Wielki Zderzacz Hadronów (LHC) jest gigantycznym laboratorium badawczym cząstek elementarnych, znajdującym się niedaleko Genewy (Szwajcaria), zbudowanym i wykorzystywanym przez Europejską Organizację Badań Jądrowych (CERN). Zadaniem LHC jest rozpędzanie pojedynczych protonów lub cięższych jąder atomowych do olbrzymich prędkości i zderzanie ich ze sobą. W wyniku takich zderzeń odtwarzane są warunki, które panowały w bardzo wczesnych chwilach istnienia Wszechświata, bezpośrednio po Wielkim Wybuchu. Na tej podstawie naukowcy mogą badać zachodzące wtedy procesy, które w efekcie doprowadziły do stanu Wszechświata, który znamy.
R1S5fokdXFmwl
O czym świadczy fakt, że energia kinetyczna lecącego komara jest zaledwie 280 razy większa od energii rozpędzonego protonu? Zauważmy najpierw, że stosunek masy komara i masy protonu jest znacznie większy niż 280:
Masy te różnią się o ponad 21 rzędów wielkości! Zgodnie więc z wyrażeniem uzyskany stosunek energii kinetycznych mógłby świadczyć o stosunku prędkości protonu do prędkości komara. Spróbujmy to wykorzystać do oszacowania prędkości protonu przyspieszonego w LHC:
Problem w tym, że żaden materialny obiekt nie może poruszać się z taką prędkością – jest ona niemal czterokrotnie większa od prędkości światła . A według oficjalnych informacji o protonach przyspieszanych w LHC, osiągają one około 99.9999991% tej prędkości.
Czy to znaczy, że w treści zadania albo w rozwiązaniu jest jakiś błąd? A może pracujący w LHC naukowcy nie potrafią przeprowadzić takiego obliczenia? Na szczęście - ani jedno, ani drugie.
Rozbieżność wynika z faktu, że zastosowany do obliczenia energii kinetycznej wzór jest przybliżony. Dokładne wyrażenie musi uwzględniać założenia i wyniki teorii względności. Czyżby więc wzór , o którym właśnie się uczysz, był nieprzydatny? Nic podobnego. Doskonale przybliża on wyniki dla prędkości „codziennych”, rzędu metrów na sekundę, a nawet kilometrów na sekundę. Przy prędkości orbitalnego ruchu Ziemi wokół Słońca, czyli , oba wzory dają wyniki jednakowe z dokładnością do ośmiu cyfr znaczących. Im szybciej jednak porusza się obiekt, na przykład proton w akceleratorze, tym bardziej uzasadnione staje się użycie wzoru relatywistycznego (choć jest on nieco bardziej skomplikowany):
Przy prędkości rzędu te dwa wyrażenia dają wyniki różniące się niemal o 1%. Przy takich prędkościach i jeszcze bliższych znany nam wzór opisujący energię kinetyczną nie znajduje sensownego zastosowania.
2
Ćwiczenie 5
RoF2CqCYiL1RP
Energia kinetyczna przekazana drugiej kulce przez pierwszą wynosi
Energia kinetyczna przekazana trzeciej kulce przez drugą
możemy więc możemy wnioskować, że energia przekazana piątej kulce przez czwartą będzie wynosiła
Zatem
wobec tego, skoro masa piątek kulki to , mamy
1
Ćwiczenie 6
RKos50IeYAvGJ
Do rozwiązania zadania wykorzystaj zasadę zachowania energii mechanicznej. Energia kinetyczna paczki jest różnicą pracy wykonanej przez siłę oraz pracy siły tarcia.
2
Ćwiczenie 7
RXR1vwDJaV5T7
Rz2q6XD1cVfzd
Do rozwiązania zadania wykorzystaj zasadę zachowania energii mechanicznej. Podczas ruchu krążka pod wpływem zewnętrznej siły, praca tej siły zostaje częściowo wykorzystana na wzrost energii kinetycznej krążka, a częściowo – rozproszona z powodu działania sił tarcia. W drugim etapie (bez działania siły) – energia kinetyczna krążka maleje na skutek pracy sił tarcia.
Na krążek działa przez cały czas siła tarcia
W pierwszej fazie ruchu przyspieszenie krążka wynika z działania wypadkowej siły o wartości . Jego wartość wynosi wobec tego
Krążek uzyska zatem po czasie prędkość
i pokona drogę
W drugiej fazie ruchu na krążek działa tylko siła tarcia , zatem przyspieszenie (a właściwie opóźnienie) krążka ma wartość
Ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym znajdziemy czas tej fazy ruchu:
gdzie . Stąd
Droga, jaką przebędzie krążek w tej fazie ruchu jest równa
Podstawiając wartości liczowe, dostajemy oraz . Ostatecznie
.
31
Ćwiczenie 8
Kierowca prowadzi samochód z prędkością . W chwili pojawia się na drodze przeszkoda. Kierowca rozpoczyna awaryjne hamowanie dopiero po czasie , w którym samochód przebywa drogę . Samochód, hamowany siłą tarcia statycznego opon o jezdnię o maksymalnej dostępnej w tych warunkach wartości, zatrzymuje się tuż przed przeszkodą po przebyciu drogi równej . W hipotetycznej sytuacji, różniącej się od opisanej jedynie tym, że kierowca rozpocząłby hamowanie po czasie po pojawieniu się przeszkody, jego samochód niechybnie uderzyłby w nią, z końcową prędkością .
Oblicz współczynnik tarcia statycznego opon o jezdnię .
Oblicz, w sytuacji hipotetycznej, końcową prędkość , z jaką kierowca uderzy w przeszkodę, jeśli czas jego reakcji jest o pół sekundy dłuższy niż w opisanej wyżej sytuacji realnej.
Drogę , przed rozpoczęciem hamowania, samochód przebywa ruchem jednostajnym. Do wyrażenia drogi wykorzystaj Przykład 2 z części Przeczytaj.
Droga jest dłuższa niż , więc droga musi być o tyle samo krótsza od .
1. Drogę wyrażamy jako
Z kolei drogę możemy wyrazić, zgodnie z komentarzem 3. w drugim przykładzie w części „Przeczytaj”, jako:
Z treści zadania wynika, że drogi te są jednakowe, co pozwala wyznaczyć współczynnik tarcia
Po uwzględnieniu, że , uzyskujemy
2. Wyznaczmy drogę przebytą od chwili zauważenia przeszkody do rozpoczęcia hamowania. Ruch jest jednostajny, prędkość wynosi , wobec tego
zatem, skoro , wnioskujemy, że do chwili rozpoczęcia hamowania samochód przejedzie drogę
Ale przeszkoda została zauważona w tej samej chwili, a więc z tej samej odległości, co poprzednio. Stąd związek
co po uwzględnieniu związku między i daje
skąd
Mamy więc ruch opóźniony z tą samą prędkością początkową, tym samym przyspieszeniem, ale odbywa się on na dwukrotnie krótszej drodze. Wyznaczmy prędkość końcową w tym ruchu. W pierwszym przypadku nie wyznaczyliśmy przyspieszenia. Wiemy, że droga, prędkość początkowa i przyspieszenie związane są równaniem
Ale , wobec tego
Są to wielkości znane. A skoro wiemy, że w drugim przypadku droga hamowania jest dwukrotnie krótsza od tej w przypadku 1., możemy napisać