Zbadamy ciągłość funkcji $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x,& \mathrm{gdy} x>0\\ x^2,& \mathrm{gdy} x⩽0\end{array}\right.$.

RhVImj0Cw9NXS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch części. Część pierwsza leży w drugiej ćwiartce, jest to lewe ramię paraboli skierowany do góry o wierzchołku w początku układu współrzędnych. Druga część wykresu to ukośna półprosta biegnąca w pierwszej ćwiartce. Początek półprostej znajduje się w punkcie $\left(0;0\right)$. Prosta przebiega między innymi przez punkt $\left(1;1\right)$.

Oczywiście $f\left(0\right)=0^2=0$. Obliczymy granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $0$.

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{x}^2=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x=0$

Zatem $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)=0$, więc funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$.

Zbadamy ciągłość funkcji $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{2}^x,& \mathrm{gdy} x<2\\ x,& \mathrm{gdy} x=2\\ x^2,& \mathrm{gdy} x>2\end{array}\right.$
w punkcie $x_0=2$.

R7pj9eLgfsmLe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wykładniczej będący łukiem wypłaszczonym do ujemnej półosi O X. Łuk biegnie między innymi przez punkty $\left(0;1\right)$ oraz $\left(1;2\right)$ i biegnie dalej w górę do plus nieskończoności. Z łuku usunięto punkt $\left(2;4\right)$, co oznaczono niezamalowanym kółkiem. Do wykresu funkcji należy też zamalowany punkt leżący poza łukiem o współrzędnych $\left(2;2\right)$.

Rysunek sugeruje, że funkcja jest nieciągła w punkcie $x_0=2$. Jak wykazać to formalnie?

Obliczymy granice jednostronne $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }{2}^x=4$ oraz $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }{x}^2=4$, ale $f\left(2\right)=2\ne 4$.

W tym przypadku istnieje granica funkcji w punkciegranica funkcji w punkciegranica funkcji w punkcie $x_0$, ale nie jest ona równa wartości funkcji w punkcie $x_0$. Zatem funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie w punkcie $x_0=2$.

Zbadamy ciągłość funkcji $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-9}{x-3},& \mathrm{gdy} x<3\\ 6,& \mathrm{gdy} x=3\\ 3x-3,& \mathrm{gdy} x>3\end{array}\right.$ w punkcie $x_0=3$.

R1AEvUah1IxhW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych półprostych o wspólnym początku. Pierwsza ukośna przebiega między innymi przez punkty $\left(-3;0\right)$ oraz $\left(0;3\right)$. Wspólny koniec obu półprostych to punkt $\left(3;6\right)$, z którego biegnie druga półprosta, do której należy między innymi punkt $\left(4;8\right)$.

Obliczymy granice jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_0=3$: $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=\left[\frac{0}{0}\right]=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x-3}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(x+3\right)=6$

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(3x-3\right)=6$

Skoro $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)=6$, to funkcja $f$ jest ciągła w puncie $x_0=3$.

Zbadamy ciągłość funkcji $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{-x},& \mathrm{gdy} x<0\\ 2,& \mathrm{gdy} x=0\\ {\log }_{\frac{5}{2}}x,& \mathrm{gdy} x>0\end{array}\right.$.

R1SG2eNYTb33N

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z trzech elementów. Pierwszą składową wykresu jest krzywa pierwiastkowa znajdująca się w drugiej ćwiartce układ. Biegnie ona od minus nieskończoności, malejąc do niezamalowanego punktu $\left(0;0\right)$. Drugą składową wykresu jest zamalowany punkt $\left(0;2\right)$. Trzecią składową wykresu jest krzywa logarytmiczna biegnąca w czwartej i w pierwszej ćwiartce.

Funkcje $g\left(x\right)=\sqrt{-x}$ oraz $h\left(x\right)={\log }_{\frac{5}{2}}\left(x\right)$ są ciągłe w swoich dziedzinach, więc musimy zbadać ciągłość funkcji $f$ jedynie w punkcie $x_0=0$. Zbadamy więc granice jednostronne:

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\sqrt{-x}=0$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\ln x=-\infty$

Tym razem $2=f\left(0\right)\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(0\right)$, więc oczywiście funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_0=0$.

Zbadamy ciągłość funkcji $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& \mathrm{gdy} x\in \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \right\}\\ 0,& \mathrm{gdy} x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \right\}\end{array}\right.$
w punkcie $x_0=0$.

R53UU1DgHVgOA

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z punktów zbliżających się nieskończenie blisko do dodatniej półosi O Y oraz z prostej pokrywającej się z poziomą osią X za wyjątkiem punktów spełniających równanie $\frac{1}{x}$, gdzie x to kolejne liczby całkowite dodatnie. Punkty spełniające ten warunek zaznaczono zamalowanymi kółkami i są to między innymi punkty: $\left(4;\frac{1}{4}\right)$, $\left(3;\frac{1}{3}\right)$, $\left(2;\frac{1}{2}\right)$, $\left(1;1\right)$. Rzuty tych punktów na poziomą oś X są oznaczone niezamalowanymi punktami na prostej pokrywającej się z osią X. Są one niejako wycięte z poziomej prostej.

Patrząc na rysunek możemy postawić hipotezę, że funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_0=0$. Pokazanie braku ciągłości jest w zasadzie łatwiejsze niż wykazanie ciągłości – wystarczy wskazać jeden ciąg, który „psuje” ciągłość. W naszym przypadku kandydat narzuca się naturalnie.

Rozważmy ciąg $\frac{1}{n}$, który oczywiście dąży do $0$. Wówczas ciąg wartości $f\left(\frac{1}{n}\right)=n$ dąży do nieskończoności.

Dla porządku rozważmy ciąg $\frac{\sqrt{2}}{n}$, który również dąży do $0$. Dla każdego $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ zachodzi równość $f\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)=0$. Mamy więc ciąg stały, którego granicą jest $0$.

Zatem nie istnieje granica prawostronna funkcji $f$ w punkciegranica prawostronna funkcji w punkciegranica prawostronna funkcji $f$ w punkcie $x_0=0$. Funkcja ta nie jest więc ciągła w punkcie $0$.

Zbadamy ciągłość funkcji $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x,& \mathrm{gdy} x\in \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \right\}\\ 0,& \mathrm{gdy} x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \right\}\end{array}\right.$ w puncie $x_0=0$.

R14M0qCE5bl8h

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch zbiorów: pierwszy to zbiór zamalowanych punktów biegnących wzdłuż prostej y równa się x. Drugą składową wykresu funkcji jest prosta pokrywająca się z osią X, z której wycięto rzuty wcześniej wymienionych punktów, co oznaczono niezamalowanymi kółkami.

Zauważmy, że zachodzą równości: $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)=0$. Stąd otrzymujemy, że funkcja $f$ jest ciągła w puncie $x_0=0$.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}0,& \mathrm{gdy} x \mathrm{jest} \mathrm{niewymierne}\\ 1,& \mathrm{gdy} x \mathrm{jest} \mathrm{wymierne}\end{array}\right.$.

Rjkvf1PzcagGt

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z narysowanym w nim wykresem funkcji. Wykres składa się z dwóch zbiorów. Zbiór pierwszy jest zbiorem zamalowanych gęsto upakowanych punktów biegnących wzdłuż poziomej prostej y równa się jeden. Punty te mają pierwsze współrzędne będące liczbami wymiernymi, a drugą współrzędną równą jeden. Zbiór drugi jest zbiorem zamalowanych gęsto upakowanych punktów biegnących wzdłuż poziomej prostej y równa się zero. Punty te mają pierwsze współrzędne będące liczbami niewymiernymi, a drugą współrzędną równą zero.

Oczywiście nie da się narysować wykresu tej funkcji, można jedynie oddać jej wyobrażenie.

Funkcja $f$ nie ma granicy w żadnym punkcie. Pokażemy, że $f$ nie ma granicy w punkcie $x_0=0$.

Istotnie, rozważmy ciągi: $\frac{1}{n}$ oraz $\frac{\sqrt{2}}{n}$, które oczywiście dążą do $0$. Wówczas dla każdego $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ zachodzą równości $f\left(\frac{1}{n}\right)=1$ oraz $f\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)=0$.

Zatem nie istnieje granica funkcji $f$ w punkcie $x_0=0$, więc funkcja $f$ jest nieciągła w punkcie $x_0=0$.

funkcja $f$: $D\to \mathrm{ℝ}$ jest ciągła w punkcie $x_0\in D$, gdy dla dowolnego ciągu $x_n$ elementów zbioru $D$ dążących do $x_0$ i różnych od $x_0$, zachodzi równość $\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x_n\right)=f\left(x_0\right)$

funkcja $f$: $D\to \mathrm{ℝ}$ ma granicę $g$ w punkcie $x_0\in D$, gdy dla dowolnego ciągu $x_n$ elementów zbioru $D$ dążących do $x_0$ i różnych od $x_0$, zachodzi równość $\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x_n\right)=g$. Piszemy wówczas $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=g$

funkcja $f$: $D\to \mathrm{ℝ}$ ma granicę lewostronną $g$ w punkcie $x_0\in D$, gdy dla dowolnego ciągu dla dowolnego ciągu $x_n$ elementów zbioru $D$ dążących do $x_0$ i mniejszych od $x_0$, zachodzi równość $\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x_n\right)=g$. Piszemy wówczas $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=g$

funkcja $f$: $D\to \mathrm{ℝ}$ ma granicę prawostronną $g$ w punkcie $x_0\in D$, gdy dla dowolnego ciągu $x_n$ elementów zbioru $D$ dążących do $x_0$ i większych od $x_0$, zachodzi równość $\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x_n\right)=g$. Piszemy wówczas $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=g$