Animacja

Polecenie 1

Na poniższej animacji pokazano w jaki sposób definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie może być użyta, zarówno do obliczenia granicy jak i wykazania, że dana z góry liczba jest granicą funkcji w punkcie. Zapoznaj się z przedstawionymi metodami a następnie wykonaj zamieszczone poniżej polecenia.

R1UdjAor1vhxs

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DEXKtCuUo

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej obliczania granicy na mocy definicji Cauchyego.

Polecenie 2

Korzystając z definicji Cauchy'ego, oblicz granicę funkcji $f (x) = 3 - 2 x$ w punkcie $x_{0} = 2$ .

$\lim_{x \to 2} f (x) = - 1$ .

Polecenie 3

Korzystając z definicji Cauchy'ego wykaż, że $\lim_{x \to 0} (3 x + 1) = 1$ .

Niech $ε > 0$ . Wówczas

|f (x) - 1| < ε \Leftrightarrow |3 x| < ε \Leftrightarrow |x| < \frac{ε}{3}

Wystarczy zatem, że przyjmiemy $δ = \frac{ε}{3}$ . Wtedy dla każdego argumentu funkcji $f$ takiego, że $0 < |x - 0| < δ$ mamy $|f (x) - 1| < ε$ , co kończy dowód.

Przeczytaj

Sprawdź się