Symulacja interaktywna

Polecenie 1

Dla funkcji $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{6}$ sprawdź, czy spełniony jest warunek:

dla każdego $ε > 0$ można dobrać punkty $x_{1} < 1$ oraz $x_{2} > 1$ w taki sposób, by dla argumentów należących do przedziału $(x_{1}, x_{2})$ wykres funkcji mieścił się w pomarańczowym pasku o szerokości $2 ε$ . Rozstrzygnij, czy funkcje $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{6}$ są ciągłe w punkcie $x_{0} = 1$ .

Zapoznaj się z poniższymi sześcioma przykładami i odpowiedz na pytania w ćwiczeniach znajdujących się pod każdym przykładem.

R18jfAztIEVSz

Przykład 1

$f_{1} (x) = \{\begin{cases} x, dla x < 1 \\ 2 x - x^{2}, dla x ⩽ 1 \end{cases}$

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
$ε = \frac{1}{2}$ ,
$x_{1} = 0, 1$ ,
$x_{2} = 1, 9$ .

Ilustracja: wykres funkcji $f_{1}$ ma dwie składowe: pierwsza to ukośna półprosta biegnąca od minus nieskończoności przez początek układu współrzędnych do punktu $(1; 1)$ . Punkt ten jest początkiem drugiej składowej wykresu. Jest to skierowane w dół to prawe ramię paraboli o wierzchołku w punkcie $(1; 1)$ .
Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

$(x_{0}; f (x_{0})) = (1; 1)$ ,
$(x_{1}; f (x_{1})) = (0, 1; 0, 1)$ ,
$(x_{2}; f (x_{2})) = (1, 9; 0, 19)$ .

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty $(x_{1}; x_{2}) = (0, 1; 1, 9)$ . Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli ukośny odcinek lewostronnie otwarty i kawałek prawego ramienia paraboli. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie $y = \frac{1}{2}$ oraz druga na poziomie $y = \frac{3}{2}$ . Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą $2 ε$ .

R1HExELuviaTl

Ćwiczenie 1

Przykład 2

$f_{2} (x) = \{\begin{cases} - x + \frac{1}{2}, dla x ⩽ 1 \\ x^{2} - 2 x + 2, dla x > 1 \end{cases}$

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
$ε = \frac{1}{2}$ ,
$x_{1} = 0, 1$ ,
$x_{2} = 1, 9$ .

Ilustracja: wykres funkcji $f_{2}$ ma dwie składowe: pierwsza to ukośna półprosta biegnąca między innymi przez punkty $(- \frac{1}{2}; 1)$ oraz $(0; \frac{1}{2})$ . Prawy koniec półprostej znajduje się w zamalowanym punkcie $(1; - \frac{1}{2})$ . Druga składowa wykresu to zwrócone w górę prawe ramię paraboli o wierzchołku w niezamalowanym punkcie $(1; 1)$ . Ramię to przechodzi między innymi przez punkt $(2; 2)$ .

Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

$(x_{0}; f (x_{0})) = (1; - \frac{1}{2})$ ,
$(x_{1}; f (x_{1})) = (0, 1; 0, 4)$ ,
$(x_{2}; f (x_{2})) = (1, 9; 1, 81)$ .

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty $(x_{1}; x_{2}) = (0, 1; 1, 9)$ . Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli ukośny odcinek lewostronnie otwarty i kawałek prawego ramienia paraboli. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie $y = 0$ oraz druga na poziomie $y = - 1$ . Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą $2 ε$ .

R1bxu76E2tNNm

Ćwiczenie 2

Przykład 3

$f_{3} (x) = \{\begin{cases} - x + \frac{1}{2}, dla x < 1 \\ - x, dla x ⩽ 1 \end{cases}$

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
$ε = \frac{1}{2}$ ,
$x_{1} = 0, 1$ ,
$x_{2} = 1, 9$ .

Ilustracja: wykres funkcji $f_{3}$ ma dwie składowe: pierwsza to ukośna półprosta biegnąca między innymi przez punkt $(0; 0)$ , a z prawej strony wykres ograniczony jest niezamalowanym punktem $(1; 1)$ . Druga składowa wykresu to ukośna półprosta o lewym końcu w punkcie $(1; - 1)$ , przebiegająca między innymi przez punkt $(2; - 2)$ .

Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

$(x_{0}; f (x_{0})) = (1; - 1)$ ,
$(x_{1}; f (x_{1})) = (0, 1; 0, 1)$ ,
$(x_{2}; f (x_{2})) = (1, 9; - 1, 9)$ .

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty $(x_{1}; x_{2}) = (0, 1; 1, 9)$ . Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli dwa ukośne odcinki. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie $y = - \frac{1}{2}$ oraz druga na poziomie $y = - \frac{3}{2}$ . Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą $2 ε$ .

Rp5O9NZ9Mgp0w

Ćwiczenie 3

Przykład 4

$f_{4} (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x - 1}, dla x < 1 \\ \frac{1}{2} x, dla x ⩾ 1 \end{cases}$

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
$ε = \frac{1}{2}$ ,
$x_{1} = 0, 1$ ,
$x_{2} = 1, 9$ .

Ilustracja: wykres funkcji $f_{4}$ ma dwie składowe: pierwsza to dolna część hiperboli przesunięta o jedną jednostkę w prawo, która biegnie w trzecie i w czwartej ćwiartce, a jest asymptoty to $y = 0$ oraz $x = 1$ . Druga składowa wykresu znajduje się w pierwszej ćwiartce i jest to ukośna półprosta o lewym końcu w zamalowanym punkcie $(1; \frac{1}{2})$ , przebiegająca między innymi przez punkt $(2; 1)$ .

Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

$(x_{0}; f (x_{0})) = (1; \frac{1}{2})$ ,
$(x_{1}; f (x_{1})) = (0, 1; 1 \frac{1}{9})$ ,
$(x_{2}; f (x_{2})) = (1, 9; 0, 95)$ .

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty $(x_{1}; x_{2}) = (0, 1; 1, 9)$ . Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli kawałek hiperboli i ukośny odcinek. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie $y = 0$ oraz druga na poziomie $y = 1$ . Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą $2 ε$ .

ReUQhpkjFi9Q7

Ćwiczenie 4

Przykład 5

$f_{5} (x) = \{\begin{cases} 1, dla x < 1 \\ 2 - x, dla x > 1 \\ - \frac{1}{2}, dla x = 1 \end{cases}$

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
$ε = \frac{1}{2}$ ,
$x_{1} = 0, 1$ ,
$x_{2} = 1, 9$ .

Ilustracja: wykres funkcji $f_{5}$ ma trzy składowe: pierwsza to pozioma półprosta $y = 1$ biegnąca od minus nieskończoności do ograniczającego ją prawostronnie niezamalowanego punktu $(1; 1)$ , druga składowa wykresu to zamalowany punkt $(1; - \frac{1}{2})$ , a trzecia składowa wykresu to ukośna półprosta ograniczona lewostronnie niezamalowanym punktem $(1; 1)$ , biegnąca między innymi przez punkt $(2; 0)$ .
Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

$(x_{0}; f (x_{0})) = (1; \frac{1}{2})$ ,
$(x_{1}; f (x_{1})) = (0, 1; 1 \frac{1}{9})$ ,
$(x_{2}; f (x_{2})) = (1, 9; 0, 95)$ .

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty $(x_{1}; x_{2}) = (0, 1; 1, 9)$ . Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli dwa odcinki: poziomy i ukośny odcinek oraz punkt. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie $y = 0$ oraz druga na poziomie $y = - 1$ . Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą $2 ε$ .

R55QhpQsznsll

Ćwiczenie 5

Przykład 6

$f_{6} (x) = \{\begin{cases} \frac{3}{2} - x, dla x < 1 \\ \frac{3}{2}, dla x \in (1; + \infty) ∖ \{1 + {(\frac{3}{4})}^{n}, n \in ℕ\} \\ \frac{1}{2}, dla x \in \{1 + {(\frac{3}{4})}^{n}, n \in ℕ\} \end{cases}$

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
$ε = \frac{1}{2}$ ,
$x_{1} = 0, 1$ ,
$x_{2} = 1, 9$ .

Ilustracja: wykres funkcji $f_{6}$ ma trzy składowe: pierwsza to ukośna półprosta biegnąca od minus nieskończoności przez punkt $(0; \frac{3}{2})$ do ograniczającego ją prawostronnie niezamalowanego punktu $(1; \frac{1}{2})$ , druga składowa wykresu to pozioma półprosta biegnąca na wysokości $y = \frac{3}{2}$ od zamalowanego punktu $(1; \frac{3}{2})$ w prawo. Z półprostej wycięto punkty określone we wzorze funkcji. Wycięte punkty oznaczono niezmalowanymi kółkami. Trzecia składowa wykresu to zbiór punktów określonych we wzorze funkcji, które biegną od niezamalowanego punktu $(1; \frac{1}{2})$ w prawo na poziomie $y = \frac{1}{2}$ .
Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

$(x_{0}; f (x_{0})) = (1; 1, 5)$ ,
$(x_{1}; f (x_{1})) = (0, 1; 1, 4)$ ,
$(x_{2}; f (x_{2})) = (1, 9; 1, 5)$ .

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty $(x_{1}; x_{2}) = (0, 1; 1, 9)$ . Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli ukośny odcinek otwarty, punkty oraz kawałek poziomej półprostej pozbawionej określonych punktów. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie $y = 1$ oraz druga na poziomie $y = 2$ . Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą $2 ε$ .

Rvl7kJyd86unc

Ćwiczenie 6

Polecenie 2

Odczytaj z wykresu granice jednostronne oraz wartość funkcji $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{6}$ w punkcie $x_{0} = 1$ .

Oblicz granice jednostronne oraz wartość funkcji $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{6}$ w punkcie $x_{0} = 1$ . Przypomnijmy wzory tych funkcji.

$f_{1} (x) = \{\begin{cases} x, dla x < 1 \\ 2 x - x^{2}, dla x \leq 1 \end{cases}$
$f_{2} (x) = \{\begin{cases} - x + \frac{1}{2}, dla x ⩽ 1 \\ x^{2} - 2 x + 2, dla x > 1 \end{cases}$
$f_{3} (x) = \{\begin{cases} - x + \frac{1}{2}, dla x < 1 \\ - x, dla x \leq 1 \end{cases}$
$f_{4} (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x - 1}, dla x < 1 \\ \frac{1}{2} x, dla x \geq 1 \end{cases}$
$f_{5} (x) = \{\begin{cases} 1, dla x < 1 \\ 2 - x, dla x > 1 \\ - \frac{1}{2}, dla x = 1 \end{cases}$
$f_{6} (x) = \{\begin{cases} \frac{3}{2} - x, dla x < 1 \\ \frac{3}{2}, dla x \in (1; + \infty) ∖ \{1 + {(\frac{3}{4})}^{n}, n \in ℕ\} \\ \frac{1}{2}, dla x \in \{1 + {(\frac{3}{4})}^{n}, n \in ℕ\} \end{cases}$

$\lim_{x \to 1^{-}} f_{1} (x) = 1$ , $\lim_{x \to 1^{+}} f_{1} (x) = 1$ , $f_{1} (1) = 1$

$\lim_{x \to 1^{-}} f_{2} (x) = - \frac{1}{2}$ , $\lim_{x \to 1^{+}} f_{2} (x) = 1$ , $f_{2} (1) = - \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1^{-}} f_{3} (x) = 1$ , $\lim_{x \to 1^{+}} f_{3} (x) = - 1$ , $f_{3} (1) = - 1$

$\lim_{x \to 1^{-}} f_{4} (x) = - \infty$ , $\lim_{x \to 1^{+}} f_{4} (x) = \frac{1}{2}$ , $f_{4} (1) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1^{-}} f_{5} (x) = 1$ , $\lim_{x \to 1^{+}} f_{5} (x) = 1$ , $f_{5} (1) = - \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1^{-}} f_{6} (x) = \frac{1}{2}$ , $\lim_{x \to 1^{+}} f_{6} (x)$ - nie istnieje, $f_{6} (1) = \frac{3}{2}$

Polecenie 3

Dla jakich wartości parametrów $a$ , $b$ , $c$ i $d$ funkcja $f$ jest ciągła?

$f (x) = \{\begin{cases} x + 1, & gdy x ⩽ - 1 \\ a x^{2} + 1, & gdy x \in (- 1, 1) \\ b, & gdy x = 1 \\ \frac{c}{x} + 2, & gdy x \in (1, 2) \\ 2^{x - d}, & gdy x ⩾ 2 \end{cases}$

$\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} x + 1 = 0$
$f (- 1) = 0$

$\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (a x^{2} + 1) = a \cdot {(- 1)}^{2} + 1 = a + 1$
Zatem $a + 1 = 0$ , więc $a = - 1$ .

$\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (- x^{2} + 1) = - 1 + 1 = 0$
$f (1) = b$ , więc $b = 0$ .

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{c}{x} + 2) = \frac{c}{1} + 2 = c + 2 = 0$ .

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{c}{x} + 2 = \frac{- 2}{2} + 2 = 1$
$f (2) = 2^{2 - d}$ . Zatem $2^{2 - d} = 1$ , więc $d = 2$ .

Wówczas $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} 2^{x - 2} = 2^{2 - 2} = 2^{0} = 1 = f (2)$ .

Przeczytaj

Sprawdź się