Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RbA0kgX6BwF6p1

Ćwiczenie 1

RrIFhDdBordwM1

Ćwiczenie 2

R1UOr9a2rv1MC1

Ćwiczenie 3

RwuaE9j3Imppl2

Ćwiczenie 4

Przeciągnij w puste miejsca miejsca odpowiednie wyrażenia. Wykażemy, że

\lim_{x \to \frac{1}{3}} (3 x + 1) =

\frac{ε}{3}

, 2.

0

, 3.

3

, 4.

2

, 5.

3 δ

, 6.

3 ε

, 7.

\frac{1}{3}

. Weźmy dowolną liczbę

ε > 0

i połóżmy

δ =

\frac{ε}{3}

, 2.

0

, 3.

3

, 4.

2

, 5.

3 δ

, 6.

3 ε

, 7.

\frac{1}{3}

. Wówczas dla wszystkich argumentów funkcji

f (x) = 3 x + 1

takich, że

0 < | x -

\frac{ε}{3}

, 2.

0

, 3.

3

, 4.

2

, 5.

3 δ

, 6.

3 ε

, 7.

\frac{1}{3}

| < δ

otrzymujemy

|f (x) - g| = | 3 x - 1 | = 3 |x - \frac{1}{3}| <

\frac{ε}{3}

, 2.

0

, 3.

3

, 4.

2

, 5.

3 δ

, 6.

3 ε

, 7.

\frac{1}{3}

= ε

R142tqlXvZRb02

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

RvANWloSUSARg

R16peWz60m4jc

Ćwiczenie 7

Korzystając z definicji Cauchy'ego, udowodnij, że $\lim_{x \to - 1} (\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x + 1}) = 3$ .

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ . Niech $δ = ε$ . Wówczas dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x + 1| < δ$ mamy

|\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x + 1} - 3| = |x + 1| < δ = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego, granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to - 1} (\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x + 1}) = 3

Ćwiczenie 8

Korzystając z definicji Cauchy'ego, udowodnij, że $\lim_{x \to 0} \cos (x + 2 π) = 1$ .

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ . Ponieważ

|\cos (x + 2 π) - 1| = |\cos (x + 2 π) - \cos 0|

więc ze wzoru na różnicę cosinusów oraz wzorów redukcyjnych mamy

|\cos (x + 2 π) - \cos 0| = 2 {|\sin (π + \frac{x}{2})|}^{2} = 2 {|\sin (\frac{x}{2})|}^{2}

Ponieważ w szczególności $|\sin \frac{x}{2}| < |\frac{x}{2}|$ dla wszystkich $x \in ℝ$ więc przyjmując $δ = \sqrt{2 ε}$ dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x| < δ$ dostaniemy

|\cos (x + 2 π) - 1| = 2 {|\sin (\frac{x}{2})|}^{2} < 2 {|\frac{x}{2}|}^{2} < \frac{δ^{2}}{2} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to 0} \cos (x + 2 π) = 1

Animacja

Dla nauczyciela