Krzywa zamknięta „łatwa” do obliczenia $K_{B}$, to prostokąt o bokach równoległych i odpowiednio prostopadłych do linii pola magnetycznego.

Spójrz na rysunek z wybraną „wygodną” krzywą.

R14oTPUuJ40rd

Na ilustracji widoczne są wektory indukcji magnetycznej wielka litera B ze strzałką oznaczającą wektor. Narysowano je w postaci niebieskich, równoległych, poziomych strzałek skierowanych w prawo. Strzałki są ułożone jedna pod drugą i są równej długości. Na tle strzałek narysowano prostokąt zieloną linią, który zwiera jako górną i dolną krawędź części strzałek. Na prostokącie zaznaczono kierunek grotami strzałek. Kierunek zaznaczony na prostokącie jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Definicja krążenia indukcji magnetycznej jest następująca:

gdy $\Delta l_{i}\rightarrow0$.

Ponieważ wartość $B$ jest w każdym punkcie prostokąta stała (pole jest jednorodne), to możemy sumowanie znacznie uprościć. Na przykład, jeśli zaczniemy od wierzchołka lewego górnego, to mamy na górnym odcinku o długości $a$ cały czas ten sam kąt $\theta$ = 0° i tę samą wartość $B$. Wobec tego fragment krążenia dla pierwszego odcinka prostokąta:

$K_{B2}$ = 0 podobnie jak $K_{B4}$. A to dlatego, że kąt $\theta$ = 90°, cos 90° = 0. Pozostaje jeszcze $K_{B3}=-Ba$ (tutaj kąt $\theta$ = 180°, a cos 180° = -1).

Całe krążenie wynosi: $K_{B}=Ba+0+(-Ba)+0=0$.

Mamy tu do czynienia z polem centralnym. Linie pola wychodzą promieniście od ładunku. Wobec tego wektory natężenia pola $E$ wszędzie są prostopadłe do krzywej (okręgu). Nie dają składowych stycznych do krzywej.

Czy przez kontur zaznaczony na rysunku „c” przechodzi prostopadle jakiś prąd?

R1c0zKyu9VShk

Rysunek c. Na ilustracji widoczne są dwa magnesy jeden pod drugim narysowane w postaci pionowych prostokątów podzielonych na pół. Jedna połowa oznaczona jako biegun magnetyczny wielka litera S jest zielona a druga oznaczona jako biegun magnetyczny wielka litera N jest czerwona. Bieguny magnetyczne wielka litera S są u góry magnesów na bieguny wielka litera N u dołu. Pomiędzy zbliżonymi biegunami magnesów, różnoimiennymi wytworzone jest pole magnetyczne narysowane czarnymi liniami. Pomiędzy magnesami linie są proste. Zaznaczono na nich kierunek grotami strzałek w dół od bieguna wielka litera N do bieguna wielka litera. Linia pola magnetycznego najbardziej po prawej stroni stanowi lewy bok pionowego, zielonego prostokąta.

Spójrz na rysunek „c”. Krążenie obliczone wzdłuż zielonego konturu jest niezerowe (wzdłuż lewego boku mamy indukcję, po prawej stronie pole magnetyczne nie istnieje). Przeczy to prawu Ampere’a, bo przecież przez powierzchnię zielonego konturu nie przechodzi żaden prąd.

R1AaCG32rp4Or

Rysunek c. (po lewej) Na ilustracji widoczne są dwa magnesy jeden pod drugim narysowane w postaci pionowych prostokątów podzielonych na pół. Jedna połowa oznaczona jako biegun magnetyczny wielka litera S jest zielona a druga oznaczona jako biegun magnetyczny wielka litera N jest czerwona. Bieguny magnetyczne wielka litera S są u góry magnesów na bieguny wielka litera N u dołu. Pomiędzy zbliżonymi biegunami magnesów, różnoimiennymi wytworzone jest pole magnetyczne narysowane czarnymi liniami. Pomiędzy magnesami linie są proste. Zaznaczono na nich kierunek grotami strzałek w dół od bieguna wielka litera N do bieguna wielka litera. Linia pola magnetycznego najbardziej po prawej stroni stanowi lewy bok pionowego, zielonego prostokąta.
Rysunek d. (po prawej) Na rysunku widoczne są dwa magnesy jeden pod drugim narysowane w postaci pionowych prostokątów podzielonych na pół. Jedna połowa oznaczona jako biegun magnetyczny wielka litera S jest zielona a druga oznaczona jako biegun magnetyczny wielka litera N jest czerwona. Bieguny magnetyczne wielka litera S są u góry magnesów na bieguny wielka litera N u dołu. Pomiędzy zbliżonymi biegunami magnesów, różnoimiennymi wytworzone jest pole magnetyczne narysowane czarnymi liniami. Pomiędzy magnesami linie są proste a po bokach wygięte do zewnątrz. Zaznaczono na nich kierunek grotami strzałek w dół od bieguna wielka litera N do bieguna wielka litera S. po prawej stornie zaznaczono zielony kontur zamknięty obejmujący prostą linię pola magnetycznego i pierwszą zakrzywioną linię pola magnetycznego po prawej.

Spójrzmy teraz na rysunek „d”. Tutaj też przez zielony kontur nie przechodzi żaden prąd, ale też krążenie ma szansę równać się zeru. Tak jest, gdy iloczyn długości krzywej z prawej strony i wartości indukcji „na tej krzywej” równa jest takiemu samemu iloczynowi po lewej stronie. Wtedy te przyczynki do krążenia zniosą się (jeden jest dodatni, drugi ujemny). Tak jest, ponieważ pole poza szczeliną między magnesami jest słabsze, za to długość krzywej w tym miejscu większa.

Wektory natężenia pole elektrycznego $\overrightarrow{E}$ są skierowane tak, jak skierowany byłby prąd wyidukowany w przewodniku o kształcie naszego okręgu.

Krążenie indukcji magnetycznej wokół zielonej krzywej powinno być, zgodnie z tezą postawioną w zadaniu, równe zeru. Zastosuj zależność wartości indukcji magnetycznej od odległości $r$ od przewodnika: $B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}$.

Przyczynki do krążenia obliczane na odcinkach łączących łuki wynoszą zero, ponieważ wektory indukcji są ustawione prostopadle do każdego z wektorów $\overrightarrow{\Delta l}$. Z kolei na łukach wykorzystamy fakt, że kąty $\theta$ są stałe i dla łuku górnego, nazwijmy go drugim, wynoszą 0°, a dla łuku dolnego, gdzie „idziemy” przeciwnie do wektorów indukcji, $\theta$ = 180°. Wtedy całkowite krążenie $K_{B}=B_{2}\cdot\tau_{2}-B_{1}\cdot\tau_{1}$, gdzie $\tau$ oznacza długość odpowiednich łuków. Długość łuku opartego na kącie $\alpha$ wyrażonym w radianach łatwo obliczymy wykorzystując definicję radiana. Wynika z niej, że $\tau=\alpha\cdot r$. Wykorzystamy teraz zależność podaną we wskazówce i zapiszemy, że ostatecznie: