Dany jest trójkąt prostokątny. Wykażemy, że suma pól trójkątów równobocznych o bokach będących przyprostokątnymi trójkąta jest równa polu trójkąta równobocznego o boku równym przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Dowód

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RhdCEdvPcPthe

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c. Każda ze ścian bocznych tego trójkąta prostokątnego jest równocześnie jednym z boków trzech trójkątów równobocznych. Pierwszym trójkątem równobocznym jest trójkąt ze ścianami o długości b przyklejony do krótszej przyprostokątnej. Drugi trójkąt posiada ściany boczne o długości a i jest przyklejony do dłuższej przyprostokątnej, natomiast ostatni trzeci trójkąt ma długość ścian bocznych c i jest przyklejony do przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.

Mamy pokazać, że $P_{\text{I}}+P_{\text{II}}=P_{\text{III}}$.

Zatem:

$P_{\text{I}}+P_{\text{II}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\sqrt{3}}{4}$

Ponieważ trójkąt jest prostokątny zatem $a^2+b^2=c^2$.

Wobec tego $P_{\text{I}}+P_{\text{II}}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\sqrt{3}}{4}=\frac{c^2\sqrt{3}}{4}=P_{\text{III}}$.

Wykażemy, że jeśli boki trójkąta mają długości $a$, $b$, $c$, a kąty odpowiednio $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, to pole trójkąta możemy obliczyć za pomocą wzoru $P=\frac{c^2}{2}·\frac{\sin \alpha ·\sin \beta }{\sin \left(\alpha +\beta \right)}$ dla $\alpha \ne \beta \ne 90°$.

Rozwiązanie:

Dowód

Narysujmy dowolny trójkąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

RVC92EZGuoZgO

Ilustracja przedstawia trójkąt o długości boków a, b oraz c. Na rysunku zaznaczono także trzy kąty, alfa, beta oraz gamma. Kąt alfa znajduje się pomiędzy ścianami b i c, kąt beta pomiędzy ścianami a i c, natomiast kąt gamma pomiędzy ścianami a i b.

Do rozwiązania zadania wykorzystamy wzór na pole trójkąta postaci:

$P=\frac{1}{2}·a·c·\sin \beta$

Z twierdzenia sinusów wiadomo, że

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin {\displaystyle \gamma }}$

Wobec tego $a=\frac{c·\sin \alpha }{\sin {\displaystyle \gamma }}$.

Zatem:

$P=\frac{1}{2}·c·c·\frac{\sin {\displaystyle \alpha }{\displaystyle ·}{\displaystyle \sin }{\displaystyle \beta }}{\sin {\displaystyle \gamma }}$

Zauważmy, że $\sin \gamma =\sin \left(180°-\left(\alpha +\beta \right)\right)=\sin \left(\alpha +\beta \right)$.

Zatem wzór na pole trójkąta zapisujemy w postaci:

$P=\frac{c^2}{2}·\frac{\sin \alpha ·\sin \beta }{\sin \left(\alpha +\beta \right)}$

Wykażemy, że jeśli $R$ jest promieniem okręgu opisanego, a $r$ promieniem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku $R$, to pole tego trójkąta opisuje się wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^2$ lub $P=\frac{27\sqrt{3}}{4}{r}^2$.

Rozwiązanie:

Dowód

Narysujmy trójkąt równoboczny oraz okrąg w niego wpisany i okrąg na nim opisany oraz wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.

RU0tdASfCfUQV

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny o długości boków a, wpisany w okrąg o promieniu równym R. Wewnątrz trójkąta równobocznego wpisano okrąg o promieniu równym r. Z dolnego prawego wierzchołka trójkąta upuszczono przekątną padającą na przeciwległą ścianę boczną pod kątem prostym. Wysokość przechodzi przez środek wpisanego okręgu.

Niech $a$ będzie długością boku trójkąta równobocznego.

Długość $R$ promienia okręgu opisanego w zależności od wysokości trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

$R=\frac{2}{3}h$ oraz $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Zatem $R=\frac{2}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Wobec tego $a=\frac{3R}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}R$.

Długość $r$ promienia okręgu wpisanego w zależności od wysokości trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

$r=\frac{1}{3}h$ oraz $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Zatem $r=\frac{1}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Wobec tego $a=\frac{6r}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}r$.

Jeżeli wykorzystamy wzór na pole trójkąta równobocznego o boku $a$ postaci $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, to:

• dla $a=\sqrt{3}R$ mamy $P=\frac{{\left(\sqrt{3}R\right)}^2·\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^2$,

• dla $a=2\sqrt{3}r$ mamy $P=\frac{{\left(2\sqrt{3}r\right)}^2·\sqrt{3}}{4}=\frac{12\sqrt{3}}{4}{r}^2=3\sqrt{3}{r}^2$.

Wykażemy, że przekątne w dowolnym równoległoboku dzielą go na cztery trójkąty o równych polach.

Rozwiązanie:

Dowód

Załóżmy, że przekątne równoległoboku o długościach $p$ i $q$ przecinają się pod kątem $\alpha$.

Narysujmy dowolny równoległobok i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RDQ0PqyizM669

Ilustracja przedstawia równoległobok A B C D, oraz jego dwie przekątne, dłuższa przekątna A C oraz krótsza przekątna B D. Przekątne przecinają się w punkcie O i tworzą cztery kąty. Kąt C O D oraz A O B oznaczone zostały jako alfa, natomiast kąty A O D oraz B O C jako sto osiemdziesiąt stopni minus alfa.

Korzystając z przyjętych oznaczeń mamy:

$P_{△ABO}=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}p·\frac{1}{2}q·\sin \alpha =\frac{1}{8}pq\sin \alpha$

$P_{△CDO}=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}p·\frac{1}{2}q·\sin \alpha =\frac{1}{8}pq\sin \alpha$

$P_{△AOD}=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}p·\frac{1}{2}q·\sin \left(180°-\alpha \right)=\frac{1}{8}pq\sin \alpha$

$P_{△BCO}=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}p·\frac{1}{2}q·\sin \left(180°-\alpha \right)=\frac{1}{8}pq\sin \alpha$

Zatem trójkąty powstałe z przecięcia równoległoboku jego przekątnymi mają równe pola.

Dany jest trapez $ABCD$, w którym $AB\parallel CD$ oraz podstawy mają długości $a$ i $b$, a wysokość ma długość $h$. Wykażemy, że jeśli $O$ jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu, to trójkąty $AOD$ i $BOC$ mają równe pola powierzchni.

Rozwiązanie:

Narysujmy trapez i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

Rz7j9YEkTT4YV

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Jego dłuższa podstawa została oznaczona jako a, natomiast krótsza podstawa została oznaczona jako b. Z wierzchołka D upuszczona została wysokość oznaczona jako h. Na ilustracji zaznaczono także dwie przekątne trapezu, przekątną A C oraz przekątną B D. Obie przekątne przecinają się w punkcie O.

Zauważmy, że

$P_{△ABD}=P_{△AOD}+P_{△ABO}$

$P_{△ABC}=P_{△BOC}+P_{△ABO}$

Trójkąty $ABD$ i $ABC$ mają równe pola powierzchni, ponieważ mają wspólną podstawę $a$ i wysokość $h$.

Wobec tego:

$P_{△AOD}+P_{△ABO}=P_{△BOC}+P_{△ABO}$

Czyli $P_{△AOD}=P_{△BOC}$.

część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą, wraz z tą łamaną

zdanie, które opisuje fakt, zależność lub równość, które możemy udowodnić

rozumowanie, mające na celu uzasadnić prawdziwość twierdzenia, prowadzące od założeń do tezy, wykorzystując przy tym inne fakty