Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dane są funkcje określone przy pomocy tabelek:

$f : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$4$	$2$	$3$	$1$
$f (x)$	$3$	$1$	$4$	$2$

$g : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$3$	$4$	$1$	$2$
$g (x)$	$1$	$3$	$2$	$4$

$h : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$3$	$4$	$1$	$2$
$h (x)$	$2$	$1$	$4$	$3$

R1ZzyLgIDAW19

R1chyH7WZubwy

Ćwiczenie 2

Dane są funkcje określone przy pomocy tabelki:

$f_{1} : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$3$	$4$	$1$	$2$
$f_{1} (x)$	$1$	$2$	$4$	$3$

$f_{2} : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$3$	$4$	$1$	$2$
$f_{2} (x)$	$4$	$3$	$2$	$1$

$f_{3} : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$3$	$4$	$1$	$2$
$f_{3} (x)$	$2$	$1$	$4$	$3$

$f_{4} : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$2$	$4$	$3$	$1$
$f_{4} (x)$	$1$	$4$	$2$	$3$

oraz

$g_{1} : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$4$	$2$	$3$	$1$
$g_{1} (x)$	$4$	$3$	$1$	$2$

$g_{2} : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$3$	$4$	$1$	$2$
$g_{2} (x)$	$4$	$3$	$2$	$1$

$g_{3} : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$2$	$4$	$1$	$3$
$g_{3} (x)$	$4$	$1$	$3$	$2$

$g_{4} : \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g_{4} (x)$	$4$	$3$	$2$	$1$

R1WICk6gTTXtj

Połącz parami tabelki funkcji

f_{i}

i \in \{1, 2, 3, 4\}

z tabelkami funkcji

g_{j}

j \in \{1, 2, 3, 4\}

tak, aby zachodziło

f_{i} \circ g_{j} = i d

, pamiętając, że złożenie nie jest przemienne i czytamy je od prawej strony do lewej.

f_{1} \circ

Możliwe odpowiedzi: 1.

g_{1}

, 2.

g_{3}

, 3.

g_{4}

, 4.

g_{2}

f_{2} \circ

Możliwe odpowiedzi: 1.

g_{1}

, 2.

g_{3}

, 3.

g_{4}

, 4.

g_{2}

f_{3} \circ

Możliwe odpowiedzi: 1.

g_{1}

, 2.

g_{3}

, 3.

g_{4}

, 4.

g_{2}

f_{4} \circ

Możliwe odpowiedzi: 1.

g_{1}

, 2.

g_{3}

, 3.

g_{4}

, 4.

g_{2}

Połącz parami tabelki funkcji $f_{i}$ , $i \in "{"1, 2, 3, 4"}"$ z tabelkami funkcji $g_{j}$ , $j \in "{"1, 2, 3, 4"}"$ tak, aby zachodziło $f_{i} \circ g_{j} = i d$ , pamiętając, że złożenie nie jest przemienne i czytamy je od prawej strony do lewej.

$f_{1} \circ$
$f_{2} \circ$
$f_{3} \circ$
$f_{4} \circ$

R1DRQ3hXxZf4Y2

Ćwiczenie 3

Dana jest funkcja złożona określona wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (3 x + 1)$ .
Wskaż wszystkie prawidłowe odpowiedzi:

Funkcja jest rosnąca.
Funkcja jest malejąca.
Funkcja jest nierosnąca.
Funkcja jest różnowartościowa.

Ćwiczenie 4

Wykaż, że funkcja $f (x) = \frac{1}{\sqrt{6 - 2 x}}$ jest funkcją różnowartościową.

Aby pokazać, że funkcja $f$ jest różnowartościowa, możemy skorzystać z definicji różnowartościowości albo na przykład z następującego twierdzenia:

Każda funkcja rosnąca (malejąca) jest różnowartościowa

Twierdzenie: Każda funkcja rosnąca (malejąca) jest różnowartościowa

Dowód

Niech $f : X \to Y$ będzie funkcją rosnącą.

Niech $x_{1}$ , $x_{2} \in X$ , $x_{1} \neq x_{2}$ .

Możemy założyć, że $x_{1} < x_{2}$ .

Ponieważ $f$ jest rosnąca:

$\forall_{x_{1}, x_{2} \in X} [x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})]$ , to $f (x_{1}) < f (x_{2})$ , a stąd wynika, że $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ .

Pokazaliśmy, że funkcja $f$ jest różnowartościowa. Analogicznie dla funkcji malejącej.

Zauważmy, że funkcja $f (x) = \frac{1}{\sqrt{6 - 2 x}}$ jest złożeniem funkcji malejącej $f_{1} (x) = 6 - 2 x$ z funkcją rosnącą $f_{2} (x) = \sqrt{x}$ oraz funkcji malejącej $f_{3} (x) = \frac{1}{x}$ .

Złożenie $f_{2} \circ f_{1}$ funkcji malejącej z funkcją rosnącą jest funkcją malejącą.

Złożenie $f_{3} \circ (f_{2} \circ f_{1})$ funkcji malejącej z funkcją malejącą jest funkcją rosnącą.

Korzystając z poprzedniego twierdzenia $f$ jest funkcją różnowartościową.

Ćwiczenie 5

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = \log_{2} \sqrt{4 - 3 x}$ . Określić monotoniczność funkcji $f$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D = (- \infty, 1 \frac{1}{3})$ .

Aby zbadać monotoniczność funkcji, możemy skorzystać z definicji albo z twierdzeń dotyczących funkcji złożonych.

Zauważmy, że funkcja $f$ jest złożeniem trzech funkcji $f_{1} (x) = 4 - 3 x$ , $f_{2} (x) = \sqrt{x}$ , $f_{3} (x) = \log_{2} x$ .

Funkcja $f_{1}$ jest funkcją malejącą. Druga i trzecia funkcja są funkcjami rosnącymi. Korzystając z Przykładu 9 złożenie $f_{2} \circ f_{1}$ jako złożenie funkcji malejącej z funkcją rosnącą jest funkcją malejącą.

Podobnie złożenie $f_{3} \circ (f_{2} \circ f_{1})$ jest funkcją malejącą, gdyż $f_{2} \circ f_{1}$ jest funkcją malejącą a $f_{3}$ jest funkcją rosnącą.

Ćwiczenie 6

Pokaż, że złożenie dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą.

Niech dane będą dwie dowolne funkcje nieparzyste $f : X \to Y$ i $g : Z \to W$ oraz $Y \subset Z$ .

Weźmy dowolne $x$ , $- x \in X$ .

Wówczas $(g \circ f) (- x) = g (f (- x)) = g (- f (x)) = - (g \circ f) (x)$ .

Stąd wynika, że złożenie $g \circ f : X \to W$ jest funkcją nieparzystą.

Ćwiczenie 7

Pokaż, że złożenie funkcji nieparzystej (parzystej) z funkcją parzystą (nieparzystą) jest funkcją parzystą.

Niech dane będą dwie funkcje: nieparzysta $f : X \to Y$ i parzysta $g : Z \to W$ oraz $Y \subset Z$ .

Weźmy dowolne $x$ , $- x \in X$ .

Wówczas $(g \circ f) (- x) = g (f (- x)) = g (- f (x)) = (g \circ f) (x)$

Stąd wynika, że złożenie $g \circ f : X \to W$ jest funkcją parzystą. Analogicznie w sytuacji złożenia funkcji parzystej z funkcją nieparzystą.

Ćwiczenie 8

Zbadaj, czy funkcja $f (x) = |2 x^{5} + 3 x^{3} - x|$ jest funkcją parzystą czy nieparzystą.

Wykażemy, że funkcja $f_{1} (x) = 2 x^{5} + 3 x^{3} - x + 5$ jest nieparzysta.

Dziedziną wielomianu jest zbiór liczb rzeczywistych.

Weźmy dowolne $x \in ℝ$ .

Wówczas $- x \in ℝ$ oraz

$f_{1} (- x) = 2 (- x)^{5} + 3 (- x)^{3} - (- x) = - 2 x^{5} - 3 x^{3} + x =$

$= - (2 x^{5} + 3 x^{3} - x) = - f_{1} (x)$ .

Funkcja $f_{2}$ jest natomiast parzysta, ponieważ: dla każdego $x \in ℝ$ , który jest dziedziną funkcji $f_{2}$ zachodzi $- x \in ℝ$ i $f_{2} (- x) = |- x| = |x| = f_{2} (x)$ .

Zatem korzystając z Ćwiczenia $7$ złożenie $f_{2} \circ f_{1}$ jest funkcją parzystą.

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela