwa odcinki. Pierwszy znajduje się pod punktem O i ma długości cztery h. Odcinek ten jest jednocześnie wysokością trójkąta A B O. Drugi odcinek znajduje się nad punktem O i ma długość h. Odcinek ten także jest wysokością trójkąta O C D.

Ponieważ $\frac{|A O|}{|O C|} = \frac{4}{1}$ , zatem $|A O| = 4 x$ oraz $|O C| = x$ .

Zauważmy, że:

$P_{△ A C D} = P_{△ A O D} + P_{△ C D O} = 16 + P_{△ C D O}$

$P_{△ C D O} = \frac{1}{2} \cdot |C D| \cdot h$

$P_{△ A C D} = \frac{1}{2} \cdot |C D| \cdot (h + 4 h) = 5 \cdot \frac{1}{2} |C D| \cdot h = 5 \cdot P_{△ C D O}$

Zatem

$16 + P_{△ C D O} = 5 \cdot P_{△ C D O}$

Czyli $P_{△ C D O} = 4$ .

$P_{△ A C D} = 16 + 4 = 20$

$P_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot (h + 4 h) = \frac{5}{2} \cdot |A B| \cdot h = 5 \cdot \frac{1}{2} |A B| \cdot h =$

$= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot |C D| \cdot h = 20 \cdot P_{△ C D O} = 80$

Wobec tego:

$P_{A B C D} = P_{△ A C D} + P_{△ A B C} = 20 + 80 = 100$

Ćwiczenie 5

Wykaż, że jeśli $p$ jest najdłuższą przekątną sześciokąta foremnego, to pole tego sześciokąta jest równe $\frac{3 p^{2} \sqrt{3}}{8}$ .

Dowód

Narysujmy sześciokąt i foremny i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

Rmc6d1Vq4PPwY

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny. Długość jego boków została oznaczona jako a. Na rysunku zaznaczona została również przekątna oznaczona jako p oraz wysokość figury oznaczona jako x. Przekątna figury wraz z wysokością oraz podstawą ośmiokąta tworzą trójkąt prostokątny.

Jeżeli $a$ jest długością boku sześciokąta foremnego, to:

$x = 2 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy następującą zależność:

$a^{2} + x^{2} = p^{2}$

$a^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2} = p^{2}$

$a^{2} + 3 a^{2} = p^{2}$

$p^{2} = 4 a^{2}$

Wobec tego $p = 2 a$ , zatem $a = \frac{p}{2}$ .

Pole sześciokąta foremnego jest równe:

$P = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{{(\frac{p}{2})}^{2} \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{\frac{p^{2}}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 p^{2} \sqrt{3}}{8}$

Ćwiczenie 6

Dany jest trójkąt $A B C$ , w którym $|A B| = 2 \sqrt{3}$ , $|A C| = 2 \sqrt{2} - \sqrt{6}$ oraz suma miar kątów leżących przy boku $B C$ wynosi $75 °$ . Wykaż, że pole tego trójkąta jest równe $\sqrt{3} - \frac{9 \sqrt{2}}{4}$ .

Dowód

Ponieważ suma kątów przy jednym boku trójkąta wynosi $75 °$ , to trójkąt jest rozwartokątny. Narysujmy trójkąt $A B C$ i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku. Skorzystaj z faktu, że $\sin 105 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

R4euLE4h5xVrv

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Wewnątrz trójkąta zaznaczone zostały trzy kąty, kąt alfa umiejscowiony przy wierzchołku B, kąt beta umiejscowiony przy wierzchołku C oraz kąt gamma umiejscowiony przy wierzchołku A.

Ponieważ $α + β = 75 °$ , to:

$γ = 180 ° - (α + β) = 105 °$

Pole trójkąta $A B C$ jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot |A C| \cdot \sin 105 ° = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot (2 \sqrt{2} - \sqrt{6}) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} =$

$= \frac{(2 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{12 + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6}{4} = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

Ćwiczenie 7

Wykaż, że pole ośmiokąta foremnego o obwodzie równym $L$ wyraża się wzorem:

$P = \frac{(1 + \sqrt{2}) \cdot L^{2}}{32}$ .

Dowód

Narysujmy ośmiokąt foremny i podzielmy go na $8$ przystających trójkątów.

R9siZUI7C9Csj

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny. Jego długość boków została oznaczona jako a. Na rysunku zaznaczono także wszystkie cztery przekątne figury, tworząc tym samym osiem trójkątów równoramiennych o długości ramion x. Wewnątrz trójkątów zaznaczony został kąt alfa umiejscowiony pomiędzy dwoma ramionami trójkąta równoramiennego.

Zauważmy, że $α = \frac{360 °}{8} = 45 °$ .

Korzystając z twierdzenia cosinusów mamy:

$a^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos 45 °$

$a^{2} = 2 x^{2} - x^{2} \sqrt{2}$

$x^{2} = \frac{a^{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{(2 + \sqrt{2}) a^{2}}{2}$

$L = 8 a$ , zatem $a = \frac{L}{8}$

Wobec tego:

$P = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \sin 45 ° = 4 x^{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 x^{2} \sqrt{2} = 2 \cdot \frac{(2 + \sqrt{2}) a^{2}}{2} \cdot \sqrt{2} =$

$= (2 \sqrt{2} + 2) \cdot \frac{L^{2}}{64} = \frac{(1 + \sqrt{2}) L^{2}}{32}$

R1heXXnDLzsMQ3

Ćwiczenie 8

Animacja

Dla nauczyciela