Przeczytaj
Na początek przypomnijmy sobie definicję Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie.
Liczbę nazywamy granicą funkcji : w punkcie , jeśli dla dowolnej liczby istnieje liczba taka, że dla argumentów funkcji należących do sąsiedztwa punktu o promieniu (tzn. dla każdego takiego, że ), wartości funkcji należą do otoczenia liczby o promieniu , tzn. spełniony jest warunek .
Definicję Cauchy'ego na ogół wykorzystuje się do wykazywania, że dana z góry liczba jest granicą pewnej funkcji w punkcie. W pewnych szczególnych przypadkach jest możliwe obliczenie granicy funkcji w punkcie z wykorzystaniem definicji Cauchy'ego. Przykład taki można znaleźć w Samouczku w kolejnej sekcji. Poniższe przykłady pokazują w jaki sposób można użyć definicji Cauchy'ego do wykazania, że dana funkcja posiada granicę w punkcie równą z góry zadanej wartości.
Wykażemy, że
gdzie , , są danymi liczbami oraz . Zgodnie z definicją Cauchy'ego weźmy dowolną, ustaloną liczbę . Musimy wskazać liczbę tak, aby spełniona była definicja Cauchy'ego. Niech . Wówczas dla wszystkich takich, że otrzymamy
Definicja Cauchy'ego jest zatem spełniona, co dowodzi że
Wykażemy, że
gdzie jest danym parametrem. Zgodnie z definicją Cauchy'ego weźmy dowolną, ustaloną liczbę . Musimy wskazać liczbę tak, aby spełniona była definicja Cauchy'ego. Niech . Wówczas dla wszystkich takich, że otrzymamy
Definicja Cauchy'ego jest zatem spełniona, co dowodzi że
Wykażemy, że
Weźmy dowolną, ustaloną liczbę . Wskażemy liczbę tak, aby dla wszystkich takich, że spełniony był warunek . Zauważmy, że
Ponieważ wiemy, że więc przyjmując , otrzymamy
Na mocy definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie
Wykażemy, że
Weźmy dowolną, ustaloną liczbę . Wskażemy liczbę tak, aby spełniona była definicja Cauchy'ego, tzn. aby dla wszystkich takich, że zachodziła nierówność . Mamy
Ponieważ wiemy, że więc w szczególności
Odejmując stronami , otrzymamy
Ponieważ więc z ostaniego ciągu nierówności wynika, że . Stąd oraz z mamy
Ponieważ liczbę możemy wybrać dowolnie, więc dobierając ją dostatecznie blisko zera prawdziwa będzie nierówność . Aby ją wyznaczyć wystarczy rozwiązać równanie względem . W tym przypadku otrzymamy . Wybierzmy zatem dodatnią liczbę tak aby była mniejsza od . Wówczas dla wszystkich takich, że dostaniemy
Definicja Cauchy'ego jest zatem spełniona, co dowodzi że
Przed kolejnym przykładem przytoczymy pewną ważną nierówność.
Dla wszystkich liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
W szczególności dla zachodzi
Wykażemy, że
Weźmy dowolną, ustaloną liczbę . Wskażemy liczbę tak, aby spełniona była definicja Cauchy'ego. Ponieważ
więc ze wzoru na sumę sinusówsumę sinusów mamy
Ponieważ oraz , więc
Z przytocznej wcześniej nierówności wynika, że . Reasumując
Niech zatem . Stąd oraz z powyższej nierówności dla wszystkich takich, że otrzymamy
Na mocy definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie