Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RLwrm5LY8kiBF1

Przy jakiej prędkości ciała, jego energia kinetyczna jest równa energii spoczynkowej? Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odp.: $v$ = ............ · 10^............ m/s

Energię kinetyczną musimy opisać wzorem relatywistycznym $E_{kin}=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}-mc^{2}$ .

Porównujemy z energią spoczynkową $E=mc^{2}$ : $\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}-mc^{2}=mc^{2}$ . Dzieląc obie strony przez $mc^{2}$ otrzymamy $\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}-1=1$ i po przekształceniach:

$v=\frac{\sqrt{3}c}{4}=0,43c\approx1,3\cdot10^{8}\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s}$

R9T5CIW0eUsD81

Ćwiczenie 2

Jeżeli ciało się porusza to jego energia spoczynkowa

jest taka sama jak spoczywającego;
jest większa niż ciała spoczywającego;
jest równa 0;
jest mniejsza niż ciała spoczywającego.

Ćwiczenie 3

Rg4sQhWvsOAKX

Ciepło topnienia to ilość energii, jaką należy dostarczyć do 1 kg substancji, aby ze stanu stałego przeszła w stan ciekły. Ciepło topnienia wody $L$ wynosi około 334000 J/kg. Oblicz, o ile większa jest masa wody w stanie ciekłym w temperaturze 0°C od masy 1 kg lodu, z którego ta woda powstała. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odp.: różnica mas wynosi ............ · 10^............ kg

Różnica masy wynika z energii pobranej przez lód w procesie topnienia, zatem jest to masa odpowiadająca ciepłu topnienia lodu. Stąd różnica masy

$\Delta m=\frac{L}{c^{2}}=\frac{334000}{9\cdot10^{16}}=3,7\cdot10^{-12}\hspace{2mm}\textrm{kg}$

Uwaga: Jak widać różnica mas jest praktycznie niemierzalna.

Ćwiczenie 4

RP2TA2ocY8Av81

Jakiej masie odpowiada energia spoczynkowa, którą należy zamienić w ciągu godziny w energię elektryczną, aby uzyskać moc średniej elektrowni, która wynosi $P$ = 1000 MW?

Odp.: potrzebna masa to ............ · 10^............ kg.

Potrzebna energia w ciągu godziny $E=Pt$ = 1000 MW · 3600 s = 3,6 · 10Indeks górny 12 J. Przeliczamy na masę korzystając ze wzoru $E=mc^{2}$ , stąd

$m=\frac{E}{c^{2}}=\frac{3,6\cdot10^{12}}{9\cdot10^{16}}=4\cdot10^{-5}\hspace{2mm}\textrm{kg}$

RFa5JOYqLrrVI2

Ćwiczenie 5

Uzupełnij zdania odpowiednimi wyrazami z nawiasów:

Masa jądra atomowego jest ({większa niż} /{# mniejsza niż} / {taka sama jak}) suma mas nukleonów swobodnych budujących to jądro. Efekt ten wynika z tego że nukleony będąc związane w jądrze mają ({#mniejszą} / {większą} / {taką samą}) energię oddziaływań, jak nukleony swobodne.

Ćwiczenie 6

Dwie gwiazdy neutronowe o jednakowych masach $m$ obiegają wspólny środek masy. Odległość między gwiazdami wynosi $d$ . Jaka jest energia spoczynkowa i masa układu tych gwiazd?

RQPZfNw5Mt3RM2

Rysunek przedstawia orbitę przedstawioną w postaci niebieskiego okręgu. W okrąg ten wrysowano średnicę o długości opisanej małą literą d. Na obu końcach średnicy umieszczono gwiazdy neutronowe przedstawione w postaci niebieskich kropek. Obie gwiazdy mają te same masy opisane małą literą m każda. Każda z nich porusza się po tej orbicie zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara z prędkością o tej samej wartości oznaczonej małą literą v styczną do okręgu i przedstawioną w postaci niebieskiej strzałki. Na średnicy narysowano czarne wektory sił, którymi te gwiazdy przyciągają się. Każdy z wektorów ma punkt przyłożenia w punkcie, w którym znajduje się gwiazda i jest skierowany wzdłuż promienia okręgu ku jego środkowi oraz oznaczony jest wielką literą F z indeksem dolnym mała litera g. Wszystkie opisy zaznaczone kolorem czerwonym.

Energia spoczynkowa $E$ układu składa się z energii mas gwiazd, energii kinetycznej i energii oddziaływań.

$E=2mc^{2}+2\frac{mV^{2}}{2}-\frac{Gm^{2}}{d}$

Prędkość wyznaczymy korzystając z tego, że siła grawitacji $F_{g}$ jest siłą dośrodkową $F_{d}$ , Siłę grawitacji opisuje wzór $F_{g}=\frac{Gm^{2}}{d^{2}}$ , a siłę dośrodkową $F_{d}=\frac{mV^{2}}{\frac{d}{2}}$ . Stąd:

$\frac{Gm^{2}}{d^{2}}=\frac{mV^{2}}{\frac{d}{2}}\Longleftrightarrow V^{2}=\frac{Gm}{2d};$

i energia spoczynkowa układu

$E=2mc^{2}-\frac{Gm^{2}}{2d}$

a masa

$m_{u}=\frac{E}{c^{2}}=2m-\frac{Gm^{2}}{2dc^{2}}$

Ćwiczenie 7

R1IBJ8T71klP03

Energię spoczynkową układu podwójnego gwiazd neutronowych o jednakowej masie

m

obiegających wspólny środek masy w odległości

d

od siebie można opisać zależnością

E = 2 m c^{2} - \frac{G m^{2}}{2 d}

. Masę układu

m_{u}

możemy obliczyć ze wzoru

m_{u} = \frac{E}{c^{2}} = 2 m - \frac{G m^{2}}{2 d c^{2}}

. Zakładając że gwiazdy te mają masę dwa razy większą od masy Słońca czyli 4 · 10³⁰ kg, oblicz, w jakiej odległości musiały by się obiegać te gwiazdy, aby masa układu była o 1% mniejsza od sumy mas gwiazd. Odp.: Odległość powinna wynosić około Tu uzupełnij tys. km.

Energię spoczynkową układu podwójnego gwiazd neutronowych o jednakowej masie $m$ obiegających wspólny środek masy w odległości $d$ od siebie można opisać zależnością $E = 2 m c^{2} - \frac{G m^{2}}{2 d}$ . Masę układu $m_{u}$ możemy obliczyć ze wzoru $m_{u} = \frac{E}{c^{2}} = 2 m - \frac{G m^{2}}{2 d c^{2}}$ . Zakładając że gwiazdy te mają masę dwa razy większą od masy Słońca czyli 4 · 10³⁰ kg, oblicz, w jakiej odległości musiały by się obiegać te gwiazdy, aby masa układu była o 1% mniejsza od sumy mas gwiazd.

Odp.: Odległość powinna wynosić około ............ tys. km.

Z treści zadania wynika że:

1 % = \frac{2 m - m_{u}}{2 m} = \frac{2 m - 2 m + \frac{G m^{2}}{2 d c^{2}}}{2 m} = \frac{G m}{4 d c^{2}} .

Stąd $d=\frac{Gm}{0,04c^{2}}$ = 74000 km.

Uwaga: Otrzymana odległość jest tylko kilka razy większa niż średnica gwiazd neutronowych. Wyznaczane odległości w układach podwójnych gwiazd neutronowych to około 10Indeks górny 6 km. Na odległość kilkudziesięciu tysięcy kilometrów gwiazdy mogą się zbliżyć, gdy w wyniku straty energii przez układ – między innymi w wyniku emisji fal grawitacyjnych- układ zacieśnia orbitę i w ostateczności dochodzi do połączenia się tych gwiazd.

Ćwiczenie 8

R1TeN6PLsEEhG3

Masa jądra atomu węgla $_{6}^{12} C$ wynosi $m_{j}$ = 19,938 · 10^-27 kg, masa protonu $m_{p}$ = 1,6725 · 10^-27 kg masa neutronu $m_{n}$ = 1,6748 · 10^-27 kg. Oblicz energię wiązania nukleonów w jądrze $_{6}^{12} C$ . Wynik podaj z dokładnościa do dwóch cyfr znaczących.

Odp.: Energia wiązania wynosi ............ · 10^............ J.

Deficyt masy jest równy różnicy mas protonów i neutronów budujących dane jadro i masy jądra $\Delta m=Z\cdot m_{p}+(A-Z)\cdot m_{n}-m_{j}$ . $Z$ – liczba atomowa, równa liczbie protonów w jądrze, $A$ – liczba masowa, równa liczbie nukleonów w jądrze. Stąd

\begin{matrix} Δ m = 6 \cdot 1, 6725 \cdot 1 0^{- 27} k g + 6 \cdot 1, 6748 \cdot 1 0^{- 27} k g - 19, 938 \cdot 1 0^{- 27} k g = \\ = 1 0^{- 27} (10, 035 + 10, 0488 - 19, 938) k g = 0, 1458 \cdot 1 0^{- 27} k g \end{matrix}

Energia wiązania

$E=\Delta m\cdot c^{2}=1,458\cdot10^{-28}\hspace{2mm}\textrm{kg}\cdot(3\cdot10^{8}\hspace{2mm}\textrm{m}/\textrm{s})^{2}=1,458\cdot10^{-28}\hspace{2mm}\textrm{kg}\cdot9\cdot10^{16}\hspace{2mm}\textrm{m}^{2}/\textrm{s}^{2}=13\cdot10^{-12}\hspace{2mm}\textrm{J}.$

RpUipErPZYe9f3

Ćwiczenie 9

W reakcjach jądrowych zachowana jest:

masa
suma energii kinetycznej i potencjalnej
energia całkowita
pęd

Film samouczek

Dla nauczyciela