Aby rozwiązaniem nierówności

$\cos 2x\ge \frac{a+1}{2a-1}$

był zbiór liczb rzeczywistych, musi zachodzić warunek:

$\frac{a+1}{2a-1}\le -1$.

$\frac{a+1}{2a-1}+1\le 0$

$\frac{a+1+2a-1}{2a-1}\le 0$

$\frac{3a}{2a-1}\le 0$

$3a\left(2a-1\right)\le 0$ i $a\ne \frac{1}{2}$

Odpowiedź: $a\in \left.⟨0,\frac{1}{2}\right)$.

Podstawmy $t=\cos x$ w nierówności $\left(2\cos x+1\right)\left(4{\cos }^{2}x-3\right)>0$:

$\left(2t+1\right)\left(4t^2-3\right)>0$.

Miejscami zerowymi wielomianu $y=\left(2t+1\right)\left(4t^2-3\right)$ są: $-\frac{1}{2}$, $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Narysujmy wykres tego wielomianu.

RZ0jPraJ7shOk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią T oraz pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowany jest wyżej opisany wielomian $y=\left(2t+1\right)\left(4t^2-3\right)$, którego miejsca zerowe to: minus pierwiastek z trzech przez dwa, minus jedna druga oraz pierwiastek z trzech przez dwa. Punkt przecięcia z osią Y wynosi minus trzy. Po osiągnięciu miejsca zerowego równego pierwiastek z trzech przez dwa, funkcja rośnie bardzo szybko i jest niemal pionowa. Analogicznie po osiągnięciu miejsca zerowego równego minus pierwiastek z trzech przez dwa, funkcja drastycznie maleje i jest niemal pionowa.

Zatem rozwiązaniem nierówności $\left(2t+1\right)\left(4t^2-3\right)>0$ jest zbiór: $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty \right)$.

Wobec tego rozwiązujemy nierówności:

$-\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x<-\frac{1}{2}$ lub $\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x$.

Zatem rozwiązaniem nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych jest:

$x\in \left(-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{\pi }{6}+2k\pi \right)\cup \left(\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right)\cup$

$\cup \left(\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,\frac{4\pi }{3}+2k\pi \right)$

, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności $\left(2\cos x+1\right)\left(4{\cos }^{2}x-3\right)>0$ w przedziale $\left(\pi ,2\pi \right)$ jest zbiór: $\left(\frac{7\pi }{6},\frac{4\pi }{3}\right)$.