Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zbadaj ciągłość funkcji $f (x) = x + 2$ w punkcie $x_{0} = 4$ .

$\lim_{x \to 4^{-}} f (x) = 4 + 2 = 6$ ,

$f (4) = 6$ .

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = 4$ , ponieważ $\lim_{x \to 4^{-}} f (x) = \lim_{x \to 4^{+}} f (x) = f (4)$ .

Ćwiczenie 2

RF4gLIjlMDTEW

Dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja $f (x) = "{"\begin{array}{c} m x + 5, dla x \leq 0 \\ 5, dla x > 0 \end{array}""$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = 0$ ?

dla dowolnej wartości parametru $m$
nie da się wskazać takiego $m$
jedynie dla $m = 0$
jedynie dla $m = 5$

Ćwiczenie 3

R33NVo5zwclJh

Rozstrzygnij, czy dla danych parametrów $a$ , $b$ , $c$ funkcja $f (x) = "{"\begin{array}{c} a x + 7, dla x < 1 \\ b, dla x = 1 \\ 2^{c x}, dla x > 1 \end{array}""$
jest ciągła w punkcie $x_{0} = 1$ .

$a = - \frac{13}{2}$	$b = \frac{1}{2}$	$c = 3$
$a = - 1$	$b = 16$	$c = 4$
$a = 1$	$b = 8$	$c = - 1$
$a = 9$	$b = 8$	$c = 3$

RxiR4rwC1tYXd

Ćwiczenie 4

R12i2uyEsF3VT

Pokoloruj na zielono funkcje ciągłe, na czerwono funkcje nieciągłe w punkcie $x = - 1$ i na fioletowo funkcje nieciągłe w punkcie $x = 0$ .

{czerwony} $f (x) = "{"\begin{array}{c} x^{3}, dla x < - 1 \\ - (x - 2) (x + 2), dla x \in "⟨"- 1, 0"⟩" \\ \frac{x^{2} + 4 x}{x}, dla x \geq 0 \end{array}""$ {/czerwony}

{fioletowy} $f (x) = "{"\begin{array}{c} - 2 x, dla x < - 1 \\ "|"2 x"|", dla x \in "⟨"- 1, 0"⟩" \\ - 2 + x, dla x > 0 \end{array}""$ {/fioletowy}

{zielony} $f (x) = "{"\begin{array}{c} \frac{x^{3}}{x + 2}, dla x \leq - 1 \\ x, dla x \in (- 1, 0) \\ \frac{x^{3}}{x + 2}, dla x \geq 0 \end{array}""$ {/zielony}

{zielony} $f (x) = "{"\begin{array}{c} 2^{x}, dla x \leq - 1 \\ - \frac{1}{2} x, dla x \in (- 1, 0) \\ "|""|"x - 1"|" - 1"|", dla x > 0 \end{array}""$ {/zielony}

{czerwony} $f (x) = "{"\begin{array}{c} \frac{1}{x}, dla x \leq - 1 \\ 5^{x}, dla x \in (- 1, 0) \\ \cos x, dla x > 0 \end{array}""$ {/czerwony}

{czerwony} $f (x) = "{"\begin{array}{c} 2 x, dla x < - 1 \\ "|"2 x"|", dla x \in "⟨"- 1, 0"⟩" \\ 2 x, dla x > 0 \end{array}""$ {/czerwony}

{fioletowy} $f (x) = "{"\begin{array}{c} \frac{x^{3} - 1}{x - 1}, dla x \leq - 1 \\ x + 2, dla x \in "⟨"- 1, 0"⟩" \\ x^{2}, dla x > 0 \end{array}""$ {/fioletowy}

{zielony} $f (x) = "{"\begin{array}{c} \frac{x^{3} - 1}{x - 1}, dla x < - 1 \\ 2 x + 3, dla x \in "⟨"- 1, 0"⟩" \\ \frac{x^{2} - 9}{x - 3}, dla x > 0 \end{array}""$ {/zielony}

RZy2S5IfwLLGk

Ćwiczenie 5

R1eUiULaKQVk1

Rx3yVZNB9ffFl

Dlaczego funkcje są nieciągłe w punkcie

x = 2

? Połącz w pary funkcje z odpowiednimi uzasadnieniami.

f (x) = \{\begin{cases} 1, dla x \neq 2 \\ 0, dla x = 2 \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1. Nie istnieje granica prawostronna funkcji

f

w punkcie

2

., 2.

\lim_{x \to 2} f (x) \neq f (2)

, 3.

\lim_{x \to 2^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 2^{-}} f (x)

f (x) = \{\begin{cases} x, dla x < 2 \\ 2 - x, dla x ⩾ 2 \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1. Nie istnieje granica prawostronna funkcji

f

w punkcie

2

., 2.

\lim_{x \to 2} f (x) \neq f (2)

, 3.

\lim_{x \to 2^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 2^{-}} f (x)

f (x) = \{\begin{cases} 1 - x, dla x \leq 2 \\ 2 x + \frac{1}{x}, dla x \in ℤ_{+} \\ 2, dla x \in (2; + \infty) ∖ ℤ_{+} \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1. Nie istnieje granica prawostronna funkcji

f

w punkcie

2

., 2.

\lim_{x \to 2} f (x) \neq f (2)

, 3.

\lim_{x \to 2^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 2^{-}} f (x)

Ćwiczenie 6

RStolVj0dLAmm

Dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja $f (x) = "{"\begin{array}{c} m, dla x \leq 0 \\ \frac{1}{x}, dla x > 0 \end{array}""$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = 0$ ?

dla każdej wartości parametru $m$
nie da się wskazać takiego $m$
jedynie dla $m = 2$
jedynie dla $m = 5$

Ćwiczenie 7

R1RRGdUv8SYBH

Dla jakich wartości parametru $a$ funkcja $f (x) = "{"\begin{array}{c} (a^{2} - 1) x + 3, dla x \leq - 1 \\ x^{2} + 2 a, dla x > - 1 \end{array}""$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ ? Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

$a = 1$
$a = 3$
$a = - 1$
$a = - 3$
$a = - 2$

Ćwiczenie 8

R175MSyj5YTJx

R1bf9P8J9WHYW

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela