Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą dowodów geometrycznych związanych z polami wielokątów, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RxIPRWxelIQOh

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DwStRxRmd

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego dowodów geometrycznych.

Polecenie 2

Wykaż, że jeśli boki deltoidu mają długości $a$ i $b$ , a kąty miedzy bokami o tej samej długości wynoszą odpowiednio $α$ i $β$ , to pole tego deltoidu wynosi $\frac{a^{2} \sin α + b^{2} \sin β}{2}$ lub $a b \sin (\frac{α + β}{2})$ .

„Dowód”:

Narysujmy deltoid i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

Rmi5tKH4Ez3A8

Ilustracja przedstawia deltoid A B C D. Jego dłuższe ściany boczne A D oraz B D oznaczone zostały jako a, natomiast krótsze ściany boczne C D oraz C B oznaczone zostały jako b. Na ilustracji zaznaczono także dwie przekątne deltoidu, dłuższa A C oraz krótsza B D. Obie przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie O. Wewnątrz figury zaznaczono również dwa kąty, kąt alfa umiejscowiony przy wierzchołku A oraz kąt beta umiejscowiony przy wierzchołku C.

Zauważmy, że pole $P$ deltoidu $A B C D$ z rysunku możemy zapisać jako sumę pól dwóch trójkątów $A B D$ i $B C D$ .

Wobec tego:

$P_{A B C D} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin α + \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \sin β = \frac{a^{2} \sin α + b^{2} \sin β}{2}$

Z drugiej strony pole deltoidu jest sumą pól dwóch trójkątów $A C D$ i $A B C$ .

Wobec tego:

$P_{A B C D} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin (\frac{360 ° - (α + β)}{2}) = a b \sin (180 ° - \frac{α + β}{2}) =$

$= a b \sin (\frac{α + β}{2})$

Przeczytaj

Sprawdź się