Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R8PbednS1Xrnm1

Ćwiczenie 1

W maratonie bierze udział $8$ zawodników. Prawdopodobieństwo, że zwycięży Antoni jest równe $0, 25$ . Prawdopodobieństwo, że zwycięży Bolesław jest równe $\frac{1}{3}$ . Jakie jest prawdopodobieństwo, że zwycięży Antoni lub Bolesław?

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{12}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{7}{12}$

RIbQBGZNEbq1y1

Ćwiczenie 2

Z talii $52$ kart losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana karta to król lub kier?

$\frac{17}{52}$
$\frac{4}{13}$
$\frac{1}{13}$
$\frac{1}{52}$

RaqkQbVjB2qc32

Ćwiczenie 3

Uzupełnij, wpisując odpowiednie liczby.

Jeśli $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ i $P (A) + P (B) = 0$ to $P (A \cup B) =$ .............
Jeśli $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ i $P (A) = 1$ i $P (B) = 1$ to $P (A \cap B) =$ .............
Jeśli $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ i $P (A) + P (B) >$ ............ to $A \cap B \neq \emptyset$ .

R6NrfLZVRzTFT2

Ćwiczenie 4

Niech $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

$P (A \cup B) \leq P (A) + P (B)$
$P (A' \cup B') = 2 - P (A \cup B)$
$A$ , $B$ – zdarzenia rozłączne
$P (A \cup B) = P (A ∖ B) + P (A \cap B) + P (B ∖ A)$
$P (A \cup B) \geq P (A) + P (B) + P (A \cap B)$

RyJS382Qj0gAg2

Ćwiczenie 5

Uzupełnij równości, przeciągając odpowiednie prawdopodobieństwa.

$P (A \cap B)$ , $P (A)$ , $P (A)$ , $P (B)$ , $P (B)$

$P (A) + P (A' \cap B) = P (A \cap B') +$
$P (A' \cap B') = 1 -$ $- P (B) +$

RqekdyKMo952721

Ćwiczenie 6

Poukładaj w odpowiedniej kolejności dowód następującego twierdzenia:
Jeżeli

A \subset Ω

B \subset Ω

P (A) = P (B^{'})

P (A \cup B) \geq 0, 5

.
Dowód: Elementy do uszeregowania: 1.

P (A \cup B) + P (A \cap B) = 1

, 2. Gdyby

P (A \cup B) < 0, 5

, to

P (A \cap B) < 0, 5

, a wtedy, 3.

P (A \cup B) = 1 - P (A \cap B)

, 4.

P (B) = 1 - P (B^{'})

, 5. Wyznaczamy prawdopodobieństwo zdarzenia

B

., 6.

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = P (A) + 1 - P (B^{'}) - P (A \cap B)

, 7. Zatem

P (A \cup B) \geq 0, 5

., 8. Ponieważ

P (A) = P (B^{'})

zatem, 9. Ponieważ

A \cap B \subset A \cup B

, to

P (A \cap B) \leq P (A \cup B)

., 10. Wstawiamy wyznaczone prawdopodobieństwo do wzoru na prawdopodobieństwo sumy., 11.

P (A \cup B) + P (A \cap B) \neq 1

, co przeczy uzyskanemu wcześniej wynikowi.

Poukładaj w odpowiedniej kolejności dowód następującego twierdzenia:
Jeżeli $A \subset Ω$ , $B \subset Ω$ i $P (A) = P (B')$ to $P (A \cup B) \geq 0, 5$ .
Dowód:

Wstawiamy wyznaczone prawdopodobieństwo do wzoru na prawdopodobieństwo sumy.
Zatem $P (A \cup B) \geq 0, 5$ .
Ponieważ $P (A) = P (B')$ zatem
$P (B) = 1 - P (B')$
$P (A \cup B) + P (A \cap B) = 1$
Gdyby $P (A \cup B) < 0, 5$ , to $P (A \cap B) < 0, 5$ , a wtedy
Ponieważ $A \cap B \subset A \cup B$ , to $P (A \cap B) \leq P (A \cup B)$ .
$P (A \cup B) = 1 - P (A \cap B)$
Wyznaczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $B$ .
$P (A \cup B) + P (A \cap B) \neq 1$ , co przeczy uzyskanemu wcześniej wynikowi.
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = P (A) + 1 - P (B') - P (A \cap B)$

Ćwiczenie 7

Wykaż, że jeżeli suma zdarzeń $A$ i $B$ jest zdarzeniem pewnym i zdarzenia $A$ , $B$ są niezależne, to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym.

Jeśli suma zdarzeń $A$ , $B$ jest zdarzeniem pewnym, to $A \cup B = Ω$ .

Zdarzenia są niezależne, zatem $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Zatem:

$P (A \cup B) = P (Ω) = 1$

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 1$

$P (A) + P (B) - P (A) \cdot P (B) = 1$

Zapiszemy otrzymaną równość w postaci iloczynowej.

$- P (A) (P (B) - 1) + (P (B) - 1) = 0$

$(P (B) - 1) (1 - P (A)) = 0$

Wyznaczamy $P (A)$ i $P (B)$ .

$P (B) - 1 = 0 \Rightarrow P (B) = 1$

lub

$1 - P (A) = 0 \Rightarrow P (A) = 1$

Ćwiczenie 8

Niech $A$ i $B$ będą zdarzeniami tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych takimi, że $P (A \cup B) = 0, 8$ i $P (A^{'}) = 0, 4$ i $P (B^{'}) = 0, 3$ . Oblicz $P (A \cap B)$ .

$P (A) = 1 - 0, 4 = 0, 6$

$P (B) = 1 - 0, 3 = 0, 7$

$P (A \cap B) = 0, 6 + 0, 7 - 0, 8 = 0, 5$

Animacja

Dla nauczyciela