Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R8PbednS1Xrnm1

Ćwiczenie 1

RIbQBGZNEbq1y1

Ćwiczenie 2

RaqkQbVjB2qc32

Ćwiczenie 3

R6NrfLZVRzTFT2

Ćwiczenie 4

RyJS382Qj0gAg2

Ćwiczenie 5

RqekdyKMo952721

Ćwiczenie 6

Poukładaj w odpowiedniej kolejności dowód następującego twierdzenia:
Jeżeli A, jest podzbiorem, OMEGA, B, jest podzbiorem, OMEGA i P nawias, A, zamknięcie nawiasu, równa się, P nawias, B prim, zamknięcie nawiasu to P nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero przecinek pięć.
Dowód: Elementy do uszeregowania: 1. P nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, plus, P nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 2. Gdyby P nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero przecinek pięć, to P nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero przecinek pięć, a wtedy, 3. P nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, minus, P nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, 4. P nawias, B, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, minus, P nawias, B prim, zamknięcie nawiasu, 5. Wyznaczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B., 6. P nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, równa się, P nawias, A, zamknięcie nawiasu, plus, P nawias, B, zamknięcie nawiasu, minus, P nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, równa się, P nawias, A, zamknięcie nawiasu, plus, jeden, minus, P nawias, B prim, zamknięcie nawiasu, minus, P nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, 7. Zatem P nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, większy równy, zero przecinek pięć., 8. Ponieważ P nawias, A, zamknięcie nawiasu, równa się, P nawias, B prim, zamknięcie nawiasu zatem, 9. Ponieważ A iloczyn zbiorów B, jest podzbiorem, A suma zbiorów B, to P nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, P nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu., 10. Wstawiamy wyznaczone prawdopodobieństwo do wzoru na prawdopodobieństwo sumy., 11. P nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, plus, P nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, nie równa się, jeden, co przeczy uzyskanemu wcześniej wynikowi.

Ćwiczenie 7

Wykaż, że jeżeli suma zdarzeń $A$ i $B$ jest zdarzeniem pewnym i zdarzenia $A$ , $B$ są niezależne, to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym.

Jeśli suma zdarzeń $A$ , $B$ jest zdarzeniem pewnym, to $A \cup B = Ω$ .

Zdarzenia są niezależne, zatem $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Zatem:

$P (A \cup B) = P (Ω) = 1$

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 1$

$P (A) + P (B) - P (A) \cdot P (B) = 1$

Zapiszemy otrzymaną równość w postaci iloczynowej.

$- P (A) (P (B) - 1) + (P (B) - 1) = 0$

$(P (B) - 1) (1 - P (A)) = 0$

Wyznaczamy $P (A)$ i $P (B)$ .

$P (B) - 1 = 0 \Rightarrow P (B) = 1$

lub

$1 - P (A) = 0 \Rightarrow P (A) = 1$

Ćwiczenie 8

Niech $A$ i $B$ będą zdarzeniami tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych takimi, że $P (A \cup B) = 0, 8$ i $P (A^{'}) = 0, 4$ i $P (B^{'}) = 0, 3$ . Oblicz $P (A \cap B)$ .

$P (A) = 1 - 0, 4 = 0, 6$

$P (B) = 1 - 0, 3 = 0, 7$

$P (A \cap B) = 0, 6 + 0, 7 - 0, 8 = 0, 5$

Animacja

Dla nauczyciela