Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RDwjkqNdDxuQn1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Potrojony kwadrat pewnej liczby dodatniej $x$ jest dwa razy większy od tej liczby. Liczba $x$ jest równa:

$\frac{3}{2}$
$1$
$0$
$\frac{2}{3}$

RxhWs96LdUE6J1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Liczby dodatnie $x$ , $y$ spełniają równanie $x + y = 10$ . Suma kwadratów tych liczb jest najmniejsza, gdy:

$x = 1$ , $y = 9$
$x = 2$ , $y = 8$
$x = 5$ , $y = 5$
$x = 7$ , $y = 3$

RfNKdALRz3fPW2

Ćwiczenie 3

Łączenie par. Suma kwadratów liczb

x

y

jest równa

25

. Jeśli liczbę

x

zwiększymy o

1

, a liczbę y zmniejszymy o

2

to suma kwadratów tych liczb będzie równa

20

.
Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Na podstawie treści zadania wnioskujemy, że

x = 2 y + 5

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Równanie prowadzące do rozwiązania zadania, można zapisać w postaci

y^{2} + {(2 y - 5)}^{2} = 25

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Równanie spełniają dwie pary liczb.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Szukane liczby to

x = 5

y = 0

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Suma kwadratów liczb $x$ , $y$ jest równa $25$ . Jeśli liczbę $x$ zwiększymy o $1$ , a liczbę $y$ zmniejszymy o $2$ to suma kwadratów tych liczb będzie równa $20$ .
Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

	Prawda	Fałsz
Na podstawie treści zadania wnioskujemy, że $x = 2 y + 5$ .	□	□
Równanie prowadzące do rozwiązania zadania, można zapisać w postaci $y^{2} + {(2 y - 5)}^{2} = 25$ .	□	□
Równanie spełniają dwie pary liczb.	□	□
Szukane liczby to $x = 5$ , $y = 0$ .	□	□

R1O3FIMFy4KgB2

Ćwiczenie 4

Rozwiąż zadanie i wpisz w kolejności rosnącej szukane liczby.
Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe o następujących własnościach: w każdej z tych liczb cyfra jedności jest o $3$ większa od cyfry dziesiątek. Jeśli do szukanej liczby dodamy liczbę o przestawionych cyfrach, to otrzymamy liczbę dwucyfrową, której cyfra jedności jest równa cyfrze dziesiątek.

Szukane liczby to: ............, ............ lub .............

RgBcJy5TOHtUi2

Ćwiczenie 5

Jeśli do licznika szukanego ułamka dodamy $1$ , to otrzymany licznik będzie równy mianownikowi.
Jeśli do mianownika szukanego ułamka dodamy $3$ , to mianownik będzie dwa razy większy od licznika.
Znajdź ten ułamek i uzupełnij zdanie, wpisując odpowiednią liczbę.

Mianownik szukanego ułamka jest równy .............

RHjI5Vo3RZx5r21

Ćwiczenie 6

Dostępne opcje do wyboru: . Polecenie: . Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia (w tym liczby).
Znajdź liczby naturalne

x

y

spełniające równanie

x^{3} + x^{2} - 16 = 2^{y}

.

Zauważmy, że dla x<3 wartość wyrażenia x^3+x^2-16 jest ujemna, zatem nie spełnia warunków zadania, bo dla y∈N liczba 2^y jest dodatnia.
Będziemy więc szukać rozwiązań równania dla x≥3.
Liczba 2^y w dzieleniu przez 7 daje reszty 1,2 lub 4.
Liczba, będąca wartością wyrażenia x^3+x^2-16 w dzieleniu przez 7 daje reszty 1,3,5 lub 6.
Równanie będzie miało więc rozwiązanie tylko wtedy, gdy liczba 2^y w dzieleniu przez 7 da resztę 1.
Jest to możliwe tylko wtedy, gdy liczba 2^y jest sześcianem liczby naturalnej.
Dla x=3 otrzymujemy:
x^3+x^2-16=2^y
3^3+3^2-16=2^y
20=2^y – liczba y, będąca rozwiązaniem równania nie jest liczba naturalną, więc nie spełnia warunków zadania

Dla x=4 otrzymujemy:
x^3+x^2-16=2^y
4^3+4^2-16=2^y
64=2^y
y=6
Liczba 6 jest liczbą naturalną i 2^6=(2^2 )^3, zatem spełnia warunki zadania.
Dla x>4 zachodzi nierówność
x^3<x^3+x^2-16<(x+1)^3
Wartość wyrażenia x^3+x^2-16 nie może być w tym przypadku sześcianem liczby naturalnej.
Równanie ma więc tylko jedno rozwiązanie.
Odpowiedź: rozwiązanie równania to x=4,y=6.

Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia (w tym liczby).
Znajdź liczby naturalne $x$ , $y$ spełniające równanie $x^{3} + x^{2} - 16 = 2^{y}$ .

$x^{3} + x^{2} - 16$ , $x + 1$ , $4$ , $y$ , 3, $64 = 2^{y}$ , $3$ , $2^{y}$ , $4$ , $6$ , $1$

Zauważmy, że dla $x <$ wartość wyrażenia $x^{3} + x^{2} - 16$ jest ujemna, zatem nie spełnia warunków zadania, bo dla $y \in ℕ$ liczba jest dodatnia.
Będziemy więc szukać rozwiązań równania dla $x \geq 3$ .
Liczba $2^{y}$ w dzieleniu przez $7$ daje reszty $1$ , $2$ lub .
Liczba, będąca wartością wyrażenia w dzieleniu przez $7$ daje reszty $1$ , , $5$ lub $6$ .
Równanie będzie miało więc rozwiązanie tylko wtedy, gdy liczba $2^{y}$ w dzieleniu przez $7$ da resztę .
Jest to możliwe tylko wtedy, gdy liczba $2^{y}$ jest sześcianem liczby naturalnej.
Dla $x = 3$ otrzymujemy:
$x^{3} + x^{2} - 16 = 2^{y}$
$3^{3} + 3^{2} - 16 = 2^{y}$
$20 = 2^{y}$ – liczba , będąca rozwiązaniem równania nie jest liczbą naturalną, więc nie spełnia warunków zadania
Dla $x = 4$ otrzymujemy:
$x^{3} + x^{2} - 16 = 2^{y}$
$4^{3} + 4^{2} - 16 = 2^{y}$

$y =$
Liczba $6$ jest liczbą naturalną i $2^{6} = {(2^{2})}^{3}$ , zatem spełnia warunki zadania.
Dla $x >$ zachodzi nierówność
$x^{3} < x^{3} + x^{2} - 16 < ($ $)^{3}$
Wartość wyrażenia $x^{3} + x^{2} - 16$ nie może być w tym przypadku sześcianem liczby naturalnej.
Równanie ma więc tylko jedno rozwiązanie.
Odpowiedź:
Rozwiązanie równania to $x = 4$ , $y = 6$ .

Ćwiczenie 7

Liczby $x$ , $y$ , $z$ są liczbami naturalnymi większymi od $1$ takimi, że liczby $x$ , $y$ są względnie pierwsze oraz spełniają równanie $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ .

Wykaż, że nie istnieje liczba naturalna $n > 0$ taka, że liczba $K = {(\frac{z}{x} + \frac{z}{y})}^{n}$ jest liczbą całkowitą.

Zauważmy, że liczba $K$ jest całkowita, gdy liczba $A = \frac{z}{x} + \frac{z}{y}$ jest całkowita.

Skorzystamy z dowodu nie wprost. Załóżmy więc, że liczba $A = \frac{z}{x} + \frac{z}{y}$ jest całkowita.

$A = \frac{z}{x} + \frac{z}{y} = \frac{z y + z x}{x y}$

Istnieje wtedy liczba całkowita $a$ taka, że

$a x y = z (x + y)$

Ponieważ liczby $x$ , $y$ są względnie pierwsze (i $x > 1$ , $y > 1$ ), więc również liczby $x$ i $x + y$ są względnie pierwsze.

Z zapisanej równości wynika, że $x$ jest dzielnikiem liczby $z (x + y)$ , zatem jest dzielnikiem liczby $z$ .

Czyli $x^{2}$ jest dzielnikiem liczby $z^{2} - x^{2} = y^{2}$ .

Wynika stąd, że $x$ jest dzielnikiem liczby $y$ , a to jest sprzeczne, bo zakładaliśmy, że liczby $x$ , $y$ są względnie pierwsze.

Ćwiczenie 8

Znajdź cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z tych liczb jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych z tych liczb.

$x - 1$ , $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ – szukane liczby, gdzie $x$ – liczba całkowita

Zapisujemy równanie wynikające z treści zadania.

${(x - 1)}^{2} + x^{2} + {(x + 1)}^{2} = x + 2$

Podnosimy do kwadratu zapisane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = x + 2$

$3 x^{2} - x = 0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$3 x^{2} - x = 0$

$x (3 x - 1) = 0$

$x = 0$ lub $x = \frac{1}{3}$

Liczba $x$ musi być liczbą całkowitą, zatem szukane liczby to: $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ .

Animacja

Dla nauczyciela