Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1Uydi8WV2Kdt1

Ćwiczenie 1

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = x - 4$ o dziedzinie $"⟨"- 6, 10"⟩"$ . Wówczas:

Wartość najmniejsza tej funkcji wynosi $(- 10)$ .
Wartość największa tej funkcji wynosi $(- 6)$ .
Różnica wartości największej i wartości najmniejszej funkcji wynosi $(- 16)$ .

R1TpoqRrOq2D01

Ćwiczenie 2

Zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe.

Każda funkcja stała jest zarówno funkcją niemalejącą, jak i nierosnącą.
Funkcje monotoniczne to tylko funkcje rosnące i malejące.
Każda funkcja niemalejąca jest funkcją rosnącą.
Każda funkcja malejąca jest funkcją nierosnącą.

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

RLMwKTb0kgb77

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o następującym kształcie: z punktu początek nawiasu, minus 2, minus 4, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony zamalowaną kropką, biegnie ukośna linia prosta do punktu początek nawiasu, 1, 2, zamknięcie nawiasu, po drodze przebiega ona przez środek układu współrzędnych. W punkcie początek nawiasu, 1, 2, zamknięcie nawiasu wykres biegnie poziomą linią prostą do punktu początek nawiasu, 3, 2, zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres biegnie ukośną linią prostą do punktu początek nawiasu, 5, 0, zamknięcie nawiasu który został zaznaczony zamalowaną kropką. Wykres jest podpisany literą f.

RXkOhkr0RBm2z

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Jeżeli wykres funkcji

f

przesuniemy wzdłuż osi

X

3

jednostki w lewo, to funkcja będzie rosnąca w przedziale

⟨

5

, 2.

4

, 3.

0

, 4.

2

, 5.

- 2

, 6.

3

, 7.

- 1

, 8.

5

, 9.

- 5

, 10.

- 3

,

5

, 2.

4

, 3.

0

, 4.

2

, 5.

- 2

, 6.

3

, 7.

- 1

, 8.

5

, 9.

- 5

, 10.

- 3

⟩

.
Jeżeli wykres funkcji

f

przesuniemy wzdłuż osi

X

2

jednostki w prawo, to funkcja będzie stała w przedziale

⟨

5

, 2.

4

, 3.

0

, 4.

2

, 5.

- 2

, 6.

3

, 7.

- 1

, 8.

5

, 9.

- 5

, 10.

- 3

,

5

, 2.

4

, 3.

0

, 4.

2

, 5.

- 2

, 6.

3

, 7.

- 1

, 8.

5

, 9.

- 5

, 10.

- 3

⟩

.
Jeżeli wykres funkcji

f

odbijemy symetrycznie względem osi

Y

, to funkcja będzie malejąca w przedziale

⟨

5

, 2.

4

, 3.

0

, 4.

2

, 5.

- 2

, 6.

3

, 7.

- 1

, 8.

5

, 9.

- 5

, 10.

- 3

,

5

, 2.

4

, 3.

0

, 4.

2

, 5.

- 2

, 6.

3

, 7.

- 1

, 8.

5

, 9.

- 5

, 10.

- 3

⟩

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$- 3$ , $5$ , $2$ , $3$ , $- 5$ , $- 1$ , $0$ , $5$ , $4$ , $- 2$

Jeżeli wykres funkcji $f$ przesuniemy wzdłuż osi $X$ o $3$ jednostki w lewo, to funkcja będzie rosnąca w przedziale $⟨$ ............ $,$ ............ $⟩$ .
Jeżeli wykres funkcji $f$ przesuniemy wzdłuż osi $X$ o $2$ jednostki w prawo, to funkcja będzie stała w przedziale $⟨$ ............ $,$ ............ $⟩$ .
Jeżeli wykres funkcji $f$ odbijemy symetrycznie względem osi $Y$ , to funkcja będzie malejąca w przedziale $⟨$ ............ $,$ ............ $⟩$ .

RAGg6KBXwnGH12

Ćwiczenie 4

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = 3 x - 1$ . Połącz w pary podzbiór dziedziny tej funkcji z sumą wartości najmniejszej i największej tej funkcji na danym podzbiorze.

$"⟨"- 3, 2"⟩"$
$"⟨"0, 5"⟩"$
$"⟨"1, 3"⟩"$
$"⟨"- 4, - 1"⟩"$

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji.

RpC0G8iQRH6g7

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do ośmiu i pionową osią y od minus jeden do dziewięć. Na płaszczyźnie znajduje się wykres składający się z dwóch części, pierwsza część przypomina kształtem parabolę o ramionach skierowanych do góry, lewe ramię paraboli zaczyna się od punktu początek nawiasu, minus 3, 9, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony zamalowaną kropką. Następnie ramię biegnie wierzchołka o współrzędnych początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu. Z wierzchołka prawe ramię biegnie do punktu początek nawiasu, 2, 4, zamknięcie nawiasu, punkt ten jest zaznaczony zamalowaną kropką. Druga część wykresu zaczyna się w punkcie początek nawiasu, 2, 6, zamknięcie nawiasu, punkt ten jest zaznaczony niezamalowaną kropką. Z tego punktu wykres biegnie ukośną linią prostą do punktu początek nawiasu, 8, 9, zamknięcie nawiasu który został zaznaczony zamalowaną kropką. Wykres jest podpisany literą f.

RNYEVMWmgGNPB

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy. Własności, które pasują do wykresu funkcji: Możliwe odpowiedzi: 1.

f (- 2) > f (2)

, 2. funkcja jest malejąca w przedziale

⟨- 3, 0⟩

, 3. istnieje przedział, na którym funkcja jest stała, 4. funkcja jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, 5. funkcja jest przedziałami monotoniczna, 6.

f (- 2) < f (5)

Własności, które nie pasują do wykresu funkcji: Możliwe odpowiedzi: 1.

f (- 2) > f (2)

, 2. funkcja jest malejąca w przedziale

⟨- 3, 0⟩

, 3. istnieje przedział, na którym funkcja jest stała, 4. funkcja jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, 5. funkcja jest przedziałami monotoniczna, 6.

f (- 2) < f (5)

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

<math><mi>f</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>></mo><mi>f</mi><mfenced><mn>2</mn></mfenced></math>, funkcja jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, funkcja jest malejąca w przedziale <math><mfenced open="⟨" close="⟩"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>, istnieje przedział, na którym funkcja jest stała, <math><mi>f</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo><</mo><mi>f</mi><mfenced><mn>5</mn></mfenced></math>, funkcja jest przedziałami monotoniczna

Własności, które pasują do wykresu funkcji:
Własności, które nie pasują do wykresu funkcji:

Ćwiczenie 6

Wykaż, że funkcja określona wzorem $f (x) = \frac{a}{x + 2}$ dla $a < 0$ jest rosnąca dla $x > - 2$ .

Jeśli $- 2 < x_{1} < x_{2}$ , to:

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = \frac{a}{x_{2} + 2} - \frac{a}{x_{1} + 2} = \frac{a (x_{1} + 2) - a (x_{2} + 2)}{(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)} =$

$= \frac{a x_{1} - a x_{2}}{(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)} = \frac{- a (x_{2} - x_{1})}{(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)} > 0$

ponieważ $x_{2} > x_{1}$ i $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) > 0$ .

Stąd, wobec dowolności $x_{1}$ i $x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja $f$ jest rosnąca.

R1atlnOCbwSzt3

Ćwiczenie 7

Zaznacz poprawną odpowiedź. Jeżeli maksymalnymi przedziałami, w których funkcja $f$ jest rosnąca oraz malejąca, są odpowiednio przedziały $(- \infty, 2)$ oraz $(2, \infty)$ , to:

dziedziną tej funkcji jest suma przedziałów $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$
zbiorem wartości jest zbiór liczb $ℝ$
$f (- 1) > f (3)$

Ćwiczenie 8

Naszkicuj wykres funkcji, spełniający jednocześnie następujące warunki:

zbiorem wartości funkcji jest przedział $(- 3, 3⟩$ ,

funkcja jest rosnąca w przedziale $(- 4, 1)$ ,

funkcja jest malejąca w przedziale $(- 6, - 4)$ ,

rozwiązaniem równania $f (x) = 3$ są liczby należące do przedziału $(1, 4)$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela