Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Niech D. Przypomnijmy, że funkcja f:D jest ciągła w punkcie x0Dciągłość funkcji w punkcieciągła w punkcie x0D, gdy dla dowolnego ciągu xn elementów zbioru D dążących do x0 , zachodzi równość limnfxn=fx0. W szczególności oznacza to, że istnieje granica funkcji f w punkcie x0 i jest ona równa wartości funkcji w punkcie x0. W praktyce często bada się granice jednostronne (tj. granicę lewostronnągranica prawostronna funkcji w punkciegranicę lewostronną i prawostronną funkcji w punkcie). Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 jeżeli zachodzą równości limxx0fx=limxx0+fx=fx0.

Poniżej zbadamy ciągłość kilku funkcji we wskazanych punktach.

Przykład 1

Zbadamy ciągłość funkcji fx={x,gdy x>0x2,gdy x0 w punkcie x0=0.

RhVImj0Cw9NXS

Oczywiście f0=02=0. Obliczymy granice jednostronne funkcji f w punkcie 0.

limx0fx=limx0x2=0

limx0+fx=limx0+x=0

Zatem limx0fx=f0=0, więc funkcja f jest ciągła w punkcie x0.

Przykład 2

Zbadamy ciągłość funkcji fx={2x,gdy x<2x,gdy x=2x2,gdy x>2
w punkcie x0=2.

R7pj9eLgfsmLe

Rysunek sugeruje, że funkcja jest nieciągła w punkcie x0=2. Jak wykazać to formalnie?

Obliczymy granice jednostronne limx2-fx=limx2-2x=4 oraz limx2+fx=limx2+x2=4, ale f2=24.

W tym przypadku istnieje granica funkcji w punkciegranica funkcji w punkciegranica funkcji w punkcie x0, ale nie jest ona równa wartości funkcji w punkcie x0. Zatem funkcja f nie jest ciągła w punkcie w punkcie x0=2.

Przykład 3

Zbadamy ciągłość funkcji fx={x29x3,gdy x<36,gdy x=33x3,gdy x>3 w punkcie x0=3.

R1AEvUah1IxhW

Obliczymy granice jednostronne funkcji f w punkcie x0=3: limx3-fx=limx3-x2-9x-3=00=limx3-x-3x+3x-3=limx3-x+3=6

limx3+fx=limx3+3x-3=6

Skoro limx3-fx=limx3+fx=f3=6, to funkcja f jest ciągła w puncie x0=3.

Przykład 4

Zbadamy ciągłość funkcji fx=x, gdy x<02,       gdy x=0log52x,gdy x>0.

R1SG2eNYTb33N

Funkcje gx=-x oraz hx=log52x są ciągłe w swoich dziedzinach, więc musimy zbadać ciągłość funkcji f jedynie w punkcie x0=0. Zbadamy więc granice jednostronne:

limx0-fx=limx0--x=0

limx0fx=limx0lnx=

Tym razem 2=f0limx0-fxlimx0+fxf0, więc oczywiście funkcja f nie jest ciągła w punkcie x0=0.

Przykład 5

Zbadamy ciągłość funkcji fx={1x, gdy x1,12,13,14,0, gdy x1,12,13,14,
w punkcie x0=0.

R53UU1DgHVgOA

Patrząc na rysunek możemy postawić hipotezę, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie x0=. Pokazanie braku ciągłości jest w zasadzie łatwiejsze niż wykazanie ciągłości – wystarczy wskazać jeden ciąg, który „psuje” ciągłość. W naszym przypadku kandydat narzuca się naturalnie.

Rozważmy ciąg 1n, który oczywiście dąży do 0. Wówczas ciąg wartości f1n=n dąży do nieskończoności.

Dla porządku rozważmy ciąg 2n, który również dąży do 0. Dla każdego n zachodzi równość f2n=0. Mamy więc ciąg stały, którego granicą jest 0.

Zatem nie istnieje granica prawostronna funkcji f w punkciegranica prawostronna funkcji w punkciegranica prawostronna funkcji f w punkcie x0=0. Funkcja ta nie jest więc ciągła w punkcie 0.

Przykład 6

Zbadamy ciągłość funkcji fx=x, gdy x1,12,13,14,0, gdy x1,12,13,14, w puncie x0=0.

R14M0qCE5bl8h

Zauważmy, że zachodzą równości: limx0-fx=limx0+fx=f0=0. Stąd otrzymujemy, że funkcja f jest ciągła w puncie x0=0.

Jako ciekawostkę rozważmy funkcję, która jest nieciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Przykład 7

fx={0,gdy x jest liczbą niewymierną1,gdy x jest liczbą wymierną.

Rjkvf1PzcagGt

Oczywiście nie da się narysować wykresu tej funkcji, można jedynie oddać jej wyobrażenie.

Funkcja f nie ma granicy w żadnym punkcie. Pokażemy, że f nie ma granicy w punkcie x0=0.

Istotnie, rozważmy ciągi: 1n oraz 2n, które oczywiście dążą do 0. Wówczas dla każdego n zachodzą równości f1n=1 oraz f2n=0.

Zatem nie istnieje granica funkcji f w punkcie x0=0, więc funkcja f jest nieciągła w punkcie x0=0.

Słownik

ciągłość funkcji w punkcie
ciągłość funkcji w punkcie

funkcja f:D jest ciągła w punkcie x0D, gdy dla dowolnego ciągu xn elementów zbioru D dążących do x0 i różnych od x0, zachodzi równość limnfxn=fx0

granica funkcji w punkcie
granica funkcji w punkcie

funkcja f:D ma granicę g w punkcie x0D, gdy dla dowolnego ciągu xn elementów zbioru D dążących do x0 i różnych od x0, zachodzi równość limnfxn=g. Piszemy wówczas limxx0fx=g

granica lewostronna funkcji w punkcie
granica lewostronna funkcji w punkcie

funkcja f:D ma granicę lewostronną g w punkcie x0D, gdy dla dowolnego ciągu dla dowolnego ciągu xn elementów zbioru D dążących do x0 i mniejszych od x0, zachodzi równość limnfxn=g. Piszemy wówczas limxx0-fx=g

granica prawostronna funkcji w punkcie
granica prawostronna funkcji w punkcie

funkcja f:D ma granicę prawostronną g w punkcie x0D, gdy dla dowolnego ciągu xn elementów zbioru D dążących do x0 i większych od x0, zachodzi równość limnfxn=g. Piszemy wówczas limxx0+fx=g