Polecenie 1

Dla funkcji f1,f2,,f6 sprawdź, czy spełniony jest warunek:

dla każdego ε>0 można dobrać punkty x1<1 oraz x2>1 w taki sposób, by dla argumentów należących do przedziału x1,x2 wykres funkcji mieścił się w pomarańczowym pasku o szerokości 2ε. Rozstrzygnij, czy funkcje f1, f2,, f6 są ciągłe w punkcie x0=1.

Zapoznaj się z poniższymi sześcioma przykładami i odpowiedz na pytania w ćwiczeniach znajdujących się pod każdym przykładem.

R18jfAztIEVSz
Przykład 1

f1x=x, dla x<12x-x2, dla x1

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
ε=12,
x1=0,1,
x2=1,9.

Ilustracja: wykres funkcji f1 ma dwie składowe: pierwsza to ukośna półprosta biegnąca od minus nieskończoności przez początek układu współrzędnych do punktu 1;1. Punkt ten jest początkiem drugiej składowej wykresu. Jest to skierowane w dół to prawe ramię paraboli o wierzchołku w punkcie 1;1.
Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

  • x0;fx0=1;1,

  • x1;fx1=0,1;0,1,

  • x2;fx2=1,9;0,19.

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty x1;x2=0,1;1,9. Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli ukośny odcinek lewostronnie otwarty i kawałek prawego ramienia paraboli. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie y=12 oraz druga na poziomie y=32. Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą 2ε.

R1HExELuviaTl
Ćwiczenie 1
Czy funkcja f1 jest ciągła w punkcie x=1? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Tak., 2. Nie.
Przykład 2

f2x=-x+12, dla x1x2-2x+2, dla x>1

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
ε=12,
x1=0,1,
x2=1,9.

Ilustracja: wykres funkcji f2 ma dwie składowe: pierwsza to ukośna półprosta biegnąca między innymi przez punkty -12;1 oraz 0;12. Prawy koniec półprostej znajduje się w zamalowanym punkcie 1;-12. Druga składowa wykresu to zwrócone w górę prawe ramię paraboli o wierzchołku w niezamalowanym punkcie 1;1. Ramię to przechodzi między innymi przez punkt 2;2.

Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

  • x0;fx0=1;-12,

  • x1;fx1=0,1;0,4,

  • x2;fx2=1,9;1,81.

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty x1;x2=0,1;1,9. Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli ukośny odcinek lewostronnie otwarty i kawałek prawego ramienia paraboli. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie y=0 oraz druga na poziomie y=-1. Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą 2ε.

R1bxu76E2tNNm
Ćwiczenie 2
Czy funkcja f2 jest ciągła w punkcie x=1? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Nie., 2. Tak.
Przykład 3

f3x=-x+12, dla x<1-x, dla x1

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
ε=12,
x1=0,1,
x2=1,9.

Ilustracja: wykres funkcji f3 ma dwie składowe: pierwsza to ukośna półprosta biegnąca między innymi przez punkt 0;0, a z prawej strony wykres ograniczony jest niezamalowanym punktem 1;1. Druga składowa wykresu to ukośna półprosta o lewym końcu w punkcie 1;-1, przebiegająca między innymi przez punkt 2;-2.

Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

  • x0;fx0=1;-1,

  • x1;fx1=0,1;0,1,

  • x2;fx2=1,9;-1,9.

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty x1;x2=0,1;1,9. Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli dwa ukośne odcinki. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie y=-12 oraz druga na poziomie y=-32. Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą 2ε.

Rp5O9NZ9Mgp0w
Ćwiczenie 3
Czy funkcja f3 jest ciągła w punkcie x=1? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Nie., 2. Tak.
Przykład 4

f4x=1x-1, dla x<112x, dla x1

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
ε=12,
x1=0,1,
x2=1,9.

Ilustracja: wykres funkcji f4 ma dwie składowe: pierwsza to dolna część hiperboli przesunięta o jedną jednostkę w prawo, która biegnie w trzecie i w czwartej ćwiartce, a jest asymptoty to y=0 oraz x=1. Druga składowa wykresu znajduje się w pierwszej ćwiartce i jest to ukośna półprosta o lewym końcu w zamalowanym punkcie 1;12, przebiegająca między innymi przez punkt 2;1.

Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

  • x0;fx0=1;12,

  • x1;fx1=0,1;119,

  • x2;fx2=1,9;0,95.

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty x1;x2=0,1;1,9. Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli kawałek hiperboli i ukośny odcinek. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie y=0 oraz druga na poziomie y=1. Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą 2ε.

ReUQhpkjFi9Q7
Ćwiczenie 4
Czy funkcja f4 jest ciągła w punkcie x=1? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Nie., 2. Tak.
Przykład 5

f5x=1, dla x<12-x, dla x>1-12, dla x=1

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
ε=12,
x1=0,1,
x2=1,9.

Ilustracja: wykres funkcji f5 ma trzy składowe: pierwsza to pozioma półprosta y=1 biegnąca od minus nieskończoności do ograniczającego ją prawostronnie niezamalowanego punktu 1;1, druga składowa wykresu to zamalowany punkt 1;-12, a trzecia składowa wykresu to ukośna półprosta ograniczona lewostronnie niezamalowanym punktem 1;1, biegnąca między innymi przez punkt 2;0.
Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

  • x0;fx0=1;12,

  • x1;fx1=0,1;119,

  • x2;fx2=1,9;0,95.

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty x1;x2=0,1;1,9. Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli dwa odcinki: poziomy i ukośny odcinek oraz punkt. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie y=0 oraz druga na poziomie y=-1. Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą 2ε.

R55QhpQsznsll
Ćwiczenie 5
Czy funkcja f5 jest ciągła w punkcie x=1? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Nie., 2. Tak.
Przykład 6

f6x=32-x, dla x<132, dla x1;+1+34n,n12, dla x1+34n,n

Weźmy następujące wartości poszczególnych parametrów:
ε=12,
x1=0,1,
x2=1,9.

Ilustracja: wykres funkcji f6 ma trzy składowe: pierwsza to ukośna półprosta biegnąca od minus nieskończoności przez punkt 0;32 do ograniczającego ją prawostronnie niezamalowanego punktu 1;12, druga składowa wykresu to pozioma półprosta biegnąca na wysokości y=32 od zamalowanego punktu 1;32 w prawo. Z półprostej wycięto punkty określone we wzorze funkcji. Wycięte punkty oznaczono niezmalowanymi kółkami. Trzecia składowa wykresu to zbiór punktów określonych we wzorze funkcji, które biegną od niezamalowanego punktu 1;12 w prawo na poziomie y=12.
Na wykresie zaznaczono następujące punkty:

  • x0;fx0=1;1,5,

  • x1;fx1=0,1;1,4,

  • x2;fx2=1,9;1,5.

Na poziomej osi zaznaczono przedział otwarty x1;x2=0,1;1,9. Kolorem wyróżniono fragment wykresu w tym przedziale, czyli ukośny odcinek otwarty, punkty oraz kawałek poziomej półprostej pozbawionej określonych punktów. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano również dwie poziome proste: jedna na poziomie y=1 oraz druga na poziomie y=2. Zaznaczono odległość między prostymi wynoszącą 2ε.

Rvl7kJyd86unc
Ćwiczenie 6
Czy funkcja f6 jest ciągła w punkcie x=1? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Nie., 2. Tak.
Polecenie 2

Odczytaj z wykresu granice jednostronne oraz wartość funkcji f1, f2,, f6 w punkcie x0=1.

Oblicz granice jednostronne oraz wartość funkcji f1, f2,, f6 w punkcie x0=1. Przypomnijmy wzory tych funkcji.

  1. f1x=x, dla x<12x-x2, dla x1

  2. f2x=-x+12, dla x1x2-2x+2, dla x>1

  3. f3x=-x+12, dla x<1-x, dla x1

  4. f4x=1x-1, dla x<112x, dla x1

  5. f5x=1, dla x<12-x, dla x>1-12, dla x=1

  6. f6x=32-x, dla x<132, dla x1;+1+34n,n12, dla x1+34n,n

Polecenie 3

Dla jakich wartości parametrów a, b, c i d funkcja f jest ciągła?

fx=x+1,gdy x-1ax2+1,gdy x-1,1b,gdy x=1cx+2,gdy x1,22x-d,gdy x2