Do wyznaczenia współrzędnych $A$ i $B$ wierzchołków trójkąta rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ x^2+y^2-8y+7=0\end{array}\right.$

Jeżeli do drugiego równania w miejsce $x^2+y^2$ podstawimy wartość $25$, to $25-8y+7=0$, czyli $y=4$.

Zatem $x^2+4^2=25$, wobec tego $x=-3$ oraz $x=3$.

Współrzędne punktów $A$ i $B$ wynoszą odpowiednio: $A=\left(-3,4\right)$ i $B=\left(3,4\right)$.

Jeżeli narysujemy trójkąt $ABC$ w układzie współrzędnych, to rysunek przedstawia się następująco:

R1EzekuRupUDb

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Wierzchołki trójkąta są zaznaczone zamalowanymi kropkami o współrzędnych kolejno: punkt A początek nawiasu, minus 2, 4, zamknięcie nawiasu, punkt B początek nawiasu, 3, 4, zamknięcie nawiasu, punkt C początek nawiasu, 0, minus 1, zamkniecie nawiasu.

Zauważmy, że trójkąt jest równoramienny. Wobec tego jego pole jest równe:

$P=\frac{1}{2}·6·5=15$.

Rozwiązujemy układ równań $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\\ {\left(x-1\right)}^2+y^2=m\end{array}\right.$

Układ równań przekształcamy do postaci: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\\ x^2-2x+1+y^2=m\end{array}\right.$

Po podstawieniu $4$ w miejsce $x^2+y^2$ w drugim równaniu, otrzymujemy zależność: $4-2x+1-m=0$.

Zatem $x=\frac{5-m}{2}$.

Wobec tego ${\left(\frac{5-m}{2}\right)}^2+y^2=4$, czyli $\frac{25-10m+m^2}{4}+y^2=4$.

$y^2=\frac{-m^2+10m-9}{4}$

Układ równań będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie, gdy $y^2\ge 0$.

Zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy nierówność $\frac{-m^2+10m-9}{4}\ge 0$.

Po rozwiązaniu nierówności otrzymujemy, że $m\in ⟨1,9⟩$.

Rozwiązujemy układ równań $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+y^2-12=0\\ x^2+y^2-4y+4=12\end{array}\right.$

Jeżeli odejmiemy stronami drugie równanie od pierwszego równania, to

$4x-12+4y+8=0$, zatem $y=1-x$

Po podstawieniu tej zależności do drugiego równania rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$x^2+{\left(1-x\right)}^2-4·\left(1-x\right)+4=12$

$2x^2+2x-11=0$

$x_1=\frac{-1-\sqrt{23}}{2}$ oraz $x_2=\frac{-1+\sqrt{23}}{2}$

Wobec tego $y_1=\frac{3+\sqrt{23}}{2}$ oraz $y_2=\frac{3-\sqrt{23}}{2}$.

Długość odcinka obliczymy, korzystając ze wzoru:

$\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$.

Zatem:

$\sqrt{{\left(\frac{-1-\sqrt{23}}{2}-\frac{-1+\sqrt{23}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3+\sqrt{23}}{2}-\frac{3-\sqrt{23}}{2}\right)}^2}=$

$\sqrt{{\left(-\sqrt{23}\right)}^2+{\left(\sqrt{23}\right)}^2}=\sqrt{23+23}=\sqrt{46}$.