Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz czworokąty, które spełniają podaną własność. Kilka odpowiedzi może być prawdziwych.

R1f3b7y2AAgEm

R1VECv8Md9g1P

RF7GwENinlif9

RjEA3DeszAXgT

R1JNWJkeAPnmp1

Ćwiczenie 2

Rzx39L7ZeqgBl1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

R1LLM4Mvjl1z4

R1S2wbEaHbzxV

R1436M0Ff1pEo

Ćwiczenie 5

Wyznacz wysokość rombu o boku długości $6$ i kącie ostrym $60 °$ .

Na rysunku przedstawiony jest romb spełniający warunki zadania. Przekątna $A C$ dzieli ten romb na dwa równoramienne trójkąty przystające. Trójkąt równoramienny ma kąt miary $60 °$ , więc jest trójkątem równobocznym i jego wysokość jest jednocześnie wysokością rombu. Stąd wysokość rombu jest równa $\frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ .

R152Hr56KIqf4

Ilustracja przedstawia romb ABCD. Kąt przy wierzchołku B ma miarę 60 stopni, wysokość upuszczona na bok CD to odcinek AE.

Ćwiczenie 6

W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę $60 °$ , a podstawy mają długości $6$ i $9$ . Wyznacz pole tego trapezu.

Na rysunku przedstawiony jest trapez spełniający warunki zadania.

RuXFmN0XtzHyR

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach długości 9 i sześć. Kąt przy wierzchołku A wynosi 60 stopni. Wysokość upuszczona na dłuższą podstawę to odcinek DE.

Wtedy $|A E| = 9 - 6 = 3$ . Trójkąt $A D E$ jest trójkątem prostokątnym o kątach $90 °$ , $60 °$ , $30 °$ . Stąd $|D E| = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ .

Zatem pole trapezu jest równe $\frac{(9 + 6) \cdot 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{45 \sqrt{3}}{2}$ .

Ćwiczenie 7

Przekątna kwadratu o boku $1$ oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz obwód rombu.

Ponieważ przekątne rombu dzielą się w połowie, to „połowa drugiej przekątnej kwadratu” jest odcinkiem $G H$ , gdzie $E$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, a $G$ i $H$ środkami odcinków $A E$ i $C E$ , odpowiednio.

R9ahJh48H2xCl

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD o boku jeden. Na przekątnej AC umieszczono Punkty G i H będące wierzchołkami rombu BHDG o środku E.

Musimy policzyć długość boku rombu $a = |B H|$ , wtedy jego obwód będzie równy $4 a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa $a^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} = \frac{5}{8}$ . Stąd $a = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Obwód rombu jest równy $4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \sqrt{10}$ .

Ćwiczenie 8

Na rysunkach przecięto literę $M$ żółtymi odcinkami. Określ, jakie czworokąty powstały i, korzystając z kratek, uzasadnij odpowiedź.

RPkZvFfiCTjF7

Ilustracja przedstawia dwa rysunki litery M na polu w kratkę. Zaznaczono wierzchołki obu liter. Rysunek pierwszy: lewa kreska litery M jest prostokątem A B F E, gdzie bok A B znajduje się na górze i ma długość dwóch kratek, bok E F znajduje się na dolne, bok A E znajduje się z lewej strony i ma długość 6, bok B E znajduje się z prawej strony. Prawa kreska litery M to prostokąt o takich samych wymiarach o wierzchołkach J L M N, gdzie J L to górny bok, L M to prawy bok, M N to dolny bok, J N to lewy bok. Litery na obu rysunkach mają ten sam kształt, przy czym różnią się środkową częścią między prostokątami. Mają one ten sam kształt, jednak na litery naniesiono żółte odcinki, wydzielające różne czworokąty w literach M. Rysunek pierwszy: Środkowa część litery składa się z dwóch połączonych wspólnym ramieniem trapezów równoramiennych położonych ukośnie układających się w kształt V. Trapez lewy ma wierzchołki A D C B, gdzie AB jest poziomym odcinkiem, a C D jest pionowym odcinkiem, krótsza podstawa górna to ukośny bok B C, dolna podstawa to odcinek A D. Środek tego boku znajduje się w wierzchołku I. Drugi trapez to trapez D L J C, gdzie punkt K jest środkiem dolnej podstawy D L. Rysunek drugi: Tu środkowa część litery M ma wydzielone dwa równoległoboki przy tych samych wierzchołkach: I D C B oraz D K J C.

Na Rysunku 1 mamy dwa przystające trapezy prostokątne $A E F I$ oraz $L M N K$ . Kąty proste oraz równoległość odpowiednich boków wynikają z faktu, że odcinki są poprowadzone po kratkach. Odcinki $A I$ i $K L$ są równe i są poprowadzone do podstaw $I E$ i $L M$ pod kątem $45 °$ , gdyż są przekątnymi kwadratów zbudowanych z $4$ kratek.

Czworokąty $A B C D$ i $D C J L$ są przystającymi trapezami równoramiennymi, gdyż ramiona mają długość boku dwóch kratek a podstawy są przekątnymi kwadratów złożonych z $4$ lub $16$ kratek.

Na Rysunku 2 mamy dwa przystające prostokąty $A B F E$ i $J L M N$ oraz dwa przystające równoległoboki $B C D I$ i $J C D K$ . Uzasadnienie jak wyżej.

Infografika

Dla nauczyciela