Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz czworokąty, które spełniają podaną własność. Kilka odpowiedzi może być prawdziwych.

R1f3b7y2AAgEm

1. Czworokąt, który ma parę boków równoległych:

kwadrat
romb
deltoid
czworokąt wklęsły

R1VECv8Md9g1P

2. Czworokąt, którego przekątne przecinają się w połowie:

trapez
deltoid
równoległobok
prostokąt

RF7GwENinlif9

3. Czworokąt, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym:

równoległobok
romb
deltoid
kwadrat

RjEA3DeszAXgT

4. Czworokąt, który ma dwie pary boków równych:

równoległobok
romb
deltoid
kwadrat

R1JNWJkeAPnmp1

Ćwiczenie 2

Oceń prawdziwość zdań. Zaznacz Prawda lub Fałsz.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Kwadrat jest równoległobokiem.	□	□
Romb jest trapezem.	□	□
Trapez jest prostokątem.	□	□
Deltoid jest rombem.	□	□
Prostokąt jest trapezem równoramiennym.	□	□

Rzx39L7ZeqgBl1

Ćwiczenie 3

Rozwiąż test. Wybierz odpowiedź 1 lub odpowiedź 2.

Dokończ zdanie:	odpowiedź 1	odpowiedź 2
Jeżeli w czworokącie przekątne przecinają się to jest on...	wklęsły □	wypukły □
Jeżeli dodatkowo wiemy, że mają one równe długości to możemy wywnioskować...	tylko wypukłość □	że jest on deltoidem □
Jeżeli jeszcze dodatkowo punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich w tej samej proporcji, to wnioskujemy, że jest on...	trapezem równoramiennym □	rombem □

Ćwiczenie 4

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

R1LLM4Mvjl1z4

1. Wybierz cechę wspólną prostokątów i rombów.

Są dwie pary boków równoległych
Przekątne przecinają się pod kątem prostym
Dwa kąty wewnętrzne są proste
Dwa sąsiednie boki są równe

R1S2wbEaHbzxV

2. Wybierz cechę wspólną trapezów równoramiennych i deltoidów.

Ma dwa boki równe
Punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich w tej samej proporcji
Przekątne przecinają się pod kątem prostym
Ma parę boków równoległych

R1436M0Ff1pEo

3. Jeśli czworokąt jest jednocześnie trapezem równoramiennym i deltoidem, to:

ma równe wszystkie boki
ma równe wszystkie kąty wewnętrzne
ma równe przekątne
żadne z wymienionych nie jest prawdą

Ćwiczenie 5

Wyznacz wysokość rombu o boku długości $6$ i kącie ostrym $60 °$ .

Na rysunku przedstawiony jest romb spełniający warunki zadania. Przekątna $A C$ dzieli ten romb na dwa równoramienne trójkąty przystające. Trójkąt równoramienny ma kąt miary $60 °$ , więc jest trójkątem równobocznym i jego wysokość jest jednocześnie wysokością rombu. Stąd wysokość rombu jest równa $\frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ .

R152Hr56KIqf4

Ilustracja przedstawia romb ABCD. Kąt przy wierzchołku B ma miarę 60 stopni, wysokość upuszczona na bok CD to odcinek AE.

Ćwiczenie 6

W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę $60 °$ , a podstawy mają długości $6$ i $9$ . Wyznacz pole tego trapezu.

Na rysunku przedstawiony jest trapez spełniający warunki zadania.

RuXFmN0XtzHyR

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach długości 9 i sześć. Kąt przy wierzchołku A wynosi 60 stopni. Wysokość upuszczona na dłuższą podstawę to odcinek DE.

Wtedy $|A E| = 9 - 6 = 3$ . Trójkąt $A D E$ jest trójkątem prostokątnym o kątach $90 °$ , $60 °$ , $30 °$ . Stąd $|D E| = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ .

Zatem pole trapezu jest równe $\frac{(9 + 6) \cdot 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{45 \sqrt{3}}{2}$ .

Ćwiczenie 7

Przekątna kwadratu o boku $1$ oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz obwód rombu.

Ponieważ przekątne rombu dzielą się w połowie, to „połowa drugiej przekątnej kwadratu” jest odcinkiem $G H$ , gdzie $E$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, a $G$ i $H$ środkami odcinków $A E$ i $C E$ , odpowiednio.

R9ahJh48H2xCl

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD o boku jeden. Na przekątnej AC umieszczono Punkty G i H będące wierzchołkami rombu BHDG o środku E.

Musimy policzyć długość boku rombu $a = |B H|$ , wtedy jego obwód będzie równy $4 a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa $a^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} = \frac{5}{8}$ . Stąd $a = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Obwód rombu jest równy $4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \sqrt{10}$ .

Ćwiczenie 8

Na rysunkach przecięto literę $M$ żółtymi odcinkami. Określ, jakie czworokąty powstały i, korzystając z kratek, uzasadnij odpowiedź.

RPkZvFfiCTjF7

Ilustracja przedstawia dwa rysunki litery M na polu w kratkę. Zaznaczono wierzchołki obu liter. Rysunek pierwszy: lewa kreska litery M jest prostokątem A B F E, gdzie bok A B znajduje się na górze i ma długość dwóch kratek, bok E F znajduje się na dolne, bok A E znajduje się z lewej strony i ma długość 6, bok B E znajduje się z prawej strony. Prawa kreska litery M to prostokąt o takich samych wymiarach o wierzchołkach J L M N, gdzie J L to górny bok, L M to prawy bok, M N to dolny bok, J N to lewy bok. Litery na obu rysunkach mają ten sam kształt, przy czym różnią się środkową częścią między prostokątami. Mają one ten sam kształt, jednak na litery naniesiono żółte odcinki, wydzielające różne czworokąty w literach M. Rysunek pierwszy: Środkowa część litery składa się z dwóch połączonych wspólnym ramieniem trapezów równoramiennych położonych ukośnie układających się w kształt V. Trapez lewy ma wierzchołki A D C B, gdzie AB jest poziomym odcinkiem, a C D jest pionowym odcinkiem, krótsza podstawa górna to ukośny bok B C, dolna podstawa to odcinek A D. Środek tego boku znajduje się w wierzchołku I. Drugi trapez to trapez D L J C, gdzie punkt K jest środkiem dolnej podstawy D L. Rysunek drugi: Tu środkowa część litery M ma wydzielone dwa równoległoboki przy tych samych wierzchołkach: I D C B oraz D K J C.

Na Rysunku 1 mamy dwa przystające trapezy prostokątne $A E F I$ oraz $L M N K$ . Kąty proste oraz równoległość odpowiednich boków wynikają z faktu, że odcinki są poprowadzone po kratkach. Odcinki $A I$ i $K L$ są równe i są poprowadzone do podstaw $I E$ i $L M$ pod kątem $45 °$ , gdyż są przekątnymi kwadratów zbudowanych z $4$ kratek.

Czworokąty $A B C D$ i $D C J L$ są przystającymi trapezami równoramiennymi, gdyż ramiona mają długość boku dwóch kratek a podstawy są przekątnymi kwadratów złożonych z $4$ lub $16$ kratek.

Na Rysunku 2 mamy dwa przystające prostokąty $A B F E$ i $J L M N$ oraz dwa przystające równoległoboki $B C D I$ i $J C D K$ . Uzasadnienie jak wyżej.

Infografika

Dla nauczyciela